胡少春，孫承啟，劉一武

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

飛向暈軌道的探測(cè)器軌道優(yōu)化

胡少春1，2，孫承啟1，2，劉一武1，2

(1.北京控制工程研究所，北京 100190；2.空間智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100190)

暈軌道的穩(wěn)定流形為從地球到暈軌道的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)提供了便利.以往都采用在暈軌道上的目標(biāo)點(diǎn)施加脈沖，這樣，穩(wěn)定流形只是為轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計(jì)提供一個(gè)初始猜想，探測(cè)器并沒(méi)有運(yùn)行在穩(wěn)定流形上，因而并未真正利用穩(wěn)定流形節(jié)省燃料的優(yōu)勢(shì).利用基于序優(yōu)化理論的微分修正法，研究從暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形上不同點(diǎn)進(jìn)入穩(wěn)定流形所需要的燃料消耗，尋找燃耗最少的轉(zhuǎn)移軌道.仿真表明，對(duì)于暈軌道近地點(diǎn)入軌，找到的穩(wěn)定流形射入點(diǎn)機(jī)動(dòng)比以往的暈軌道入軌點(diǎn)機(jī)動(dòng)節(jié)省約33%的燃料消耗.此外，還對(duì)暈軌道上不同入軌點(diǎn)的入軌代價(jià)進(jìn)行了研究，得到了暈軌道近地點(diǎn)入軌的最小燃耗解.

平動(dòng)點(diǎn)；星際高速公路；暈軌道；穩(wěn)定流形；序優(yōu)化；微分修正

圓型限制性三體問(wèn)題中存在5個(gè)(動(dòng)態(tài))平衡點(diǎn)，稱為平動(dòng)點(diǎn)或拉格朗日點(diǎn).這5個(gè)點(diǎn)L1～L5都位于兩個(gè)大天體的運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，其中L1、L2和L3位于兩個(gè)大天體的連線上，稱為共線平動(dòng)點(diǎn).星際高速公路(IPS，interplanetary superhighway)是由太陽(yáng)系內(nèi)所有圍繞共線平動(dòng)點(diǎn)的不穩(wěn)定周期軌道和擬周期軌道的不變流形組成的軌線網(wǎng)絡(luò)，探測(cè)器可以無(wú)動(dòng)力地沿著IPS到達(dá)或者遠(yuǎn)離平動(dòng)點(diǎn)附近的周期軌道和擬周期軌道.因此，利用不變流形設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移軌道可大大節(jié)省燃料消耗，這對(duì)于遙遠(yuǎn)的深空探測(cè)活動(dòng)意義非凡.文獻(xiàn)[1-3]正是基于IPS理論為Genesis探測(cè)器設(shè)計(jì)了采樣返回軌道.

由于從地球上看去，圍繞共線平動(dòng)點(diǎn)的周期軌道像環(huán)繞在太陽(yáng)或月球周?chē)囊粋€(gè)“暈”，因此文獻(xiàn)[4]中稱其為暈軌道(或稱Halo軌道).暈軌道的穩(wěn)定流形為暈軌道目標(biāo)點(diǎn)到地球停泊軌道的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)提供了便利.對(duì)于小幅度暈軌道而言，與其相關(guān)的穩(wěn)定流形距離地球很遠(yuǎn)，除了在地球停泊軌道附近施加一次機(jī)動(dòng)，還需要在暈軌道入軌點(diǎn)(HOI)或穩(wěn)定流形射入點(diǎn)(MOI)施加機(jī)動(dòng).以往關(guān)于暈軌道轉(zhuǎn)移軌道的研究主要集中于在暈軌道上的入軌點(diǎn)施加軌道機(jī)動(dòng)[1-3，5-8]，穩(wěn)定流形只是為轉(zhuǎn)移軌道提供了一個(gè)初始猜想，探測(cè)器并沒(méi)有運(yùn)行在穩(wěn)定流形上，因此，沒(méi)有真正利用到穩(wěn)定流形節(jié)省燃料的優(yōu)勢(shì).文獻(xiàn)[9]中最早研究了Genesis探測(cè)器穩(wěn)定流形射入代價(jià)的優(yōu)化問(wèn)題.但其提出的兩級(jí)微分修正法由于將轉(zhuǎn)移軌道分解成許多段進(jìn)行優(yōu)化，因此所需的計(jì)算量比較大，而且需要預(yù)估軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間，對(duì)初始猜想的準(zhǔn)確度要求很高.此外，以往暈軌道入軌點(diǎn)都集中于近地點(diǎn)或遠(yuǎn)地點(diǎn)附近，很少研究暈軌道上其他入軌點(diǎn)的入軌代價(jià).文獻(xiàn)[10]中采用傳統(tǒng)的優(yōu)化方法研究了暈軌道上不同入軌點(diǎn)的入軌代價(jià)，但得到的最優(yōu)解較大.

本文利用基于序優(yōu)化的微分修正法，研究暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形射入代價(jià)的優(yōu)化問(wèn)題以及暈軌道上不同入軌點(diǎn)所需的入軌代價(jià).相比兩級(jí)微分修正法，本文的算法計(jì)算量小，可快速得到合適的初始猜想，且不需要預(yù)估軌道轉(zhuǎn)移時(shí)間.

1 日-地L1點(diǎn)暈軌道的穩(wěn)定流形

通常，都是在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中研究三體問(wèn)題，因此，本文定義的質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系是以日-地系統(tǒng)的公共質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，X軸從太陽(yáng)指向地球，XY平面為黃道面，Z軸垂直黃道面，并沿著日地圍繞公共質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角速度方向.

穩(wěn)定流形的計(jì)算方法為：首先，在暈軌道上取一點(diǎn)xe，根據(jù)與該點(diǎn)相關(guān)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(T,t0)(即從該點(diǎn)出發(fā)，積分一個(gè)暈軌道周期T后得到的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，也稱為單值矩陣)計(jì)算出對(duì)應(yīng)于穩(wěn)定特征值λs的穩(wěn)定特征向量ηs；然后，在鄰域上取一點(diǎn)xs+=xe+dηs，其中d為常數(shù)，一般取值范圍為150km～200km，本文取d=200km；最后，將xs+作為初值逆向積分運(yùn)動(dòng)方程即可得到該點(diǎn)的穩(wěn)定流形.對(duì)暈軌道上各點(diǎn)重復(fù)上述過(guò)程，則得到與暈軌道相關(guān)的穩(wěn)定流形.暈軌道上距離地球最近的點(diǎn)稱為近地點(diǎn)，距離地球最遠(yuǎn)的點(diǎn)稱為遠(yuǎn)地點(diǎn).圖1為質(zhì)心旋轉(zhuǎn)系下日-地L1點(diǎn)Az振幅(Z軸方向的振幅)為120 000km的暈軌道的穩(wěn)定流形，加粗黑色軌線為暈軌道近地點(diǎn)的穩(wěn)定流形.

圖1 日-地L1點(diǎn)暈軌道的穩(wěn)定流形

2 節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道

由于暈軌道入軌速度增量ΔVHOI或者穩(wěn)定流形射入速度增量ΔVMOI由探測(cè)器自身提供，對(duì)于漫長(zhǎng)的深空探測(cè)而言，節(jié)省ΔVHOI或ΔVMOI是非常有意義和有必要的.以往的研究主要集中于ΔVHOI的優(yōu)化的問(wèn)題，而本文主要研究暈軌道穩(wěn)定流形射入速度增量ΔVMOI的優(yōu)化問(wèn)題，尋找燃料消耗最小的節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道.

本文選擇Az振幅為120 000km的暈軌道作為目標(biāo)軌道，設(shè)計(jì)從地球停泊軌道到暈軌道的低能量轉(zhuǎn)移軌道，入軌點(diǎn)為暈軌道的近地點(diǎn).以近地點(diǎn)穩(wěn)定流形上M點(diǎn)為界，將地球停泊軌道到暈軌道的轉(zhuǎn)移軌道分為兩段：TO1和TO2，其中軌道段TO2在穩(wěn)定流形上，如圖2所示[11].以往的轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)是本文的一種特殊情況，即M點(diǎn)在暈軌道的近地點(diǎn).本文的主要目的就是尋找暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形上合適的位置M點(diǎn)，使所需的暈軌道穩(wěn)定流形射入速度增量最小.為了便于利用穩(wěn)定流形設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)移軌道，采用逆向設(shè)計(jì)，假設(shè)轉(zhuǎn)移軌道的初始點(diǎn)在暈軌道或穩(wěn)定流形上，目標(biāo)點(diǎn)在地球停泊軌道上.

圖2 節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道

3 優(yōu)化方法

文獻(xiàn)[12]將序優(yōu)化與微分修正法相結(jié)合，對(duì)暈軌道入軌速度增量ΔVHOI進(jìn)行優(yōu)化，得到了燃料消耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間折衷考慮的轉(zhuǎn)移軌道.本文也采用該方法研究暈軌道穩(wěn)定流形射入速度增量ΔVMOI的優(yōu)化問(wèn)題.傳統(tǒng)優(yōu)化問(wèn)題都是以尋找問(wèn)題最優(yōu)解為目標(biāo)進(jìn)行求解，而序優(yōu)化(OO，ordinal optimization)則以很高的概率尋找足夠滿意解為目標(biāo)，進(jìn)而減小搜索量和難度[13].在數(shù)值優(yōu)化之前引入序優(yōu)化思想，有效縮小搜索空間，得到足夠好的解，將其作為微分修正法的初始猜想，迭代修正得到滿足終端精度限制且燃料消耗足夠小的解.

仿真中，選擇暈軌道近地點(diǎn)作為入軌點(diǎn)，期望的地球停泊軌道高度h*為185km.設(shè)速度增量ΔVMOI其中β為速度增量方向角，是質(zhì)心旋轉(zhuǎn)系XY平面內(nèi)施加的機(jī)動(dòng)ΔVMOI與X軸的夾角.優(yōu)化步驟為：首先，按照機(jī)會(huì)均等原則，在ΔVMOI和β的取值范圍內(nèi)隨機(jī)抽取N個(gè)可行解，采用較大積分步長(zhǎng)作為序優(yōu)化的粗糙模型，可大致估計(jì)終端軌道高度差(即實(shí)際軌道高度h與期望停泊軌道高度h*之差Δh=h-h*)，根據(jù)得到的Δh與ΔVMOI和β的關(guān)系圖縮小優(yōu)化空間.然后，在縮小后的優(yōu)化空間中，隨機(jī)抽取N個(gè)可行解，積分粗糙模型，對(duì)N個(gè)可行解進(jìn)行快速粗糙評(píng)估，確定該優(yōu)化問(wèn)題的有序性能曲線(OPC)類型.依據(jù)得到的OPC曲線類型和采樣點(diǎn)分布情況，選擇燃料消耗小且相應(yīng)終端位置偏差Δh較小的采樣點(diǎn)作為得到的足夠好解.之后，采用小積分步長(zhǎng)(即序優(yōu)化中的精確模型)，利用微分修正法對(duì)各個(gè)足夠好解進(jìn)行迭代修正，選擇燃料消耗最小的解作為最終得到滿足終端位置精度的解.

4 仿真結(jié)果及分析

4.1暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形射入代價(jià)

假設(shè)從暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形逆向出發(fā)后ts天(ts=0,1,…,180)施加穩(wěn)定流形射入速度增量ΔVMOI，利用上述優(yōu)化方法，得到暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形不同射入點(diǎn)所需的速度增量如圖3所示，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表1所示.

圖3 出發(fā)后天數(shù)與相應(yīng)的射入代價(jià)之間的關(guān)系

表1 近地點(diǎn)穩(wěn)定流形不同射入點(diǎn)所需的速度增量

由表1可以看出，沿著暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形運(yùn)行約80天時(shí)，所需的穩(wěn)定流形射入速度增量ΔVMOI最小，約21.65m/s就能使探測(cè)器到達(dá)指定高度的地球停泊軌道，如圖4所示.不沿穩(wěn)定流形運(yùn)行的轉(zhuǎn)移軌道在暈軌道近地點(diǎn)需施加32.51m/s的暈軌道入軌速度增量ΔVHOI，如圖5所示.因此，雖然轉(zhuǎn)移時(shí)間增長(zhǎng)，但節(jié)省約33%的燃料消耗.

圖4 射入穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移軌道

圖5 射入暈軌道近地點(diǎn)的轉(zhuǎn)移軌道

4.2暈軌道上不同點(diǎn)的入軌代價(jià)

本文4.1節(jié)給出的是借助穩(wěn)定流形的節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道，而本節(jié)主要研究不借助穩(wěn)定流形的轉(zhuǎn)移軌道.從暈軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)開(kāi)始，順時(shí)針將暈軌道按時(shí)間30等分，采用上述優(yōu)化方法對(duì)暈軌道上30個(gè)等分點(diǎn)的入軌代價(jià)進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果如表2所示，對(duì)應(yīng)的曲線關(guān)系如圖6所示.仿真中，各個(gè)點(diǎn)所需的進(jìn)入地球停泊軌道的入軌速度增量ΔVTTI約為3.2km/s，差別很小.與Stalos等人采用傳統(tǒng)方法得到的結(jié)果相比，本文方法得到的最優(yōu)入軌代價(jià)更小，并且得到了等分點(diǎn)16～20的燃料消耗最小轉(zhuǎn)移軌道(簡(jiǎn)稱燃耗最小解)，而Stalos等人只得到了這些點(diǎn)的折衷考慮燃料消耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間的最優(yōu)解(簡(jiǎn)稱折衷解).表2中軌道①為折衷解，軌道②為燃耗最小解.

表2 暈軌道部分入軌點(diǎn)所需的速度增量

圖6 暈軌道上不同點(diǎn)的入軌代價(jià)

由表2可知，在不借助穩(wěn)定流形的情況下，暈軌道近地點(diǎn)入軌的燃耗最小解比折衷解節(jié)省約30%的燃料消耗，轉(zhuǎn)移軌道如圖7所示.暈軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)附近入軌比近地點(diǎn)附近入軌節(jié)省燃料消耗，但轉(zhuǎn)移時(shí)間較長(zhǎng).在暈軌道Y軸幅度最大處附近，所需的入軌機(jī)動(dòng)最大，對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移軌道如圖8和圖9所示.

比較表1和表2可知，對(duì)于暈軌道近地點(diǎn)入軌而言，借助穩(wěn)定流形的節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道在燃耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間方面都優(yōu)于不借助穩(wěn)定流形的燃耗最小解.

圖7 暈軌道近地點(diǎn)入軌的燃耗最小轉(zhuǎn)移軌道

圖8 入軌點(diǎn)為第10個(gè)等分點(diǎn)

圖9 入軌點(diǎn)為第24個(gè)等分點(diǎn)

5 結(jié) 論

本文利用基于序優(yōu)化理論的微分修正法，研究了暈軌道近地點(diǎn)穩(wěn)定流形軌線上不同射入點(diǎn)所需的燃料消耗，給出了穩(wěn)定流形上最小速度增量的射入點(diǎn)位置，得到了借助穩(wěn)定流形的暈軌道近地點(diǎn)入軌的節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道.該節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道比暈軌道近地點(diǎn)施加速度增量的折衷解節(jié)省約33%的燃料消耗.同時(shí)，研究了暈軌道上不同入軌點(diǎn)的入軌代價(jià)，得到了不借助穩(wěn)定流形的暈軌道近地點(diǎn)入軌的燃耗最小轉(zhuǎn)移軌道，該轉(zhuǎn)移軌道比近地點(diǎn)入軌的折衷解節(jié)省約30%的燃料消耗.此外，暈軌道遠(yuǎn)地點(diǎn)入軌比近地點(diǎn)入軌更省燃料.對(duì)于暈軌道近地點(diǎn)入軌而言，借助穩(wěn)定流形的節(jié)能轉(zhuǎn)移軌道在燃耗和轉(zhuǎn)移時(shí)間方面都優(yōu)于不借助穩(wěn)定流形的燃耗最小解.仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性.利用該方法還可對(duì)暈軌道上其他入軌點(diǎn)穩(wěn)定流形的射入機(jī)動(dòng)進(jìn)行優(yōu)化.

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TheOptimizationofTransfertoHaloOrbits

HU Shaochun1,2SUN Chengqi1,2LIU Yiwu1,2

(1.BeijingInstituteofControlEngineering,Beijing100190,China;2.NationalKeyLaboratoryofScienceandTechnologyonSpaceIntelligentControl,Beijing100190,China)

Stable manifolds associated with a Halo orbit can be used to design the transfer trajectory from the Earth to Halo orbit.However,previous studies mainly focused on the optimization of Halo orbit insertion maneuver velocity.So,the stable manifolds only serve as an initial guess for use in a transfer trajectory design scheme.The probe didn’t travel on the stable manifolds,and couldn’t make use of the low energy transfer character of manifolds.The differential correction based on Ordinal Optimization theory is used to minimize the stable manifold orbit insertion maneuver velocity in this paper.The numerical simulation results show that the insertion maneuver onto the given stable manifold could save maneuver costs by 33% compared with the Halo perigee insertion maneuver.Moreover,insertion costs for different points in the Halo orbit are analyzed,thus getting the lowest Halo perigee HOI cost transfer trajectory.

libration point; interplanetary superhighway; Halo orbit; stable manifold; ordinal optimization; differential correction

V412.41

A

1674-1579(2010)04-0001-05

2010-04-08

胡少春(1977—),女，陜西人，博士研究生，研究方向?yàn)楹教炱髦茖?dǎo)與控制 (e-mail: 1118spring@163.com).