李小金 苑士華 胡紀(jì)濱

北京理工大學(xué)車輛傳動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京,100081

0 引言

缸體與配流盤之間的平衡分析是軸向柱塞液壓元件設(shè)計(jì)中不可缺少的環(huán)節(jié),而精確求得配流副間油膜的壓力場則是平衡分析的關(guān)鍵。國內(nèi)外學(xué)者針對平面配流副進(jìn)行了大量的研究工作。Shute等[1]通過電模擬法計(jì)算了平面配流副上高低壓油槽間過渡區(qū)域的壓力分布,并給出了等效延伸角。Yamaguchi等[2-3]、Pan等[4]、陳卓如等[5]、王有榮等[6]利用不同形式的數(shù)值計(jì)算方法給出了平面配流副壓力場分布的數(shù)值解。而針對目前應(yīng)用較多的球面配流副的研究則極少,且多數(shù)為以測量油膜形狀為目的的試驗(yàn)研究[7-8]。在壓力場研究方面,基本上采用忽略過渡區(qū)壓力場的方法,只研究一維徑向壓力場分布[9],這與實(shí)際的情況通常有較大的偏差。

油膜的二維壓力場可由雷諾方程求得。雷諾方程是非線性二階偏微分方程,通常很難求得解析解,需要使用計(jì)算流體力學(xué)方法進(jìn)行數(shù)值求解。有限差分法是其中發(fā)展最為成熟、應(yīng)用最為廣泛的數(shù)值求解方法之一。有限差分法采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算,由于配流副油膜形狀復(fù)雜,因此,為保證網(wǎng)格質(zhì)量及求解精度,需要在求解的物理區(qū)域建立貼體網(wǎng)格,貼體網(wǎng)格在計(jì)算域中將被映射為矩形網(wǎng)格。貼體網(wǎng)格的生成方法主要有三種:代數(shù)方法、微分方程方法和保角變換方法[10],其中微分方程方法可以處理各種不規(guī)則邊界,應(yīng)用最為廣泛。但微分方程法需要以平面直角坐標(biāo)系作為物理區(qū)域的坐標(biāo)系,而對于球面配流副,其物理區(qū)域?yàn)榍蛎?因此,無法將物理區(qū)域通過平面直角坐標(biāo)系表示。本文探討球面坐標(biāo)系下貼體網(wǎng)格的生成方法,解決球面配流副二維壓力場的求解問題。

1 貼體坐標(biāo)系下球面配流副的雷諾方程

本文在文獻(xiàn)[11]中提到的雷諾假設(shè)條件下,利用不可壓縮黏性流體的雷諾方程求解球面配流副壓力場。張量形式的雷諾方程表達(dá)式為:

由雷諾假設(shè),在油膜厚度方向不計(jì)壓力的變化,因此球面配流副的壓力場可以簡化為二維穩(wěn)態(tài)壓力場。式(1)是可以直接在球坐標(biāo)系下進(jìn)行數(shù)值求解的,但由于配流副的形狀復(fù)雜,求解時(shí)會(huì)給邊界條件的描述帶來很大困難,同時(shí)數(shù)值求解的精度也不高。因此通常選擇在與油膜邊界貼合的貼體坐標(biāo)系下對雷諾方程進(jìn)行求解[12-13]。設(shè)貼體坐標(biāo)系為(ξ,η),球面油膜所在球面坐標(biāo)系為(θ,φ)。應(yīng)用張量分析的相關(guān)知識[14],并將貼體坐標(biāo)系下的速度分量以球坐標(biāo)系下的缸體的轉(zhuǎn)速 ω表示。最終,式(1)在貼體坐標(biāo)系下可展開為

2 貼體網(wǎng)格的生成方程

球面配流副屬于空間曲面,因此已有的網(wǎng)格生成方程并不適用。本文將推導(dǎo)適用于球面配流副的貼體網(wǎng)格生成方程。由微分幾何學(xué)可知,空間曲面上的坐標(biāo)系均應(yīng)滿足方程[15]:

式中,r為曲面上任意一點(diǎn)的矢徑;rα、rβ為坐標(biāo)曲線在該點(diǎn)的切矢量;ξα、ξβ為坐標(biāo)系的坐標(biāo);L為微分算子;g為度規(guī)張量分量gαβ的行列式的值;Δ2為Beltrami二階微分算子;n為空間曲面的單位法矢量為空間曲面的平均曲率。

式中,P、Q為控制函數(shù)。

式(4)、式(5)即為油膜貼體網(wǎng)格的生成方程。通過生成方程求解貼體坐標(biāo)系中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的坐標(biāo)值即可自動(dòng)生成油膜貼體網(wǎng)格。當(dāng)不對貼體網(wǎng)格進(jìn)行特定控制時(shí),可令P=Q=0,而使用不同形式的控制函數(shù)可以對貼體網(wǎng)格的局部密度產(chǎn)生不同的控制效果。常用的控制函數(shù)為[13]

球面配流副上存在多個(gè)油口(對于液壓泵/液壓馬達(dá)為2個(gè),對于液壓變壓器為3個(gè)),而且各個(gè)油口的包角、壓力邊界條件也不盡相同。為了簡化雷諾方程的求解,形成一套統(tǒng)一的建模方法,本文采用在各個(gè)油口分別建立貼體坐標(biāo)系生成貼體網(wǎng)格,然后采用將其兩兩耦合的方法建立整個(gè)球面配流副上的貼體網(wǎng)格。這種建模方法的優(yōu)點(diǎn)在于貼體網(wǎng)格的生成與油口數(shù)量及包角無關(guān),而且對于各個(gè)貼體坐標(biāo)系,雷諾方程都有相同的形式,僅僅邊界條件的數(shù)值不同而已。如圖1所示,斜軸式液壓變壓器的球面配流副共有A、T、B 3個(gè)油口,因此作切口7—8、9—10、11—12,將物理域分為3塊,分別建立3個(gè)貼體坐標(biāo)系。可以看出,在物理域中邊界復(fù)雜的空間曲面在計(jì)算域中被映射為3個(gè)矩形平面。A、T、B口復(fù)雜的壓力邊界在計(jì)算域中分別被映射為橫坐標(biāo)ξ的等值線1—1′、3 —3′和5—5′;回油壓力邊界在計(jì)算域中分別被映射為橫坐標(biāo)ξ的等值線2—2′、4—4′和6—6′,其中 ,切口邊界 7—8 、9 —10、11—12為油口間的耦合邊界,并不是壓力邊界,該處的壓力值需在計(jì)算過程中確定。綜上所述,物理域中原本復(fù)雜的油膜邊界條件在計(jì)算域中變得十分簡單,而求解區(qū)域在計(jì)算域中也轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的矩形區(qū)域,從而大大降低了雷諾方程的求解難度,提高了求解精度。

3 網(wǎng)格生成方程與雷諾方程的求解

網(wǎng)格生成方程(式(4)、式(5))與雷諾方程(式(2))均為二階偏微分方程,可以用常規(guī)的有限差分迭代法在圖1b所示的計(jì)算域中求解。圖2所示為完整的求解流程。

這里需要說明的是,在迭代求解網(wǎng)格生成方程(式4)時(shí),會(huì)發(fā)現(xiàn)在該方程的若干系數(shù)中還包含待求變量θ的三角函數(shù)項(xiàng),這樣迭代方程將是隱式方程,直接求解將極大影響計(jì)算速度。為此,本文提出:在迭代過程中使用待求變量θi,j周圍的4個(gè)點(diǎn)的均值替換三角函數(shù)項(xiàng)中出現(xiàn)的θi,j,進(jìn)而將迭代方程轉(zhuǎn)化為顯式方程的形式,從而大大提高計(jì)算速度。表1所示為網(wǎng)格密度不同、但精度相同條件下使用顯式方程與隱式方程求解所花費(fèi)的時(shí)間。從表1可以看出,采用近似平均的方法將隱式方程轉(zhuǎn)化為顯式方程求解明顯縮短了求解時(shí)間。

表1 隱式方程與顯式方程求解時(shí)間對比

求解雷諾方程前,還需確定配流副上各點(diǎn)的油膜厚度。球面配流副的間隙可認(rèn)為是由兩個(gè)球面半徑相同的球面沿軸向偏移形成的偏心圓球縫隙。球面配流副上各點(diǎn)油膜厚度可表示[9]為

4 算例及討論

本文在MAT LAB環(huán)境下以斜軸式液壓變壓器為例,對球面配流副的二維穩(wěn)態(tài)壓力場進(jìn)行了編程求解,并針對不同油膜狀態(tài)下的壓力分布特性進(jìn)行比較分析。計(jì)算時(shí)液壓變壓器球面配流副的相關(guān)參數(shù)為:球面半徑R=112mm,密封帶半徑 r1=6.75mm、r2 = 10.35mm、r3=20.75mm、r4=24mm,油口包角 120°均布,配流盤控制角度60°,A口壓力20MPa,T口壓力0.5MPa,B口壓力20MPa,回油壓力0.1MPa。

圖3所示為求解網(wǎng)格生成方程生成的球面配流副貼體網(wǎng)格。為顯示清晰,圖中所示的網(wǎng)格數(shù)量為30×300(3個(gè)計(jì)算域,每個(gè)計(jì)算域劃分為10×100個(gè)網(wǎng)格)。

圖4a所示為e=5μ m 、ω=0時(shí)的油膜壓力場分布?？梢钥闯鰤毫鲫P(guān)于x軸呈對稱分布。當(dāng)兩相鄰油口壓力水平較為接近時(shí),油口間過渡區(qū)域大部分的壓力水平接近油口壓力。顯然,在這種情況下過渡區(qū)域的壓力場是不能假設(shè)為零的。圖4b為e=10μ m、ω=2000 r/min時(shí)的油膜壓力場分布?？梢钥闯?壓力場分布與圖4a完全相同。

綜上,缸體與配流盤處于偏心狀態(tài)(對配流副進(jìn)行理論分析時(shí)常假設(shè)為這一狀態(tài))時(shí)壓力場分布與偏心距、缸體轉(zhuǎn)速無關(guān)。這一點(diǎn)與常規(guī)的理論計(jì)算結(jié)果是一致的,這也是應(yīng)用剩余壓緊力理論對配流副進(jìn)行設(shè)計(jì)以及計(jì)算時(shí)無法直接確定油膜厚度的原因。此外,本文完全按照真實(shí)油膜區(qū)域求解,因而可以獲得包括過渡區(qū)域在內(nèi)的二維穩(wěn)態(tài)壓力場分布。值得注意的是,過渡區(qū)域的壓力場在相鄰油口壓力接近時(shí)不能假設(shè)為零,其產(chǎn)生的分離力是不能被忽略的,否則將給分離力的計(jì)算造成較大的誤差。

李小寧[9]給出了忽略過渡區(qū)壓力場(認(rèn)為只在徑向上存在壓力梯度)的情況下,同軸偏心時(shí)球面配流副密封帶徑向壓力場分布的解析解。這一解析解雖然不能描述過渡區(qū)的壓力分布,但是在描述油口區(qū)域密封帶的壓力分布時(shí)是準(zhǔn)確的。圖5所示為配流盤A口區(qū)域內(nèi)外密封帶壓力分布的數(shù)值解與解析解的對比圖?？梢钥闯?在貼體坐標(biāo)系下求出的數(shù)值解與解析解非常接近。

由于配流副尺寸通常較小,壓力場也很難通過試驗(yàn)測得。有關(guān)球面配流副過渡區(qū)域的壓力場分布的試驗(yàn)數(shù)據(jù)幾乎沒有,因此無法直接對計(jì)算結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。而平面配流副是進(jìn)行理論與試驗(yàn)研究時(shí)最常使用的配流副,對其過渡區(qū)域壓力場的研究則相對較多一些。當(dāng)球面半徑很大時(shí),可以認(rèn)為球面配流副即近似為平面配流副。因此,作為對比和驗(yàn)證,本文使用球面配流副的貼體網(wǎng)格生成方程及相應(yīng)的雷諾方程進(jìn)行平面配流副的近似計(jì)算,計(jì)算時(shí)取球面半徑R=100m、配流盤半徑r4=30mm。由簡單的幾何計(jì)算可知,此時(shí)配流盤的球面高度僅為4.5μ m,完全滿足通常平面配流盤平面度不大于5μ m的要求,這樣的近似是可行的。圖6所示為取量綱一寬度=0.4、量綱一槽寬=0.4、高低壓槽端部區(qū)夾角ε=32°時(shí),計(jì)算所得量綱一等壓力分布線與文獻(xiàn)[1]中電模擬法結(jié)果的對比。可以看出,兩者非常接近。圖7所示為取=0.4時(shí),計(jì)算得出的等效延伸角與文獻(xiàn)[1]中結(jié)果的對比?？梢钥闯?兩者誤差很小,絕大部分結(jié)果誤差小于0.5°。在實(shí)際應(yīng)用中等效延伸角變化1°大約相當(dāng)于分離力變化1%,這樣的誤差完全可以接受。

5 結(jié)論

(1)推導(dǎo)出了基于球面坐標(biāo)系的貼體網(wǎng)格生成方程,在貼體坐標(biāo)系下求解雷諾方程得到了球面配流副的二維穩(wěn)態(tài)壓力場,為今后進(jìn)一步開展球面配流副二維壓力場特性的理論研究提供了條件。

(2)針對迭代求解貼體網(wǎng)格生成方程時(shí)迭代方程為隱式方程的問題,提出了通過近似平均將隱式方程轉(zhuǎn)化為顯式方程的方法,可在不降低求解精度的條件下大大縮短求解時(shí)間。

(3)對液壓變壓器球面配流副不同工況下的壓力場分布進(jìn)行了計(jì)算求解。計(jì)算結(jié)果表明壓力場分布與油膜厚度、缸體轉(zhuǎn)速無關(guān)。油口區(qū)域密封帶徑向壓力分布的計(jì)算結(jié)果與解析解相吻合。此外,當(dāng)兩相鄰油口壓力接近時(shí),過渡區(qū)域的壓力場不能忽略。

(4)用球面配流副近似平面配流副進(jìn)行了壓力場計(jì)算。結(jié)果表明本文得出的計(jì)算結(jié)果與采用電模擬法得到的壓力場分布、等效延伸角等結(jié)果非常接近,證明本文提出的二維壓力場計(jì)算方法正確、可行。

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