張 亢 程軍圣 楊 宇

湖南大學(xué)汽車車身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,長(zhǎng)沙,410082

0 引言

局部均值分解(local mean decomposition,LMD)是由Smith[1]提出的一種新的非線性和非平穩(wěn)信號(hào)分析方法。由于LMD是依據(jù)信號(hào)本身的信息進(jìn)行自適應(yīng)分解的,產(chǎn)生的PF分量具有真實(shí)的物理意義,由此得到的時(shí)頻分布能夠清晰準(zhǔn)確地反映出信號(hào)能量在空間各尺度上的分布規(guī)律,因此LMD是一種極具發(fā)展?jié)摿Φ姆瞧椒€(wěn)信號(hào)分析方法,現(xiàn)在它已在腦電信號(hào)分析中得到了應(yīng)用[1],并且取得了不錯(cuò)的效果。

雖然LMD非常適合于處理非平穩(wěn)信號(hào),但作為一種新出現(xiàn)的信號(hào)分析方法,此方法本身還有一些需要改進(jìn)的地方,其中端點(diǎn)效應(yīng)就是必須解決的問(wèn)題之一。如同經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?empirical mode decomposition,EMD)[2-3]一樣,LMD方法中也有一個(gè)類似的依據(jù)信號(hào)局部極值點(diǎn)信息不斷進(jìn)行“篩分”信號(hào)的過(guò)程,在“篩”的過(guò)程中,需要不斷地平滑由信號(hào)局部極值點(diǎn)構(gòu)成的局部均值函數(shù)線與包絡(luò)估計(jì)函數(shù)線,但由于信號(hào)兩端的值可能既不是局部極大值也不是局部極小值,這樣便會(huì)造成平滑過(guò)程中局部均值函數(shù)線與包絡(luò)估計(jì)函數(shù)線在數(shù)據(jù)兩端出現(xiàn)發(fā)散現(xiàn)象,并且這種發(fā)散的結(jié)果會(huì)逐漸向內(nèi)“污染”整個(gè)數(shù)據(jù)序列而使所得的分解結(jié)果嚴(yán)重失真。

對(duì)于EMD方法的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題,目前已提出了許多改進(jìn)方法,都取得了一定的效果,但也存在一些局限性,如極值點(diǎn)延拓法[4]只考慮了信號(hào)端點(diǎn)附近幾個(gè)極值點(diǎn)的信息,而沒(méi)有顧及信號(hào)內(nèi)部的規(guī)律,因此對(duì)較復(fù)雜的非平穩(wěn)信號(hào),效果不太理想;邊界波形匹配預(yù)測(cè)法[5]考慮了信號(hào)的內(nèi)部規(guī)律與趨勢(shì),但缺乏自適應(yīng)性,對(duì)于邊緣處波形發(fā)生了突變的信號(hào)效果比較差;神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]、ARMA模型[7]等預(yù)測(cè)類延拓方法,其改進(jìn)效果很大程度上依賴于預(yù)測(cè)工具本身參數(shù)的設(shè)置,同時(shí)運(yùn)算時(shí)間也較長(zhǎng),缺乏實(shí)用性。

本文根據(jù)許多改進(jìn)EMD端點(diǎn)效應(yīng)方法的經(jīng)驗(yàn)與不足,在詳細(xì)分析了LMD端點(diǎn)效應(yīng)產(chǎn)生的原因的基礎(chǔ)上,提出了自適應(yīng)波形匹配延拓方法,以解決LMD的端點(diǎn)效應(yīng)。

1 局部均值分解方法

LMD的整體思路就是依據(jù)信號(hào)的局部時(shí)間尺度特征,將信號(hào)從高頻到低頻自適應(yīng)地逐級(jí)分解出來(lái),分解后的每個(gè)分量都是平穩(wěn)且具有物理意義的。對(duì)于任意信號(hào)x(t),其分解過(guò)程如下[1]。

(1)找出原始信號(hào)所有的局部極值點(diǎn)ni,求出所有相鄰的局部極值點(diǎn)的平均值:

將所有相鄰的平均值點(diǎn)mi用直線連接起來(lái),然后用滑動(dòng)平均法進(jìn)行平滑處理,得到局部均值函數(shù)m11(t)。

(2)求出包絡(luò)估計(jì)值:

將所有相鄰兩個(gè)包絡(luò)估計(jì)值ai用直線連接,然后采用滑動(dòng)平均方法進(jìn)行平滑處理,得到包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(3)將局部均值函數(shù)m11(t)從原始信號(hào)x(t)中分離出來(lái),得到

(4)用h11(t)除以包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)以對(duì)h11(t)進(jìn)行解調(diào),得到

對(duì)s11(t)重復(fù)上述步驟便能得到s11(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù) a12(t),假如a12(t)不等于1,說(shuō)明s11(t)不是一個(gè)純調(diào)頻信號(hào),需要重復(fù)上述迭代過(guò)程n次,直至s1n(t)為一個(gè)純調(diào)頻信號(hào),也即s1n(t)的包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a1(n+1)(t)=1。在實(shí)際應(yīng)用中,可以設(shè)定一個(gè)變動(dòng)量 Δ,當(dāng)滿足1—Δ≤a1n(t)≤1+Δ時(shí),迭代終止。

(5)把迭代過(guò)程中產(chǎn)生的所有包絡(luò)估計(jì)函數(shù)相乘便可以得到包絡(luò)信號(hào)(瞬時(shí)幅值函數(shù)):

(6)將包絡(luò)信號(hào)a1(t)和純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)相乘便可以得到原始信號(hào)的第一個(gè)PF分量

它包含了原始信號(hào)中最高的頻率成分,是一個(gè)單分量的調(diào)幅—調(diào)頻信號(hào),其瞬時(shí)幅值就是包絡(luò)信號(hào)a1(t),其瞬時(shí)頻率 f1(t)則可由純調(diào)頻信號(hào)s1n(t)求出,即

(7)將第一個(gè)PF分量P1(t)從原始信號(hào)x(t)中分離出來(lái),得到一個(gè)新的信號(hào)u1(t),將u1(t)作為原始數(shù)據(jù)重復(fù)以上步驟,循環(huán)k次,直到uk為一個(gè)單調(diào)函數(shù)為止:

原始信號(hào) x(t)能夠被所有的 PF分量和 uk重構(gòu),即

(8)將所有PF分量的瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)幅值按照時(shí)間—頻率—幅值的三維分布重新組合,便能得到原信號(hào)基于 LMD分解的完整的時(shí)頻分布。

2 LM D分解的端點(diǎn)效應(yīng)分析

從上述LMD分解的步驟中可以看出,之所以會(huì)產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng),關(guān)鍵是由于求取局部均值函數(shù)和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)時(shí)需要用到信號(hào)序列局部極值點(diǎn)的信息,其中局部均值函數(shù)是通過(guò)不斷地平滑由相鄰極值點(diǎn)的平均值構(gòu)成的直線段而獲得的,包絡(luò)估計(jì)函數(shù)是通過(guò)不斷地平滑由相鄰極值點(diǎn)差的絕對(duì)值的一半構(gòu)成的直線段而獲得的,然而數(shù)據(jù)的兩端點(diǎn)值不一定是信號(hào)的極值點(diǎn),因此這樣得到的局部均值曲線與包絡(luò)估計(jì)曲線在數(shù)據(jù)的兩端是不合理的。考察信號(hào)x(t):

其局部均值線段和包絡(luò)估計(jì)線段如圖1所示,而真實(shí)的局部均值線段和包絡(luò)估計(jì)線段如圖2所示,可以看出在數(shù)據(jù)兩端其值都出現(xiàn)了失真,將其平滑后得到的局部均值曲線和包絡(luò)估計(jì)曲線與真實(shí)的曲線比較,如圖3所示,其兩端的數(shù)據(jù)同樣出現(xiàn)了失真。

由于局部均值曲線與包絡(luò)估計(jì)曲線失真,便會(huì)造成分解后得到的PF分量的兩端出現(xiàn)虛假成分,并且隨著分解過(guò)程的進(jìn)行,局部極值點(diǎn)的不斷減少、稀疏,這些虛假成分會(huì)逐漸向內(nèi)“污染”整個(gè)數(shù)據(jù),最終造成分解結(jié)果的失真,即“端點(diǎn)效應(yīng)”,數(shù)據(jù)越短,其危害性越大。為了減小(不可能完全消除)上述LMD的端點(diǎn)效應(yīng),本文針對(duì)其產(chǎn)生的原因,從信號(hào)的自然趨勢(shì)與相似性著手,提出一種自適應(yīng)波形匹配延拓法來(lái)改善LMD的端點(diǎn)效應(yīng)現(xiàn)象。

3 自適應(yīng)波形匹配延拓法

為了解決 LMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題,我們對(duì)原信號(hào)兩端進(jìn)行延拓,將失真盡可能地隔離在待分析信號(hào)的外部。然而這種延拓不能是盲目的延拓,而是要使延拓出的波形盡可能地符合原信號(hào)自然的變化趨勢(shì),這樣才能最大限度的維護(hù)原始信號(hào)的變化趨勢(shì)并實(shí)現(xiàn)延拓波形與原信號(hào)的光滑過(guò)渡,從而更加有效地抑制端點(diǎn)效應(yīng)?；谝陨?我們提出了自適應(yīng)波形匹配延拓法,即從原始信號(hào)內(nèi)部找出最符合信號(hào)趨勢(shì)的波形對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓,最大限度地維護(hù)信號(hào)的內(nèi)在趨勢(shì),而對(duì)內(nèi)在規(guī)律較弱,邊界數(shù)據(jù)變化異常的信號(hào)可以只考慮信號(hào)邊緣的極值點(diǎn)信息,具體通過(guò)設(shè)定一閾值來(lái)實(shí)現(xiàn),這樣可使該方法具有自適應(yīng)性。

信號(hào)的延拓包括左右兩端,下面以左端的延拓為例來(lái)說(shuō)明該方法。設(shè)原始信號(hào)為 x(t),m′i、n′i(i=1,2,3,…)分別為信號(hào)x(t)的極大值和極小值,分別對(duì)應(yīng)時(shí)間為和,設(shè)x(t)的左端點(diǎn)數(shù)據(jù)為x(1),以 x(1)—m′1—n′1三點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角波形,并將其稱為特征波形,然后沿著信號(hào) x(t)搜索與特征波形最為匹配的三角波形x(i)—m′i—n′i,定義為匹配波形,將匹配波形前的(右延拓為匹配波形后的)數(shù)據(jù)作為x(t)的延拓波形,這樣便會(huì)符合信號(hào)的自然趨勢(shì)。具體步驟如下。

(1)尋找出除特征波形外所有三角波形的起始點(diǎn)值x(i),其對(duì)應(yīng)的時(shí)間點(diǎn)為

求出的tx(i)可能不正好在采樣點(diǎn)上,這時(shí)可用插值法(具體插值法可由自己選定)求出其確切值。

(2)計(jì)算所有三角波形與特征波形的匹配誤差,誤差公式為

(3)找出最小的匹配誤差值mine(i),并設(shè)定一閾值α,如果mine(i)＜α,則將mine(i)對(duì)應(yīng)的三角波形作為匹配波形,將匹配波形前的數(shù)據(jù)延拓到原始信號(hào)的前面,如果mine(i)≥α,跳轉(zhuǎn)至下一步。閾值的大小可根據(jù)實(shí)際情況來(lái)調(diào)整,α越小說(shuō)明原信號(hào)具有越強(qiáng)的規(guī)律性,反之說(shuō)明原信號(hào)內(nèi)在規(guī)律越弱,或邊界數(shù)據(jù)有較大的異常。

(4)直接設(shè)置信號(hào)端點(diǎn)處的極值,即分別求出最靠近信號(hào)端的相鄰的N個(gè)極大值點(diǎn)的平均值和M個(gè)極小值點(diǎn)的平均值,將其分別作為信號(hào)x(t)的極大值和極小值,具體N和M的大小可根據(jù)信號(hào)在邊界處的跳變情況而定。

(5)按同樣的方法延拓右端的信號(hào),設(shè)完全延拓后的信號(hào)為 x′(t)。

(6)將延拓后的信號(hào) x′(t)做 LMD分解,對(duì)分解得到的PF分量按原信號(hào)x(t)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻進(jìn)行截取,這樣便能獲得改善了端點(diǎn)效應(yīng)的分解結(jié)果。

(7)將x′(t)做LMD分解后得到的瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率,以原信號(hào)x(t)所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻按頻率—時(shí)間—幅值分布進(jìn)行組合,得到最后完整的時(shí)頻圖。

上述對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓的方法,不但充分考慮了信號(hào)的內(nèi)在規(guī)律與趨勢(shì),使延拓部分與原信號(hào)能光滑過(guò)渡,減小了分解結(jié)果在端點(diǎn)處的振蕩,同時(shí)對(duì)內(nèi)部規(guī)律較弱或邊界數(shù)據(jù)異常的信號(hào),也能進(jìn)行較好的處理,較之通常的端點(diǎn)處理算法有更強(qiáng)的自適應(yīng)性。

4 仿真信號(hào)分析

為了驗(yàn)證該方法的可行性,取由3個(gè)正弦波疊加的信號(hào)進(jìn)行分析,該信號(hào)表達(dá)式為

信號(hào)的時(shí)域波形如圖4所示,可以看出其內(nèi)部規(guī)律較強(qiáng),所以信號(hào)延拓時(shí)閾值α可以定得較小,本文設(shè)置α=0.1。

對(duì)采用本文方法延拓后的信號(hào)進(jìn)行LMD分解,結(jié)果如圖5所示,對(duì)信號(hào)x(t)直接進(jìn)行LMD分解,結(jié)果如圖6所示。對(duì)比可以看出,沒(méi)有進(jìn)行端點(diǎn)處理的分解結(jié)果在數(shù)據(jù)兩端出現(xiàn)了明顯的擺動(dòng),而采用本文方法延拓后得到的分解結(jié)果幾乎完全消除了端點(diǎn)效應(yīng)的影響,分解結(jié)果非常理想。

圖7所示是信號(hào)x(t)的EMD分解結(jié)果,與LMD的分解結(jié)果比較,其端點(diǎn)效應(yīng)更加嚴(yán)重,低頻時(shí)數(shù)據(jù)發(fā)散嚴(yán)重,并且最低頻的5Hz分量不能分解出來(lái),產(chǎn)生了模態(tài)混淆現(xiàn)象。圖8所示是信號(hào)x(t)采用本文方法延拓后進(jìn)行EMD分解的結(jié)果,可以看出其端點(diǎn)效應(yīng)得到了較大的改善,說(shuō)明該方法也能較好地改善EMD的端點(diǎn)效應(yīng),但是5Hz分量仍然無(wú)法分解出來(lái),存在模態(tài)混淆現(xiàn)象。綜合比較,LMD方法在端點(diǎn)效應(yīng)和模態(tài)混淆方面要優(yōu)于EMD。

進(jìn)一步將信號(hào)延拓前和延拓后進(jìn)行LMD分解得到的瞬時(shí)幅值與瞬時(shí)頻率分別進(jìn)行組合,獲得按頻率—時(shí)間—幅值分布的時(shí)頻分布,分別如圖9、圖10所示,可以看出延拓前的時(shí)頻分布在端點(diǎn)處出現(xiàn)了明顯的振蕩現(xiàn)象,端點(diǎn)處能量發(fā)生了泄漏;而延拓后的時(shí)頻分布清晰準(zhǔn)確地反映了原信號(hào)的各個(gè)頻率成分,端點(diǎn)處的振蕩幾乎消失。

在H HT變換中,除了在EMD分解過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng)外,對(duì)每個(gè)內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(IMF)分量求Hilbert變換得到瞬時(shí)幅值和瞬時(shí)頻率時(shí)也會(huì)產(chǎn)生端點(diǎn)效應(yīng),所以為求得Hilbert譜至少需要進(jìn)行兩次端點(diǎn)效應(yīng)處理;而從上面 LMD的理論分析中知道,求得最終的時(shí)頻分布只要對(duì)原信號(hào)進(jìn)行一次延拓,因此理論上LMD在端點(diǎn)效應(yīng)方面要優(yōu)于HHT變換。圖11所示是信號(hào) x(t)的Hilbert譜,可以看出其相對(duì)沒(méi)經(jīng)過(guò)延拓的 LMD時(shí)頻分布(圖9)端點(diǎn)效應(yīng)更嚴(yán)重,5Hz分量已完全失真,結(jié)果與理論符合。圖12所示是信號(hào)x(t)采用本文方法經(jīng)過(guò)兩次延拓后得到的Hilbert譜,端點(diǎn)效應(yīng)得到了較大改善,但相比于LMD方法,分解結(jié)果仍存在模態(tài)混淆現(xiàn)象。

5 齒輪故障振動(dòng)信號(hào)分析

對(duì)于工程實(shí)際中的信號(hào),本文方法同樣能取得較好的效果。在齒輪故障試驗(yàn)臺(tái)上采集了一段齒輪裂紋故障振動(dòng)加速度信號(hào),齒輪齒數(shù)為37,轉(zhuǎn)速為420r/min,采樣頻率為2048Hz。圖13是該信號(hào)的時(shí)域波形圖,圖14是該信號(hào)的頻譜圖,其頻率成分比較復(fù)雜,無(wú)法從中清晰地提取出故障特征,因此要做進(jìn)一步的分析。

采用LMD方法對(duì)該段信號(hào)進(jìn)行分解,首先為了避免分解時(shí)端點(diǎn)效應(yīng)的影響,在分解前先采用自適應(yīng)波形匹配延拓法對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓,延拓后的波形 x′(t)如圖15所示,可以看出延拓部分與原信號(hào)連接光滑且波形符合原信號(hào)的自然趨勢(shì)。對(duì)延拓后的信號(hào)進(jìn)行LMD分解,并取與原信號(hào)對(duì)應(yīng)的時(shí)間坐標(biāo),分解后得到4個(gè)PF分量和1個(gè)余量,如圖16所示,可以看出,各個(gè)PF分量?jī)啥藳](méi)有出現(xiàn)任何的發(fā)散現(xiàn)象,且前兩個(gè)分量具有一定的故障性沖擊特征。進(jìn)一步對(duì)第一個(gè)PF分量P1(t)的瞬時(shí)幅值做頻譜分析,結(jié)果如圖17所示,從圖17中可以看出在齒輪旋轉(zhuǎn)頻率f1=7Hz處存在明顯的譜線,這說(shuō)明齒輪存在局部故障,與實(shí)際情況相符。

6 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)LMD的端點(diǎn)效應(yīng)問(wèn)題,本文詳細(xì)分析了其產(chǎn)生的原因,并提出了一種自適應(yīng)波形匹配延拓法來(lái)解決。該方法依據(jù)信號(hào)內(nèi)部本身的趨勢(shì)與規(guī)律以及信號(hào)邊界處的波形特征,利用原信號(hào)內(nèi)部的子波形對(duì)信號(hào)進(jìn)行延拓,使延拓后的數(shù)據(jù)保持了原信號(hào)的趨勢(shì)與規(guī)律,有效地抑制了LMD分解的端點(diǎn)效應(yīng);同時(shí)此方法是自適應(yīng)的,對(duì)于內(nèi)部規(guī)律較弱、邊界數(shù)據(jù)異常的信號(hào),便只考慮信號(hào)邊緣的信息,根據(jù)邊緣處若干個(gè)極值點(diǎn)的均值來(lái)估計(jì)端點(diǎn)處的極值,這保證了信號(hào)在端點(diǎn)處的變化趨勢(shì)不會(huì)發(fā)生太大的變化。從對(duì)仿真信號(hào)以及實(shí)際齒輪故障振動(dòng)信號(hào)的分析結(jié)果來(lái)看,該方法能有效抑制LMD分解的端點(diǎn)效應(yīng)。

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