黃志波， 李 倩

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 廣東廣州 510642)

周期系數(shù)高階線性微分方程的次正規(guī)解

黃志波1， 李 倩2*

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東廣州 510631；2.華南農(nóng)業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系, 廣東廣州 510642)

考慮周期系數(shù)高階線性微分方程

其中n≥2,Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是關(guān)于z的多項式, 且Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1) 不全為常數(shù). 在條件degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)下, 獲得方程的次正規(guī)解的表示.

高階線性微分方程; 次正規(guī)解; 周期系數(shù)

考慮二階齊次線性微分方程

f″+[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+
[P2(ez)+Q2(e-z)]f=0,

(1)

其中P1(z),P2(z),Q1(z)和Q2(z)均是關(guān)于z的多項式, 且不全為常數(shù). 眾所周知,方程(1)的所有解均為整函數(shù)[1].

定義1 設(shè)f(z)為整函數(shù),則函數(shù)f(z)的e-型級定義為

(2)

定義2 設(shè)f(z)?0是方程(1)的解且滿足ρe(f)=0, 則稱f(z)為方程(1)的次正規(guī)解. 特別地, 稱f(z)≡0也是方程(1)的次正規(guī)解.

關(guān)于方程(1)的次正規(guī)解的研究, 我們可以參考文獻(xiàn)[2]-[7]. 在文獻(xiàn)[2]中, 黃志波和陳宗煊給出了方程(1)的所有次正規(guī)解的表示, 即:

定理A[2]設(shè)f(z)是方程(1)的次正規(guī)解,其中P1(z),P2(z),Q1(z)和Q2(z)均是關(guān)于z的多項式且不全為常數(shù).

(1)如果degP1gt;degP2和P2+Q2≡0, 那么方程(1)的任一次正規(guī)解必為常數(shù).

(2)如果degP1gt;degP2和P2+Q2?0, 那么f(z)的表示形式為

f(z)=g2(e-z),

其中g(shù)2(z)是關(guān)于z的多項式且deg{g2}≥1.

(3)如果degP1lt;degP2, 那么方程(1)唯一的次正規(guī)解f(z)≡0.

(4)如果degP1=degP2≥1, 那么f(z)的表示形式為

f(z)=eβ1z[g1(ez)+g2(e-z)]+
eβ2z[g3(ez)+g4(e-z)],

其中β1和β2是復(fù)常數(shù),gj(z) (j=1,2,3,4)均是關(guān)于z的多項式.

考慮更一般的微分方程

f″+[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+[P2(ez)+Q2(e-z)]f=

R1(ez)+R2(e-z),

(3)

其中P1(z),P2(z),Q1(z),Q2(z),R1(z)和R2(z)均是關(guān)于z的多項式, 且不全為常數(shù). 在文獻(xiàn)[3]、[4]中，獲得方程(3)的所有次正規(guī)解的表示, 即

定理B[3-4]設(shè)f(z)是方程(3)的次正規(guī)解,其中P1(z),P2(z),Q1(z),Q2(z),R1(z)和R2(z)是關(guān)于z的多項式, 且不全為常數(shù).

(1)如果 degP1gt;degP2和degP1gt;degR1, 那么f(z)的表示形式為

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是一復(fù)常數(shù),g1(z)和g2(z)是關(guān)于z的多項式.

(2)如果degP1gt;degP2和degP1≤degR1,那么f(z)的表示形式為

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)]+c1zg3(e-z)+
c2g4(e-z)+g0(ez),

(3)如果degP1lt;degP2, 那么f(z)的表示形式為

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是一復(fù)常數(shù),g1(z)和g2(z)是關(guān)于z的多項式.

(4)如果degP1=degP2≥1, 那么f(z)具有下面2種形式之一:

f(z)=ceβ1z[g1(ez)+g2(e-z)]+
eβ2z[g3(ez)+g4(e-z)],

其中c、β1和β2是復(fù)常數(shù)且β1不為整數(shù),gj(z) (j=1,2,3,4)是關(guān)于z的多項式, 或者

f(z)=enzeβz[g1(ez)+g2(e-z)]+
c1zg3(e-z)+c2g4(e-z)+g0(ez),

其中n是一整數(shù),β、c1和c2是常數(shù),gj(z) (j=0,1,2,3,4)是關(guān)于z的多項式且deg{g3}≥1.

問題: 定理A和定理B是否可推廣到高階微分方程

(4)

(其中n≥2,Pj(z),Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是關(guān)于z的多項式且Pj(z)和Qj(z) (j=0,1,2,…,n-1)不全為常數(shù))?

4) 獨立盤管系統(tǒng)(見圖2)采用空氣-水系統(tǒng)空調(diào)型式，獨立風(fēng)機盤管既可安裝于艙室衛(wèi)生單元背部或艙室其他空間，也可安裝于艙室外部區(qū)域，使用靈活，可有效利用船上的布置空間。經(jīng)過新風(fēng)空調(diào)機組處理的風(fēng)送至風(fēng)機盤管與回風(fēng)混合，混合后經(jīng)過冷媒水盤管或電加熱盤管處理，通過風(fēng)管送至房間內(nèi)的布風(fēng)器。房間內(nèi)的溫度由安裝的溫度控制器設(shè)定。溫度控制器通過控制風(fēng)機盤管的風(fēng)量達(dá)到控制室內(nèi)溫度的目的。風(fēng)機盤管相當(dāng)于一套變風(fēng)量子系統(tǒng)。

在下面的定理中, 我們研究了方程(4)和它所對應(yīng)的齊次方程

f(n)+[Pn-1(ez)+Qn-1(e-z)]f(n-1)+…+

[P1(ez)+Q1(e-z)]f′+[P0(ez)+Q0(e-z)]f=0,

(5)

在條件degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)下回答了這個問題.

1 高階齊次線性微分方程的次正規(guī)解

引理1[8]設(shè)f(z)是超越亞純函數(shù),αgt;1是一個給定的實數(shù),kgt;j≥0. 那么存在C=C(α)gt;0使得下面2個結(jié)論成立, 其中r=|z|.

(6)

定理1 設(shè)f(z)是方程(5)的次正規(guī)解, 其中n≥2,Pj(z)和Qj(z) (j=0,1,…,n-1)均是關(guān)于z的多項式, 且不全為常數(shù). 如果degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1), 那么方程(5)的唯一次正規(guī)解f(z)≡0.

證明設(shè)整函數(shù)f(z)是方程(5)的次正規(guī)解. 因為degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1), 那么f(z)不可能為多項式. 下面, 考慮f(z)為超越整函數(shù). 由方程(5)知,

(7)

(j=1,2,…,n),

(8)

其中C和α如同引理1. 于是, 對任意給定的εgt;0,當(dāng)z沿著射線argz=ψ趨于z→∞時, 由式(7)、(8)和degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1)可推出1≡0, 矛盾. 這表明, 當(dāng)degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1) 時， 方程(5)的唯一次正規(guī)解為f(z)≡0. 證畢.

2 高階非齊次線性微分方程的次正規(guī)解

引理2[2]設(shè)整函數(shù)f(z)是n階微分方程

P0(ez,e-z)f(n)+P1(ez,e-z)f(n-1)+…+
Pn(ez,e-z)f=Pn+1(ez,e-z)

(9)

的次正規(guī)解,其中Pj(ez, e-z) (j=0,1,…,n+1)是關(guān)于ez和e-z的多項式且P0(ez, e-z)≠0. 如果f(z)和f(z+2πi)線性相關(guān), 那么f(z)的表示形式為

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

其中β是復(fù)常數(shù),g1(z)和g2(z)是關(guān)于z的多項式.

定理2 設(shè)f(z)是方程(4)的次正規(guī)解, 其中n≥2,Pj(z),Qj(z)(j=0,1,…,n-1),R1(z)和R2(z)均是關(guān)于z的多項式, 且不全為常數(shù). 如果 degPjlt;degP0(j=1,2,…,n-1),那么方程(4)的次正規(guī)解可表示為

f(z)=eβz[g1(ez)+g2(e-z)],

(10)

其中β是復(fù)常數(shù),g1(z)和g2(z)是關(guān)于z的多項式.

證明設(shè)整函數(shù)f(z)是方程(4)的次正規(guī)解,那么f(z+2πi)也是方程(4)的次正規(guī)解. 令

h(z)=f(z)-f(z+2πi).

(11)

那么h(z)是方程(5)的次正規(guī)解. 由定理1知,h(z)≡0. 由式(11)知,f(z)≡f(z+2πi). 結(jié)合引理2,f(z)具有表示式(10). 證畢.

注1 定理1和定理2分別推廣了定理A的(3)和定理B的(3).

3 高階線性微分方程的次正規(guī)解的例

例1 如果n和q是2個整數(shù), 那么次正規(guī)解f(z)=enz+e-qz滿足方程

f″+(ez+q+e-z-n)f′+(e2z+qez-nq+qe-z)f=

e(n+2)z+(n+q)e(n+1)z+(n+q)e(n-1)z+e(2-q)z, 這里n=2, degP1=1lt;degP0=2.

例2 次正規(guī)解f(z)=e2z-e-z滿足方程

f?+(ez+e-z+1)f″-f′+(e2z-ez+e-3z)f=
e4z+3e3z+10e2z+3ez-e-2z-e-4z,

這里n=3, degP1=1, degP2=0, degP0=2.

下面的例3～例5說明滿足注2中條件

的方程(4)和方程(5)的次正規(guī)解是存在的.

例3 次正規(guī)解f(z)=e-iz+e-z滿足方程

f?+(ez+1)f″+[(1+i)ez+1]f′+(iez+1)f=0,

這里n=3, degP2=1, degP1=1, degP0=1.

例4 次正規(guī)解f(z)=e(-1+i)z+ez滿足方程

f?+(2-i)f″+[ez+1]f′+[(1- i)ez+(1+i)]f=
(2-i)e2z+5ez,

這里n=3, degP2=0, degP1=1, degP0=1.

例5 次正規(guī)解f(z)=eiz+ez滿足方程

f?+(iez+ 1)f″+(ez+1)f′+f=
(1+i)e2z+4ez,

這里n=3, degP2=1, degP1=1, degP0=0.

[1] LAINE I. Nevanlinna theory and complex differential equations[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[2] 黃志波，陳宗煊.周期系數(shù)二階齊次線性微分方程的次正規(guī)解[J].數(shù)學(xué)學(xué)報：中文版，2009,52(1):9-16.

HUANG Zhibo, CHEN Zongxuan. Subnormal solutions of second order homogeneous linear differential equations with periodic coefficients[J]. Acta Math Sinica: Chinese Series,2009, 52(1): 9-16.

[3] HUANG Zhibo, CHEN Zongxuan, LI Qian. Subnormal solutions of second order nonhomogeneous linear differential equations with periodic coefficients[J]. J of Inequalities and Application, Vol 2009, Article ID 416273, 12 Pages, doi:10.1155/2009/416273.

[4] HUANG Zhibo, XIA Xiaohua, LI Qian, et al. Subnormal solutions of second order nonhomogeneous linear periodic differential equations[J]. Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, 2010,15: 881-885.

[5] CHEN Zongxuan, SHON K H. On subnormal solutions of second order linear periodic differential equations[J]. Science in China: Series A, 2007, 50(6):786-800.

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[7] YANG C C. On factorization of entire functions satisfying differential equations[J]. Kodai Math J, 1991,14:123-133.

[8] GUNDERSEN G G. Estimates for the logarithmic derivative of a meromorphic functions, plus similar estimates[J]. J London Math Soc,1988, 37(2):88-104.

Keywords： higher order linear differential equation; subnormal solution; periodic coefficient

【責(zé)任編輯 莊曉瓊】

SUBNORMALSOLUTIONSOFHIGHERORDERLINEARDIFFERENTIALEQUATIONSWITHPERIODICCOEFFICIENTS

HUANG Zhibo1, LI Qian2*

(1.School of Mathematics, South China Normal University, Guangzhou 510631, China;2. Department of Applied Mathematics, South China Agricultural University, Guangzhou 510640, China)

The representations of subnormal solutions for the higher order linear differential equation

2009-03-30

國家自然科學(xué)基金資助項目(10871076);華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院青年教師基金資助項目

黃志波(1977—),男,江西東鄉(xiāng)人,博士,華南師范大學(xué)講師, 主要研究方向: 復(fù)域差分方程和復(fù)域微分方程, Email:hzbo20019@sina.com.

*通訊作者

1000-5463(2010)01-0005-04

O174.5

A