羅 茜, 孫道椿

(1.嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東梅州 514015; 2. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

Laplace-Stieltjes變換的收斂性與增長性

羅 茜1, 孫道椿2

(1.嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 廣東梅州 514015; 2. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣東廣州 510631)

通過引進(jìn)新的定義方式,得到了描述Laplace-Stieltjes變換的收斂性的3種收斂橫坐標(biāo)的公式，進(jìn)而又討論了增長性，得到了與最大模的增長級一樣的新函數(shù).

Laplace-Stieltjes變換； 收斂橫坐標(biāo)； 增長性

余家榮在文獻(xiàn)[1]中結(jié)合 VALIRON[2]和KNOPP[3]中的方法,將冪級數(shù)的Cauchy-Hadamard 公式推廣到Laplace-Stieltjes 變換,得到的結(jié)果均是不等式的形式. 在文獻(xiàn)[4],又得到了關(guān)于二重Dirichlet級數(shù)和二重Laplace-Stieltjes 變換的相應(yīng)結(jié)果.這些Laplace-Stieltjes變換的結(jié)果均依賴于預(yù)先取定的一個(gè)遞增趨于無窮的且滿足一定條件的序列{n},這樣就可以將問題轉(zhuǎn)化為類似于Dirichlet級數(shù)[5-7]的研究. 我們從另一個(gè)角度出發(fā),改變以前依賴序列{n}來研究的狀況,而試圖得到一些新的較為廣泛的結(jié)果.

1 主要定義

定義3F(s)的最大模為

定義4F(s)的增長級為

其中

2 有關(guān)收斂性的結(jié)果

首先得到一個(gè)與Dirichlet級數(shù)完全類似的結(jié)果[5].

引理1 如果F(s)在點(diǎn)s0=σ0+it0處收斂,那么

2)F(s)在σgt;σ0內(nèi)收斂.

這時(shí)取ugt;M,xgt;u,則有

因此F(s)在Er上一致收斂. 由1),我們很容易得到2).

K(σ0)e-x(σ0-A)/2,

其中當(dāng)σ0lt;0時(shí),K(σ0)=2e-Kσ0;當(dāng)σ0≥0時(shí),K(σ0)=1. 因此

進(jìn)一步,

對于一致收斂橫坐標(biāo),我們也有如下結(jié)果.

引理2 如果F(s)在直線σ=σ0上一致收斂, 則F(s)在右半平面σ≥σ0上一致收斂.

定理2

K是一個(gè)正常數(shù).

引理3 如果F(s)在點(diǎn)s=σ0處絕對收斂, 那么F(s)在σ≥σ0上絕對收斂.

3 有關(guān)增長性的一些結(jié)果

下面討論Mu(σ,F)與μK(σ,F)的關(guān)系.

定理4 對上述的F(s),?εgt;0,當(dāng)σlt;0時(shí),有下列不等式成立：

2eσxMu(σ,F)lt;2Mu(σ,F).

因此,μK(σ,F)≤2Mu(σ,F). 另一方面,

于是,當(dāng)σlt;0時(shí),對任意的εgt;0,

2μK(σ-ε,F)emK(σ-ε)e-σx≤

此時(shí)，若μK(σ,F)的增長級定義為

由定理4,立即可得如下推論.

推論1 對上述的F(s),有u=μK.

推論2 對上述的F(s),對任意的K1,K2gt;0,有μK1=μK2.

[1] 余家榮.Laplace-Stieltjes變換所定義的整函數(shù)之Borel線[J]. 數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1963(3):471-484.

[2] VALION G.Entire functions and Borel’s directions[J].Proc Nat Acad Sci,1934,20:211-215.

[3] KNOPP K.über die Konvergenzabscisse des Laplace-Integrals [J].Math Zeits,1951,54:291-296.

[4] 余家榮.二重Dirichlet級數(shù)和二重Laplace-Stieltjes變換的收斂性[J].武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1962(1)：1-17.

[5] 余家榮.狄里克萊級數(shù)與隨機(jī)狄里克萊級數(shù)[M].北京:科學(xué)出版社,1997.

[6] 孫道椿.Dirichlet級數(shù)的的級[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2001(3):14-19;77.

SUN Daochun. The order of Dirichlet series[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2001(3):14-19;77.

[7] 黃志波，孫道椿. 無限級Dirichlet級數(shù)的增長性[J]. 華南師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003(4):27-31.

HUANG Zhibo,SUN Daochun.The growth of dirichlet series of infinite order[J].Journal of South China Normal University:Natural Science Edition,2003(4):27-31.

Keywords： Laplace-Stieltjes transforms; convergent abscissa; growth property

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

THECONVERGENCEANDGROWTHOFLAPLACE-STIELTJESTRANSFORMS

LUO Xi1, SUN Daochun2

(1. School of Mathematics, Jiaying University, Meizhou, Guangdong 514015, China;2. School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China)

By the new definition, some new results about the convergent properties of Laplace-Stieltjes transforms are obtained. Furthermore, a new function, which grows as quickly as the maximum norm function, is defined.

2009-02-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10471048)

羅茜(1981—),女,廣東梅州人,嘉應(yīng)學(xué)院助教,主要研究方向：函數(shù)論，Email:luoxi8100@yahoo.com.cn.

1000-5463(2010)01-0009-03

O175.55

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