孫 蓓,蘇 超

(河海大學(xué)水利水電工程學(xué)院,江蘇南京 210098)

拓?fù)鋬?yōu)化方法是目前結(jié)構(gòu)優(yōu)化領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)[1-5].均勻化方法[6]是連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化方法中最常見的一種方法,該方法的一般迭代算法對(duì)所有連續(xù)體結(jié)構(gòu)都是可用的.若材料特性和荷載情況較為簡單,結(jié)構(gòu)規(guī)模較小,該方法迭代步較少,計(jì)算時(shí)間也較短,是一個(gè)極為有效的方法,但當(dāng)結(jié)構(gòu)規(guī)模較大,尤其是一些復(fù)雜的空間結(jié)構(gòu)(如拱壩),其材料特性和荷載都會(huì)出現(xiàn)較為復(fù)雜的情況,計(jì)算量變大,單步的迭代時(shí)間會(huì)明顯增加,迭代步數(shù)也會(huì)增多,總計(jì)算負(fù)荷會(huì)很大.為了減少計(jì)算時(shí)間,提高計(jì)算效率和精度,本文對(duì)結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化均勻化方法的一般迭代算法進(jìn)行了改進(jìn),并引入了用于控制計(jì)算過程的2個(gè)密度閾值.

1 改進(jìn)迭代算法的原理

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化均勻化方法[7]在采用有限元方法對(duì)設(shè)計(jì)區(qū)域進(jìn)行離散化[8-9]的基礎(chǔ)上,將整個(gè)設(shè)計(jì)空間假設(shè)成類似“氣孔分布”的微結(jié)構(gòu)單元(單胞),單胞在優(yōu)化開始前分布均勻,大小相同.在拓?fù)鋬?yōu)化過程中,單胞密度分布發(fā)生變化,即高應(yīng)力區(qū)域單胞密度變大,低應(yīng)力區(qū)域單胞密度變小.優(yōu)化過程中形成了一種承重結(jié)構(gòu),這種結(jié)構(gòu)在高應(yīng)力區(qū)域氣孔“密集”,在低應(yīng)力區(qū)域氣孔密度較低[10].當(dāng)?shù)?jì)算全部完成后,再定義一個(gè)合理的密度最小值,然后剔除設(shè)計(jì)空間中單胞密度低于這個(gè)最小值的區(qū)域,將產(chǎn)生一個(gè)材料效應(yīng)最高的重量優(yōu)化承重結(jié)構(gòu)[11].

以彈性板殼結(jié)構(gòu)為例,根據(jù)有限單元基本理論,可得彈性板殼單元的剛度矩陣

其中

式中:ki——單元?jiǎng)偠染仃?Bi——單元轉(zhuǎn)換矩陣;Di——單元常量矩陣;ξ,η,ζ——形函數(shù)變量;Di(x,y,z)——整體坐標(biāo)系下單元常量矩陣;Di(ξ,η,ζ)——單元局部坐標(biāo)系下單元常量矩陣.

采用一般迭代算法時(shí)材料密度的求解公式為

其中

式中:ηi——第i個(gè)微結(jié)構(gòu)單元密度;W——初始結(jié)構(gòu)材料質(zhì)量;W*——?jiǎng)h除單元的總質(zhì)量;m——空洞單元數(shù)量;ui——單元節(jié)點(diǎn)位移矩陣;vi——單元體積;S——迭代步數(shù);vj——空洞單元體積;ε——極小量;C——常量.

對(duì)任何迭代計(jì)算過程來說,當(dāng)某一計(jì)算數(shù)值足夠小時(shí),計(jì)算機(jī)將視其為0,因此引入一個(gè)極小量ε,將空洞用密度為ε的單元來替代.材料體積約束(或質(zhì)量約束)計(jì)算時(shí)不包括這部分單元的體積(或質(zhì)量).采用一般迭代算法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化時(shí),那些迭代伊始密度就較小的單元,整個(gè)迭代過程單元密度始終呈減小趨勢,將在最終采用的結(jié)構(gòu)中刪除.這些單元的密度由于沒有小到計(jì)算機(jī)視為0的程度,因此每一步迭代計(jì)算都會(huì)消耗大量的計(jì)算資源.而那些迭代伊始密度就較大的單元,整個(gè)迭代過程單元密度亦始終保持較大或不斷增大趨勢,將在最終采用的結(jié)構(gòu)中保留.

假設(shè)一個(gè)較小的密度閾值,若優(yōu)化產(chǎn)生小于這一閾值的密度單元時(shí),即將這些單元密度以極小值ε替代,視其為空洞,這樣就可以提高迭代計(jì)算的收斂速度.實(shí)際上,這些單元并不是空洞單元,是有一定密度的,若將其人為設(shè)定為空洞單元,則材料質(zhì)量約束計(jì)算時(shí)這部分質(zhì)量將不存在,這將使得替代后的總質(zhì)量大大小于替代前的總質(zhì)量.雖然從約束上講,這是可以接受的,但與實(shí)際情況不符,且計(jì)算時(shí)極有可能出現(xiàn)“早熟”等畸形收斂,計(jì)算結(jié)果將難以接受.因此,再給出一個(gè)較大的密度閾值,將小于這一閾值的單元密度以這一閾值替代.這種替代有2個(gè)優(yōu)點(diǎn):一是解決了刪除較小密度單元帶來的替代后總質(zhì)量過小的問題;二是替代后單元密度值更為集中,剩余單元間密度差異減小,避免了收斂速度過快造成的畸形收斂,這就可在加速迭代的基礎(chǔ)上最大程度地保證結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化迭代計(jì)算的穩(wěn)定性.為了區(qū)別2個(gè)密度閾值,本文將較小的密度閾值稱為MFS,較大的密度閾值稱為MFL.

以圖1說明改進(jìn)迭代算法的原理.圖1(a)顯示了微結(jié)構(gòu)單元的密度曲線L,橫坐標(biāo)n為微結(jié)構(gòu)單元數(shù)量,縱坐標(biāo) ηi為第i個(gè)微結(jié)構(gòu)單元密度,單元密度在0～1之間.圖1(b)顯示了替代前微結(jié)構(gòu)單元的密度曲線L,陰影部分顯示的面積為總的單元質(zhì)量.圖1(c)顯示了用MFS和MFL2個(gè)密度閾值進(jìn)行替代的微結(jié)構(gòu)單元的密度曲線L,陰影部分顯示的面積仍為總的單元質(zhì)量,但此總的單元質(zhì)量要小于或等于圖1(b)所示的總的單元質(zhì)量.

圖1 改進(jìn)迭代算法的原理Fig.1 Principles of modified iterative method

2 改進(jìn)迭代算法的流程和算式

改進(jìn)迭代算法的流程如圖2所示.圖中:Ws0為初始做結(jié)構(gòu)材料質(zhì)量;Wsl為使用密度閾值替代后微結(jié)構(gòu)材料質(zhì)量.

對(duì)式(2)進(jìn)行修正,得到改進(jìn)迭代算法的算式,即

圖2 改進(jìn)迭代算法的流程Fig.2 Flow chart of modified iterative method

3 算例及分析

3.1 算例1

圖3(a)所示為2m×2m的矩形平面結(jié)構(gòu),材料彈性模量為20GPa,左側(cè)邊界固定,右側(cè)下部作用一鉛直向下的集中荷載P=1kN.圖3(b)所示為有限元網(wǎng)格,結(jié)構(gòu)共劃分為40×40個(gè)矩形單元.

刪除率選擇為80%,極小值ε取0.001.首先采用結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化均勻化方法的一般迭代算法進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算結(jié)果如圖4所示,保留的微結(jié)構(gòu)單元密度為0.1～1;然后采用改進(jìn)迭代算法進(jìn)行計(jì)算,計(jì)算時(shí) MFS取0.1,MFL取0.4,計(jì)算結(jié)果如圖5所示.

圖3 算例1Fig.3 Plan and meshes of Example 1

圖4 算例1一般迭代算法的計(jì)算結(jié)果Fig.4 Results of Example1 of general iterative method

圖5 算例1改進(jìn)迭代算法的計(jì)算結(jié)果Fig.5 Results of Example 1 of modified iterativemethod

采用一般迭代算法,共需迭代48步.為了能夠清楚地看出計(jì)算過程,圖中顯示了密度大于0.1的單元.而實(shí)際上,在一般迭代算法的計(jì)算中,除了密度小于極小值的單元外,其余所有單元都是參與計(jì)算的.對(duì)于密度為0.1～1的微結(jié)構(gòu)單元,隨著迭代的不斷進(jìn)行,其有限單元的數(shù)量會(huì)不斷減少,達(dá)到優(yōu)化目標(biāo)時(shí)迭代結(jié)束.

采用改進(jìn)迭代算法,共需迭代19步.由于MFS取為0.1,因此選擇顯示的單元密度為0.1～1.

比較圖4(a)和圖5(a)可知,當(dāng)S=6步時(shí),改進(jìn)迭代算法的結(jié)果比一般迭代算法的結(jié)果外形更為光滑.圖5(b)顯示,當(dāng)S=11步時(shí),改進(jìn)迭代算法的結(jié)果已非常接近于最終優(yōu)化結(jié)果.而對(duì)于一般迭代算法來說,迭代30步的結(jié)果也與最終的優(yōu)化結(jié)果有較大差異.圖4(c)與圖5(c)相比,外形上兩者結(jié)果基本一致,僅結(jié)構(gòu)個(gè)別部位有微小差異.隨著結(jié)構(gòu)復(fù)雜性和荷載的增加以及MFS和MFL取值的不同,這些微小差異會(huì)有所增大.由于采用了不同的算法,這些微小差異是不可避免的,因此,當(dāng)出現(xiàn)這些微小差異時(shí),可認(rèn)為優(yōu)化計(jì)算結(jié)果一致.

從本例來看,改進(jìn)迭代算法和一般迭代算法的優(yōu)化計(jì)算結(jié)果一致,而其迭代步數(shù)僅為一般迭代算法的40%左右,計(jì)算時(shí)間較一般迭代算法減少50%以上,且計(jì)算時(shí)占用的計(jì)算資源大大減少,這使得復(fù)雜的大型結(jié)構(gòu)在拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算時(shí)可以采用更細(xì)小的網(wǎng)格.

3.2 算例2

采用不同的MFS和MFL進(jìn)行計(jì)算,并根據(jù)計(jì)算結(jié)果給出MFS和MFL的取值范圍,以避免因密度閾值的不確定而過多地耗費(fèi)時(shí)間.

圖6所示為1.6m×1m的矩形平面結(jié)構(gòu),材料彈性模量為20GPa,3個(gè)集中荷載(P1=P2=P3=1kN)作用于結(jié)構(gòu)的下邊界.結(jié)構(gòu)共劃分為64×40個(gè)矩形板單元,下方左右兩端受固定約束.刪除率取為80%,極小值ε取為0.001.圖7給出了一般迭代算法的計(jì)算結(jié)果.不同MFS和M FL取值改進(jìn)迭代算法的計(jì)算結(jié)果如圖8所示.

從圖8(a)～(d)可知,在 MFL相同的情況下,隨著 MFS的增大,迭代步明顯減少,且當(dāng)MFS和MFL取值都較大時(shí),迭代收斂情況明顯優(yōu)于MFS和MFL取值較小時(shí)的收斂情況.

從圖8(b)～(e)可知,在 MFS相同的情況下,隨著 MFL的增大,迭代步也相應(yīng)減少,減少的幅度較M FL相同而M FS增大情況下的幅度小很多.圖8(b)與(c)顯示的結(jié)果可認(rèn)為是一致的.圖8(d)與(e)的 MFS和MFL取值均比圖8(b)和(c)大,但從優(yōu)化結(jié)果來看,并非僅有微小差別,由于算例結(jié)構(gòu)和荷載的簡單性,這里不能再認(rèn)為兩者的優(yōu)化結(jié)果一致.圖8(e)的結(jié)果從單元數(shù)量來說,明顯比圖8(d)的要少.這一差別主要體現(xiàn)在結(jié)構(gòu)中部受荷載區(qū)域.該區(qū)域內(nèi)的V形結(jié)構(gòu)較為單薄,這一結(jié)果是不可用的.由于其脆弱部分很少,可以人為地進(jìn)行彌補(bǔ).

圖8(f)給出了一個(gè)MFS和MFL都較大的極端情況,在此情況下,拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算迭代僅需9步,但結(jié)果卻很不理想.其主要問題是優(yōu)化得到的結(jié)構(gòu)V形區(qū)域部分十分脆弱,有較多單元都是通過角連接的,不能為設(shè)計(jì)人員所接受.

圖6 算例2平面結(jié)構(gòu)Fig.6 Plan of Example2

圖7 算例2一般迭代算法的計(jì)算結(jié)果Fig.7 Results of Example 2 of general iterative Method

圖8 算例2改進(jìn)迭代算法的計(jì)算結(jié)果Fig.8 Results of Example 2 of modified iterativemethod

4 結(jié) 論

a.當(dāng)M FS和M FL取值合理時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化均勻化方法的改進(jìn)迭代算法所需要的迭代步數(shù)遠(yuǎn)小于一般迭代算法,收斂速度也大為提高.

b.從理論上講,一般迭代算法的計(jì)算過程是沒有人為干預(yù)的,所得優(yōu)化結(jié)果應(yīng)該是最合理的;而改進(jìn)迭代算法的計(jì)算過程受到人為的干預(yù),干預(yù)程度與MFS和MFL的取值大小有關(guān),這種干預(yù)勢必會(huì)影響優(yōu)化結(jié)果的合理性.但是從算例的計(jì)算結(jié)果來看,當(dāng)MFS取0.1,MFL取0.3時(shí),改進(jìn)迭代算法得到的優(yōu)化結(jié)果與一般迭代算法得到的優(yōu)化結(jié)果相似程度最高.因此,當(dāng)M FS和M FL取值合理時(shí),改進(jìn)迭代算法計(jì)算過程干預(yù)對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響可以忽略.

c.當(dāng) MFS和 MFL取值合理時(shí),增大 MFS和 MFL均會(huì)提高收斂速度,而增大 MFS對(duì)提高收斂速度的作用要比增大MFL對(duì)提高收斂速度的作用大.當(dāng)MFL相同時(shí),MFS的微小變化也會(huì)對(duì)迭代步數(shù)產(chǎn)生較大影響;而當(dāng)M FS相同時(shí),增大M FL盡管也可以加速收斂,但是對(duì)迭代步數(shù)不會(huì)產(chǎn)生決定性影響.

d.M FS取值范圍定為0.1～0.2,M FL的取值范圍定為0.3～0.45比較合理.對(duì)于大型計(jì)算來說,迭代過程中MFS和MFL的取值可以根據(jù)計(jì)算實(shí)際情況在一定范圍內(nèi)進(jìn)行調(diào)整,這可以加速收斂.

e.本文對(duì)拓?fù)鋬?yōu)化均勻化方法的一般迭代算法進(jìn)行了改進(jìn),為了加強(qiáng)對(duì)迭代過程的控制,引入了2個(gè)密度閾值,并給出了密度閾值的建議取值范圍.算例表明,這一改進(jìn)迭代算法可行,當(dāng)采用合理的密度閾值時(shí),拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算收斂速度會(huì)明顯提高.

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