洪昭斌 陳 力

福州大學(xué),福州,350108

0 引言

隨著空間技術(shù)的迅速發(fā)展,空間機(jī)器人的作用日益重要。利用空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行空間站的日常維修以及大型空間站的在軌組裝工作,可避免宇航員暴露于危險(xiǎn)的太空環(huán)境中,從而大大節(jié)省費(fèi)用。此外,由于在太空環(huán)境中所能攜帶的系統(tǒng)控制燃料有限,使用載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機(jī)器人系統(tǒng)可減少控制燃料消耗,進(jìn)而延長(zhǎng)空間機(jī)器人系統(tǒng)有效使用壽命。因此研究機(jī)械臂操作期間載體位置、姿態(tài)均不受控制的空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題有著重要的實(shí)際意義。

由于空間機(jī)器人系統(tǒng)的載體為自由漂浮狀態(tài),其位置及姿態(tài)的控制系統(tǒng)在機(jī)械臂操作期間處于關(guān)閉狀態(tài),系統(tǒng)嚴(yán)格遵守動(dòng)量及動(dòng)量矩守恒關(guān)系,因此空間機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械臂與載體之間存在著強(qiáng)烈的動(dòng)力學(xué)耦合關(guān)系,其動(dòng)力學(xué)與控制問(wèn)題也遠(yuǎn)較地面固定機(jī)器人復(fù)雜[1-6]?？臻g機(jī)器人系統(tǒng)為非完整動(dòng)力學(xué)系統(tǒng),且其動(dòng)力學(xué)方程中的慣性參數(shù)不符合慣常的線性規(guī)律,因此其控制器設(shè)計(jì)難度極大,特別是在系統(tǒng)參數(shù)存在未知的情況,地面機(jī)器人中基于慣性參數(shù)線性關(guān)系的自適應(yīng)、魯棒等控制方法難以在此直接應(yīng)用。在此類空間機(jī)器人控制系統(tǒng)的研究中,Walker[7]研究了載體位置不控、姿態(tài)受控為固定不變情況下空間機(jī)器人關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制問(wèn)題;馬保離等[8]則討論了同樣條件下,空間機(jī)器人末端運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制問(wèn)題;Gu等[9]針對(duì)載體位置及姿態(tài)均不受控的情形,提出了自適應(yīng)控制的標(biāo)準(zhǔn)形式增廣法;陳力等[10-11]則進(jìn)一步改進(jìn)了增廣變量法,設(shè)計(jì)了空間機(jī)械臂載體與關(guān)節(jié)協(xié)調(diào)運(yùn)動(dòng)的自適應(yīng)控制方法及魯棒自適應(yīng)混合控制方法。

但值得注意的是,文獻(xiàn)[7-11]均僅針對(duì)單臂空間機(jī)械臂系統(tǒng)。與單臂空間機(jī)械臂系統(tǒng)相比,雙臂甚至多臂空間機(jī)器人的承載能力更大,定位精度更高,而且抓取載荷也更加穩(wěn)定。但由于系統(tǒng)又同時(shí)增加了各個(gè)機(jī)械臂之間的動(dòng)力學(xué)耦合及干擾,雙臂空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的難度也就更大。由此本文將討論載體位置與姿態(tài)均不受控制情況下,具有未知參數(shù)的漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的復(fù)合自適應(yīng)控制問(wèn)題。

1 漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

設(shè)各分體沿(x,y)做平面運(yùn)動(dòng),θ0為載體B0相對(duì)慣性坐標(biāo)系的姿態(tài)角 ,θ1、θ2、θ3 、θ4 分別為機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)鉸的相對(duì)轉(zhuǎn)角;ri(i=0,1,2,3,4)為各分體質(zhì)心OCi相對(duì)于O的矢徑,機(jī)械臂末端爪手相對(duì)于O的矢徑則為rPi(i=2,4)。

由于系統(tǒng)處于微重力空間中,重力勢(shì)能可以忽略,利用雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)的動(dòng)量守恒關(guān)系及拉格朗日方程,可得到如下欠驅(qū)動(dòng)形式的漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程:

式中,D(q)為 5×5的對(duì)稱 、正定質(zhì)量矩陣;h(q,q˙)q˙為包含科氏力、離心力的5階列向量;τ為機(jī)械臂 4個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)鉸控制力矩所組成的4階列向量。

h(q,˙q)為5×5階矩陣,其元素hij滿足

且對(duì)任意變量z∈R5有如下關(guān)系式存在:

由于動(dòng)力學(xué)方程(式(1))中耦合了系統(tǒng)動(dòng)量守恒關(guān)系,矩陣 D(q)、h(q,q˙)與系統(tǒng)慣常的慣性參數(shù)并非是一般意義上的線性關(guān)系,但對(duì)其進(jìn)行分析可發(fā)現(xiàn),D(q)、h(q,˙q)可以對(duì)一組特定選擇的組合慣性參數(shù)呈一種新的線性關(guān)系,該線性關(guān)系將有利于我們隨后的自適應(yīng)控制方案設(shè)計(jì)。

2 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)Jacobi關(guān)系

將機(jī)械臂末端矢徑rpi(i=2,4)對(duì)x、y投影,可得點(diǎn)P2、P4的位置坐標(biāo)為

式中,xC、yC為系統(tǒng)總質(zhì)心的位置坐標(biāo);L5j、L6j(j=0,1,…,5)為系統(tǒng)慣性參數(shù)的組合函數(shù);ej為主軸坐標(biāo)系(Ojxjyj)的基矢量。

為了得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)Jacobi關(guān)系,將式(4)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo),可得

很明顯,該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)Jacobi關(guān)系也可以表示為系統(tǒng)組合慣性參數(shù)Lij的線性函數(shù)。如果要得到系統(tǒng)末端爪手線速度與機(jī)械臂關(guān)節(jié)鉸之間的廣義Jacobi關(guān)系[12-13],則必須再利用系統(tǒng)的動(dòng)量守恒關(guān)系來(lái)消去式(5)中的項(xiàng),但由此得到的系統(tǒng)廣義Jacobi矩陣卻失去對(duì)系統(tǒng)組合慣性參數(shù)的線性關(guān)系,這也將給具有未知參數(shù)的雙臂空間機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)帶來(lái)進(jìn)一步的困難。因此,我們保留了系統(tǒng)Jacobi關(guān)系與相對(duì)應(yīng)的項(xiàng),并采用增廣變量法來(lái)進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。

3 增廣變量法

為了能直接使用式(5)中與系統(tǒng)組合慣性參數(shù)保持線性關(guān)系的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)Jacobi關(guān)系,我們擴(kuò)展系統(tǒng)原有的輸出XP=[xP2yP2xP4yP4]T∈ R4,定義Y=[θ0XTP]T為系統(tǒng)新的增廣輸出變量,則系統(tǒng)增廣輸出速度變量Y˙與系統(tǒng)廣義速度變量˙q 之間滿足如下關(guān)系:

式中,I為一階單位陣;0為1×4階零矩陣。

定義YD=[θ0 XTD]T為系統(tǒng)的增廣期望輸出向量,其中XD=[xP2DyP2DxP4DyP4D]T為雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)兩個(gè)機(jī)械臂末端爪手在慣性空間的期望運(yùn)動(dòng)軌跡;并定義er=(XD—XP)為期望軌跡與實(shí)際軌跡之間的誤差,則Y與YD之間的增廣誤差向量e可表示為

若Jr非奇異,則矩陣J可逆,定義系統(tǒng)的參考關(guān)節(jié)角速度 η˙為

式中,~J為參考模型中相應(yīng)的J矩陣;K1為任選的對(duì)稱正定常值矩陣。

并定義系統(tǒng)的實(shí)際關(guān)節(jié)角速度與參考關(guān)節(jié)角速度之間的增廣誤差為

將式(7)、式(8)、式(9)代入式(6),可導(dǎo)出系統(tǒng)的誤差方程:

式中,Φ1、~Φ1分別為J、~J中系統(tǒng)慣性參數(shù)的待估計(jì)參數(shù)值和可調(diào)參數(shù)值。

將式(8)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)可得參考關(guān)節(jié)角加速度

利用式(9),式(1)可化作

4 復(fù)合自適應(yīng)控制

設(shè)計(jì)如下增廣控制輸入規(guī)律:

式中,~D、~h分別為參考模型中相應(yīng)的D、h矩陣;K2為4×4階任選的對(duì)稱正定常值矩陣。

其中參數(shù)δ的作用在于確保式(13)中第一式右端恒為零。

將式(13)的控制規(guī)律代入式(12),可得

式中,W2為q、q˙、η˙、η¨的不含待估計(jì)參數(shù)的函數(shù)矩陣;ˉΦ2為系統(tǒng)參數(shù)不確定所引起的真實(shí)模型與參考模型間的參數(shù)誤差向量;Φ2為系統(tǒng)真實(shí)模型中從D,h分離出的不確定參數(shù)的真值;~Φ2為系統(tǒng)參考模型中從~D、~h分離出的不確定參數(shù)的不精確估計(jì)值。

可保證

證明 設(shè) e=0,^s=0,ˉΦ1=0,ˉΦ2=0 為無(wú)擾運(yùn)動(dòng),式(10)及式(15)為受擾運(yùn)動(dòng)方程,選擇如下正定函數(shù)作為準(zhǔn)Lyapunov函數(shù)V:˙

計(jì)算V的通過(guò)動(dòng)力學(xué)方程構(gòu)成的全導(dǎo)數(shù)V ,并利用式(10)、式(14)、式(15)及關(guān)系式(2)有

其中 ,K*=diag(1,K2)。顯然,V˙是e和^s的二次型,因?yàn)镴有界,因此當(dāng)參數(shù)γ選擇得足夠大,當(dāng)˙且僅當(dāng)e=0,^s=0時(shí)可保證V ≤0。

˙

因此,控制輸入規(guī)律(式(13))和參數(shù)自適應(yīng)規(guī)律(式(15))可有效地控制雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)漸近穩(wěn)定地追蹤由XD所描述的慣性空間期望軌跡。

5 仿真分析

以圖1所示做平面運(yùn)動(dòng)的自由漂浮雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真運(yùn)算。系統(tǒng)的具體慣性參數(shù)如下:l1=l2=l3=l4=3.0m,a=b=1.0m,a1=a2=a3=a4=1.5m;各分體質(zhì)量m0=40kg,m1=m2=2m3=2m4=2kg;中心慣量矩J0=35kg˙m2,J1=J3=1.5kg˙m2,J2=J4=0.75 kg˙m2;機(jī)械臂末端抓手所持載荷的質(zhì)量及中心慣量矩分別為mP2=mP4=2kg,JP2=JP4=1.25 kg˙m2。

在仿真過(guò)程中,運(yùn)動(dòng)的初始值均取為θ0(0)=0.1rad,θ1(0)=0.2rad,θ2(0)=2rad,θ3(0)=2.8rad,θ4(0)=4.4rad;仿真時(shí)間為 t=20s 。仿真時(shí)假設(shè)載荷的質(zhì)量及中心慣量矩mP2、mP4和JP2、JP4未知,并假定它們的初始估計(jì)值均為0。設(shè)雙臂空間機(jī)器人兩個(gè)末端爪手的期望運(yùn)動(dòng)規(guī)律分別為

仿真中的待估計(jì)參數(shù)向量Φ1有11個(gè)分量,Φ2有19個(gè)分量,均為包含mP2、mP4、JP2、JP4及其他已知系統(tǒng)慣性參數(shù)的組合函數(shù)。利用式(13)和式(15)給出的自適應(yīng)控制方案進(jìn)行系統(tǒng)控制仿真運(yùn)算,圖2和圖3所示分別為雙臂空間機(jī)器人右臂末端爪手和左臂末端爪手期望運(yùn)動(dòng)軌跡與實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的比較情況;圖4和圖5所示為此期間雙臂空間機(jī)器人載體姿態(tài)角θ0及機(jī)械臂各個(gè)關(guān)節(jié)角θ的變化情況。自適應(yīng)規(guī)律(式(15))雖然并不能保證待估計(jì)參數(shù)向量收斂于其真值或某一常值,但仿真結(jié)果表明了該自適應(yīng)律能保證系統(tǒng)的跟蹤誤差收斂到零。

6 結(jié)論

(1)結(jié)合系統(tǒng)總質(zhì)心定義和第二類拉格朗日方程,所得到的漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程可由一組選定的系統(tǒng)慣性參數(shù)線性表示;利用增廣法,系統(tǒng)的廣義Jacobi矩陣也可以表示為一組慣性參數(shù)的線性函數(shù)。

(2)利用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程及Jacobi矩陣對(duì)一組選定的系統(tǒng)慣性參數(shù)的線性關(guān)系,可設(shè)計(jì)出具有未知參數(shù)的漂浮基雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)跟蹤慣性空間期望運(yùn)動(dòng)軌跡的復(fù)合自適應(yīng)控制方案。

(3)對(duì)一平面雙臂空間機(jī)器人系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算。仿真結(jié)果表明,本文提出的復(fù)合自適應(yīng)控制算法能有效地消除載荷參數(shù)未知對(duì)控制精度的影響,有效地控制雙臂空間機(jī)器人的兩個(gè)末端爪手穩(wěn)定地追蹤慣性工作空間的期望運(yùn)動(dòng)軌跡。

(4)由于不需要對(duì)載體的位置、姿態(tài)進(jìn)行控制,上述控制方案同時(shí)大大減少了系統(tǒng)的燃料消耗,有效地延長(zhǎng)了空間機(jī)器人的在軌使用壽命。

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