馬振書(shū) 梅 濤

1.中國(guó)科學(xué)院合肥智能機(jī)械研究所,合肥,230031 2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué),合肥,230026

3.軍械技術(shù)研究所,石家莊,050000

0 引言

車(chē)載機(jī)械手用于在遠(yuǎn)距離遙控中對(duì)危險(xiǎn)品彈藥進(jìn)行抓取和搬運(yùn),并且在將炮彈放置到安全地點(diǎn)前保證其不會(huì)爆破,以避免造成人員傷亡。由于路面情況復(fù)雜,機(jī)械手在行走過(guò)程中極易由于彈性振動(dòng)而使炮彈自行爆破,因此機(jī)械手的振動(dòng)控制是保證其可靠工作的關(guān)鍵所在。動(dòng)力學(xué)建模是實(shí)現(xiàn)機(jī)械手動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制的理論基礎(chǔ)。在柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)建模方面,Agrawal等[1]、Sunada等[2]利用有限元法將剛彈耦合引入到柔性機(jī)械手動(dòng)力學(xué)模型中,建立了機(jī)械手的控制方程;崔玲麗等[3]利用有限差分法和有限元法建立了單桿柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)模型,模型中包含了機(jī)械臂的形狀參數(shù)以及驅(qū)動(dòng)器的參數(shù)。但對(duì)于多連桿柔性機(jī)械手而言,采用有限元法的動(dòng)力學(xué)建模限制了計(jì)算速度的提高,使之成為機(jī)械手控制實(shí)現(xiàn)的一大障礙。王樹(shù)新等[4]利用有限線段法建立柔性機(jī)械臂的離散模型,以基于Kane方程的Huston方法建立柔性機(jī)械臂的動(dòng)力學(xué)方程,該方程中計(jì)入了幾何非線性變形的慣性影響,包括非對(duì)稱(chēng)截面當(dāng)量彈性力對(duì)于廣義主動(dòng)力的貢獻(xiàn)。Johanni[5]、李光等[6]利用假設(shè)模態(tài)法建立了形式簡(jiǎn)捷的動(dòng)力學(xué)方程。曹學(xué)民等[7]利用多體系統(tǒng)理論建立了柔性機(jī)械手的動(dòng)力學(xué)普遍方程,綜合考慮了剛彎、剛扭和彎扭耦合的影響。

考慮所研究的車(chē)載機(jī)械手實(shí)際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性[8-12],筆者在綜合考慮動(dòng)力學(xué)控制實(shí)現(xiàn)的基礎(chǔ)上,借助固定界面模態(tài)綜合法研究這類(lèi)車(chē)載機(jī)械手彈性動(dòng)力學(xué)建模方法,并在子結(jié)構(gòu)劃分中有效地利用約束模態(tài)坐標(biāo)建立了機(jī)械手本體與液壓作動(dòng)器之間的聯(lián)系。探討了結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)低階模態(tài)的影響規(guī)律,以期為這類(lèi)機(jī)械手的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)和振動(dòng)控制提供理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)簡(jiǎn)介與基本假設(shè)

本文所研究的車(chē)載機(jī)械手如圖1所示,由搖桿OB、伸縮桿套CE和由絲杠螺母驅(qū)動(dòng)的伸縮桿GC、手爪控制桿GH和HE組成,該機(jī)械手由2個(gè)液壓缸和2個(gè)伺服電機(jī)驅(qū)動(dòng),實(shí)現(xiàn)機(jī)械手的位姿調(diào)整。在彈性動(dòng)力學(xué)建模中假設(shè)各轉(zhuǎn)動(dòng)副為理想約束。

根據(jù)機(jī)械手各彈性桿件之間的連接關(guān)系、約束條件及建立的振動(dòng)控制模型,可將機(jī)械手視為

2 動(dòng)力學(xué)建模

根據(jù)搖桿、伸縮桿套和伸縮桿、手爪控制桿相互之間的連接關(guān)系和邊界約束條件,將搖桿OB視為2個(gè)鉸支固支梁,以模擬搖桿與安裝車(chē)體、搖桿與伸縮桿套間的轉(zhuǎn)動(dòng)副連接,而搖桿與液壓作動(dòng)器的連接處用固支處理;伸縮桿套CE視為兩個(gè)固支梁和一個(gè)懸臂梁,伸縮桿視為一個(gè)固支梁和一個(gè)鉸支固支梁,手爪控制桿視為兩個(gè)鉸支梁,鉸支端分別模擬伸縮桿和手爪控制桿間的轉(zhuǎn)動(dòng)副連接。從而,機(jī)械手可視為9個(gè)子結(jié)構(gòu)的組成,利用固定界面模態(tài)綜合法構(gòu)造機(jī)械手的彈性動(dòng)力學(xué)模型。

2.1 子結(jié)構(gòu)模態(tài)基的構(gòu)造

設(shè)桿件是密度為 ρ、截面積為 A、桿長(zhǎng)為 l、抗彎截面模量為EJ的等截面細(xì)長(zhǎng)均質(zhì)桿。為方便書(shū)寫(xiě)和計(jì)算,暫略去連桿下標(biāo),且在梁的一端的截面中心建立局部坐標(biāo)系Oxy,使得軸 x的方向與連桿的軸線重合,如圖2所示。將桿視為歐拉梁,則其在坐標(biāo)系Oxy下,沿y軸的彎曲振動(dòng)方程及x軸的縱振控制方程可表示為

考慮外部激勵(lì),則式(1)可寫(xiě)為

考慮到系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)副為理想約束,故利用固定界面法可極為方便地構(gòu)造出鉸支固支梁的彎曲振動(dòng)主模態(tài)和縱向振動(dòng)主模態(tài),即若干個(gè)不同支承條件的彈性梁組合,如圖2所示。

圖3所示為子結(jié)構(gòu)約束坐標(biāo)定義。將鉸支固支梁兩端的移動(dòng)自由度和固支端的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度作為約束自由度(圖 3a),可構(gòu)造出界面約束模態(tài)函數(shù):

改變鉸支端的約束條件為固支,同理可構(gòu)造出固支梁的彎曲振動(dòng)主模態(tài)和縱向振動(dòng)主模態(tài),即

將固支梁兩端的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度作為約束自由度(圖3b),亦可構(gòu)造出固支梁的約束模態(tài)函數(shù):

釋放固支梁的一端,就可得到懸臂梁的彎曲振動(dòng)主模態(tài)和縱向振動(dòng)主摸態(tài):

將懸臂梁的邊界移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)自由度作為約束自由度(圖 3c),可構(gòu)造出懸臂梁的約束模態(tài)函數(shù):

將鉸支固支梁的固支端改為鉸支,可構(gòu)造出鉸支梁的彎曲和縱向振動(dòng)主模態(tài):

將鉸支梁兩端的移動(dòng)自由度視為約束自由度(圖3d),可得到鉸支梁的約束模態(tài)函數(shù):

2.2 子結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型

將式(11)代入式(2)可得到uk方向模態(tài)坐標(biāo)下的振動(dòng)微分方程

式中,quk、Fuk分別為廣義坐標(biāo)和廣義力列陣,其中Fukc1=Fukc1w+Fukc1n,Fukc2=Fukc2w+Fukc2n;Fukc1為uk方向上各子結(jié)構(gòu)對(duì)接的邊界力和作用在邊界上的外部激振力的組合;Fukc1w、Fukc2w為外部激振力;Fukc1n、Fukc2n為對(duì)接的邊界力;Muk、Kuk為該方向的主質(zhì)量和主剛度矩陣。

則單個(gè)子結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程為

2.3 柔性車(chē)載機(jī)械手的彈性動(dòng)力學(xué)模型

如圖2所示,子結(jié)構(gòu)(1)和(2)可視為鉸支固支梁,二者在A點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

式中,Ri為子結(jié)構(gòu)i的局部坐標(biāo)系的方向余弦矩陣。

子結(jié)構(gòu)(3)和(4)可視為固支梁,二者與子結(jié)構(gòu)(2)在B點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

子結(jié)構(gòu)(5)可視為懸臂梁,其與子結(jié)構(gòu)(4)在D點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

子結(jié)構(gòu)(6)可視為固支梁,與子結(jié)構(gòu)(3)在C點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

子結(jié)構(gòu)(7)可視為鉸支固支梁,子結(jié)構(gòu)(9)可視為鉸支梁,則二者與子結(jié)構(gòu)(6)在F點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件為

子結(jié)構(gòu)(8)可視為鉸支梁,其與子結(jié)構(gòu)(7)在G點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

子結(jié)構(gòu)(8)與(9)在H點(diǎn)的變形協(xié)調(diào)條件可表示為

兩個(gè)電機(jī)作為集中質(zhì)量作用在F點(diǎn)和C點(diǎn),用qm1和qm2表示電機(jī)1和2的模態(tài)坐標(biāo),并且有變形協(xié)調(diào)條件:

把以上變形協(xié)調(diào)條件寫(xiě)成矩陣形式:

取B中27個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量構(gòu)成矩陣Ba,其余列向量記為矩陣BI,其相應(yīng)的廣義坐標(biāo)分別為qa和qI,則

式中 N=19。擴(kuò)展到所有模態(tài)坐標(biāo),進(jìn)一步可導(dǎo)出:

把子結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)控制方程組集合起來(lái),可得到質(zhì)量陣M和剛度陣K,引入變形協(xié)調(diào)條件后系統(tǒng)的彈性動(dòng)力學(xué)模型為

因?yàn)閷?duì)接力為內(nèi)力,大小相等,方向相反,可證明 βTFcn=0。

3 動(dòng)力學(xué)仿真

利用上述模型考察車(chē)載機(jī)械手的低階固有頻率隨幾何參數(shù)的變化規(guī)律,以及低階模態(tài)對(duì)機(jī)械手末端振動(dòng)的貢獻(xiàn),系統(tǒng)中的物理參數(shù)如表1所示。圖4所示為系統(tǒng)一、二、三階固有頻率隨搖桿、伸縮桿套、伸縮桿和手爪控制桿截面尺寸(矩形空心截面、壁厚不變)的變化規(guī)律。

表1 物理參數(shù)

圖4a示出了搖桿截面尺寸對(duì)系統(tǒng)固有頻率f的影響規(guī)律。由圖4a可見(jiàn),當(dāng)矩形截面邊長(zhǎng)slOB在50mm和150mm之間變化時(shí),一階固有頻率隨著截面邊長(zhǎng)的增大而增大,頻率變化范圍為4.4～8.4Hz;當(dāng)截面邊長(zhǎng)大于150mm時(shí),一階固有頻率變化甚微,但二階固有頻率隨著截面邊長(zhǎng)的增大而快速增大,變化范圍為10～30Hz;而搖桿截面尺寸對(duì)三階固有頻率影響很小。

圖4b示出了伸縮桿套截面尺寸對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律。由圖4b可見(jiàn),伸縮桿套截面邊長(zhǎng)slCE對(duì)一、二階固有頻率影響很小;當(dāng)截面尺寸為50～70mm,三階固有頻率隨著截面尺寸的增大而增大,頻率的變化范圍為52～54Hz,當(dāng)截面尺寸大于70mm時(shí),三階固有頻率下降很快。

圖4c示出了伸縮桿截面尺寸對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律。由圖4c可見(jiàn),當(dāng)矩形截面邊長(zhǎng)slG C在50mm和100mm之間變化時(shí),一階固有頻率隨著截面邊長(zhǎng)的增大而增大,頻率變化范圍為6.1～9.1Hz;當(dāng)截面邊長(zhǎng)大于120mm時(shí),一階固有頻率變化甚微,但二、三階固有頻率隨著截面邊長(zhǎng)的增大而快速增大,二階固有頻率的變化范圍為11～26Hz,而三階固有頻率的變化范圍為41～130Hz。

圖4d示出了手爪控制桿截面邊長(zhǎng)slGHE對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響規(guī)律。由圖4d可見(jiàn),手爪控制桿截面尺寸對(duì)低階固有頻率的影響甚微。

基于以上分析,對(duì)低階固有頻率影響較大的為搖桿和伸縮桿的截面尺寸。二者截面尺寸對(duì)低階固有頻率的影響,以及搖桿和伸縮桿截面尺寸對(duì)低階固有頻率的影響規(guī)律如圖5所示。由圖5可見(jiàn),增大搖桿和伸縮桿的截面尺寸可顯著提高車(chē)載機(jī)械手的低階固有頻率。

4 結(jié)論

①提出將車(chē)載機(jī)械手分解成若干子結(jié)構(gòu),在建立各自動(dòng)力學(xué)模型后,借助邊界條件經(jīng)綜合得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程的建模策略和分析方法。該方法易于實(shí)現(xiàn)、計(jì)算效率高,便于討論結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)低階模態(tài)的影響規(guī)律。②增大搖桿和伸縮桿截面尺寸可明顯提高機(jī)械手的低頻特性。③在液壓作動(dòng)器的作用點(diǎn)設(shè)置邊界坐標(biāo),可方便基于動(dòng)力學(xué)特性的控制模型的導(dǎo)出,為機(jī)械手的振動(dòng)控制提供了理論基礎(chǔ)。

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