王 軍 徐龍祥

南京航空航天大學(xué),南京,210016

0 引言

磁懸浮軸承由于無(wú)機(jī)械摩擦、損耗小、無(wú)潤(rùn)滑的特點(diǎn)而適用于高速旋轉(zhuǎn)的場(chǎng)合[1-2]。磁懸浮軸承改變了傳統(tǒng)的支承形式,提高了工作效率,廣泛應(yīng)用在透平膨脹機(jī)、高速電機(jī)[3]和無(wú)軸承電機(jī)[4-6]等高新技術(shù)領(lǐng)域。磁懸浮軸承開(kāi)關(guān)功率放大器的作用是控制電磁線圈的電流以產(chǎn)生相應(yīng)的電磁力,需要根據(jù)控制器信號(hào)轉(zhuǎn)換成不失真的電流信號(hào),其性能對(duì)磁懸浮軸承系統(tǒng)控制效果有顯著影響,因此建立開(kāi)關(guān)功率放大器數(shù)學(xué)模型成為理論分析磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的關(guān)鍵[7-9]。目前磁懸浮軸承開(kāi)關(guān)功率放大器系統(tǒng)的分析方法有兩種:一種是基于仿真軟件建立的開(kāi)關(guān)功率放大器模型[10-12],如利用Simulink中的電力系統(tǒng)模型庫(kù)和電路仿真軟件PSPICE建立的仿真模型。這種方法的缺點(diǎn)是沒(méi)有建立清晰的物理概念,不能用于指導(dǎo)功率放大器設(shè)計(jì);另外一種方法是簡(jiǎn)化開(kāi)關(guān)功率放大器模型[13],采用近似一階慣性環(huán)節(jié)作為實(shí)際的功率放大器模型,但是開(kāi)關(guān)功率放大器本質(zhì)是一個(gè)非線性的系統(tǒng),這種近似的模型不能完全反映開(kāi)關(guān)功率放大器的特性。

磁懸浮軸承功率放大器有兩電平和三電平兩種形式。兩電平功率放大器應(yīng)用廣泛,但是其電流紋波大,取代它的是三電平功率放大器。三電平功率放大器電流紋波小,非常適合用于高精度的磁懸浮軸承系統(tǒng)。本文以三電平功率放大器為例,在分析開(kāi)關(guān)功率放大器三電平控制工作原理的基礎(chǔ)上[14-16],以傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式來(lái)代替功率放大器非線性部分,推導(dǎo)系統(tǒng)各部分?jǐn)?shù)學(xué)模型,建立了開(kāi)關(guān)功率放大器的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

1 開(kāi)關(guān)功率放大器閉環(huán)系統(tǒng)

開(kāi)關(guān)功率放大器主要由PI控制器、PWM調(diào)制器、功率主電路和電流反饋環(huán)節(jié)組成,開(kāi)關(guān)功率放大器控制系統(tǒng)框圖見(jiàn)圖1。PI調(diào)節(jié)器對(duì)參考信號(hào)uref(s)與反饋信號(hào)uf(s)相減所得的誤差信號(hào)e(s)起比例積分調(diào)節(jié)作用,另外也改善開(kāi)關(guān)功率放大器的閉環(huán)特性。PWM調(diào)制器用控制信號(hào)uc(s)與三角載波交截得到的脈沖電壓信號(hào)驅(qū)動(dòng)開(kāi)關(guān)管S1和S4。改進(jìn)半橋功率主電路由開(kāi)關(guān)管S1和S4、快恢復(fù)二極管D2和D3組成,這種電路只能為磁懸浮電磁線圈提供單方向的電流,即電流從a點(diǎn)進(jìn)入,b點(diǎn)流出。用開(kāi)關(guān)管S2和S3替代快恢復(fù)二極管D2和D3,組成的全橋電路可以給電磁線圈提供雙方向的電流。因分析的原理相似,本文以提供單方向電流的三電平開(kāi)關(guān)功率放大器為例建立數(shù)學(xué)模型。

2 開(kāi)關(guān)功率放大器系統(tǒng)建模

2.1 三電平功率電路工作原理[16]

基于三電平控制原理的功率放大器電路有4個(gè)不同的工作模式,各工作模式原理如圖2所示。

(1)工作模式1為線圈電流增大狀態(tài)。開(kāi)關(guān)管S1和S4同時(shí)導(dǎo)通,二極管D2和D3關(guān)斷,線圈兩端電壓為電源電壓Ui,線圈電流iL增大。

(2)工作模式2為線圈電流續(xù)流狀態(tài)。開(kāi)關(guān)管S1導(dǎo)通,S4關(guān)斷,二極管D3開(kāi)通,線圈電流 iL沿同方向續(xù)流。

(3)工作模式3為線圈電流減小狀態(tài)。開(kāi)關(guān)管S1和S4關(guān)斷,二極管D2和D3開(kāi)通,電源電壓Ui反向加載于線圈兩端,線圈電流iL減小。

(4)工作模式4為線圈電流續(xù)流狀態(tài)。開(kāi)關(guān)管S4導(dǎo)通,S1關(guān)斷,二極管D2開(kāi)通,線圈電流 iL沿同方向續(xù)流,與模式2狀態(tài)相同。

三電平功率放大器電路根據(jù)負(fù)載電流iL與給定參考電流信號(hào)i0之間的關(guān)系確定工作模式。當(dāng)負(fù)載電流iL小于給定參考電流信號(hào)i0時(shí),電路將在模式1和模式2之間交替工作,負(fù)載電流逐漸增大到參考值。當(dāng)負(fù)載電流iL大于給定參考電流信號(hào)i0時(shí),電路將在模式3和模式4之間交替工作,負(fù)載電流減小至參考值。

三電平控制原理如圖3所示。圖3中S1和S4為開(kāi)關(guān)管的驅(qū)動(dòng)信號(hào),是PI控制器根據(jù)誤差信號(hào)調(diào)節(jié)輸出的信號(hào)uc與三角載波交截生成的,d1為開(kāi)關(guān)管S1的占空比,d2為開(kāi)關(guān)管S4的占空比,δ14為S1和S4同時(shí)作用在電磁線圈L兩端等效的占空比,uab為電磁線圈L兩端的電壓,Ui為直流電源電壓幅值,T為開(kāi)關(guān)周期。三電平控制電路穩(wěn)態(tài)工作時(shí),負(fù)載電流工作在參考電流i0附近。在d4T(d6T)時(shí)間段,電路工作在模式2或模式4,負(fù)載電流在自身阻抗和開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通壓降的作用下略有減小;在d3T(d5T)時(shí)間段,電路工作在模式1,S1和S4同時(shí)導(dǎo)通以補(bǔ)償續(xù)流狀態(tài)負(fù)載電流的損失。

2.2 功率放大器閉環(huán)系統(tǒng)模型

由圖2電路工作原理可得開(kāi)關(guān)功率放大器在一個(gè)周期內(nèi)的狀態(tài)方程:

式(1)可簡(jiǎn)化為

式中,Uon為開(kāi)關(guān)管和二極管導(dǎo)通壓降的平均值;R為電磁線圈的等效電阻;L為電磁線圈的電感;d3T、d5T為開(kāi)關(guān)功率放大器穩(wěn)定工作在模式1的時(shí)間。

δ14為與開(kāi)關(guān)管S1和S4有關(guān)的周期開(kāi)關(guān)函數(shù),是一非線性函數(shù),對(duì)其用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi):

可以看出式(3)只有偶數(shù)項(xiàng)諧波,奇數(shù)項(xiàng)諧波為零。

電磁線圈電流iL受輸入電壓信號(hào)uab激勵(lì),也可用傅里葉級(jí)數(shù)形式表示。在一個(gè)周期內(nèi)令

將式(4)代入式(2),且由三角載波的對(duì)稱性,有d3=d5,由諧波平衡原理可得各次項(xiàng)方程:

式(5)為直流項(xiàng)方程,變換形式得

式(8)為電磁線圈電流上升段時(shí)間,其結(jié)果與文獻(xiàn)[16]推導(dǎo)的式(34)的結(jié)果基本相似。

由式(6)和式(7)可解得各高次項(xiàng)系數(shù):

故負(fù)載電流iL的紋波電流ik可由下式表示:

電磁線圈兩端電壓uab為

電源Ui提供給功率電路的輸入電流is為

由圖3和式(3)可知,在開(kāi)關(guān)函數(shù)δ14的傅里葉級(jí)數(shù)中只有直流分量起有效傳輸能量作用,其他高頻諧波分量小,可忽略,則:

式中,d4、d6為開(kāi)關(guān)功率放大器穩(wěn)定工作在模式2或模式4的占空比;uc為控制器輸出信號(hào);Utri為三角載波電壓幅值。

將式(13)和式(15)合并可得從調(diào)制器輸入到功率電路輸出的傳遞函數(shù):

電流反饋環(huán)節(jié)功能是將電磁線圈電流轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的電壓反饋信號(hào),可認(rèn)為是線性關(guān)系,其傳遞函數(shù)H為

式中,h為電流反饋系數(shù)。

在開(kāi)環(huán)系統(tǒng)中加入補(bǔ)償環(huán)節(jié)來(lái)提高系統(tǒng)帶寬,增加穩(wěn)定裕量,本文給定一簡(jiǎn)單的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù),為

式中,p2、p3為常系數(shù)。

綜合式(16)、式(17)和式(18)可得開(kāi)關(guān)功率放大器系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù):

式(19)表明建立的三電平功率放大器閉環(huán)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型為一個(gè)二階系統(tǒng),而文獻(xiàn)[13]將系統(tǒng)近似為一階慣性環(huán)節(jié)模型。

3 仿真與試驗(yàn)

本文以單方向電流的三電平開(kāi)關(guān)功率放大器為例建立了數(shù)學(xué)模型,得出閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù),并進(jìn)行仿真與試驗(yàn)。圖4為仿真與試驗(yàn)依據(jù)的電路工作步驟框圖。仿真以虛線框內(nèi)本文建立的閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型作為研究對(duì)象,試驗(yàn)對(duì)根據(jù)電路工作步驟框圖研制的樣機(jī)進(jìn)行測(cè)試。磁懸浮軸承三電平開(kāi)關(guān)功率放大器仿真與試驗(yàn)的參數(shù)如下:直流母線電壓Ui=50V,電流反饋系數(shù)h=5,三角載波單邊幅值Utri=13V,電磁線圈電流IL=1A,線圈等效電阻R=2Ω,線圈電感L=0.9mH。

三電平功率放大器輸出的電磁線圈電流紋波ik根據(jù)式(11)得

式(20)為前8次偶次諧波的紋波電流計(jì)算表達(dá)式,ξ(ω1t)為含10次諧波以上無(wú)窮小分量,計(jì)算得電流紋波大小約0.08A,在相同參數(shù)下由文獻(xiàn)[16]中式(34)計(jì)算的電流紋波為0.07A,用PSPICE軟件仿真電路法得出電流紋波大小為0.07A,試驗(yàn)測(cè)得電流紋波大小約0.10A,可知由該模型建立的輸出電流方程比較符合功率放大器電路實(shí)際工作特性。

三電平開(kāi)關(guān)功率放大器閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)波形如圖5所示。參考輸入電壓為±2V的階躍信號(hào),負(fù)載輸出電流從0.6A上升到1.4A時(shí)數(shù)學(xué)模型仿真波形如圖5a所示,輸出電流到達(dá)穩(wěn)態(tài)需要約130μ s。圖 5b是三電平開(kāi)關(guān)功率放大器的PSPICE電路仿真階躍響應(yīng)的結(jié)果圖,輸出電流同樣需要約 130μ s達(dá)到穩(wěn)態(tài)。圖 5c是功率放大器電路的試驗(yàn)結(jié)果圖,從圖中可知階躍響應(yīng)所需要時(shí)間與仿真結(jié)果基本一致。

三電平開(kāi)關(guān)功率放大器動(dòng)態(tài)性能對(duì)磁懸浮系統(tǒng)控制效果有顯著影響,磁懸浮軸承系統(tǒng)一般工作在60 000r/min(對(duì)應(yīng)的頻率為1000Hz)以下,故在此頻率下研究建立的數(shù)學(xué)模型動(dòng)態(tài)特性具有指導(dǎo)意義。參考輸入電壓幅值為±2V的激勵(lì)正弦信號(hào),信號(hào)頻率為1000Hz,三電平開(kāi)關(guān)功率放大器數(shù)學(xué)模型的電流輸出特性如圖6所示。圖7是三電平開(kāi)關(guān)功率放大器的PSPICE電路仿真電流輸出特性圖,圖8是三電平開(kāi)關(guān)功率放大器的實(shí)際電路試驗(yàn)得到的電流輸出特性圖。由3種結(jié)果對(duì)比可知,由數(shù)學(xué)模型得到的開(kāi)關(guān)功率放大器在高頻下特性與電路仿真、試驗(yàn)結(jié)果相一致,輸出電流響應(yīng)都在0.6～1.4A之間,測(cè)量結(jié)果表明通過(guò)數(shù)學(xué)模型法所得的系統(tǒng)特性與試驗(yàn)結(jié)果基本相同,輸出電流能快速響應(yīng)輸入信號(hào)的變化,數(shù)學(xué)模型能較好反映開(kāi)關(guān)功率放大器實(shí)際的工作動(dòng)態(tài)特性,可為研究磁懸浮控制系統(tǒng)提供較為精確的模型。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)分析開(kāi)關(guān)功率放大器電路三電平控制原理,對(duì)系統(tǒng)中非線性部分采用傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式代替,建立線性的開(kāi)關(guān)功率放大器數(shù)學(xué)模型,得出開(kāi)關(guān)功率放大器閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù),利用MATLAB軟件對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真,得到的結(jié)果與其他軟件仿真結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果基本一致,表明得到的開(kāi)關(guān)功率放大器數(shù)學(xué)模型是可行有效的,可以指導(dǎo)性地設(shè)計(jì)不同的補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)以滿足對(duì)負(fù)載電流動(dòng)態(tài)性能的要求,對(duì)研究磁懸浮系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)特性具有重要意義。

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