一種新的圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎?/h1>
2010-10-11 09:48:38趙延風(fēng)祝晗英王正中
河海大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） 2010年1期
趙延風(fēng),祝晗英,王正中
(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水工程安全與病害防治研究中心,陜西楊凌 712100;3.西安市水務(wù)局渭氵產(chǎn)河管理中心,陜西 西安 710015)
圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠虨槌胶瘮?shù),目前還無法求得其解析解,傳統(tǒng)的求解方法主要是查圖表法和試算法,但由于求解過程復(fù)雜而給工程設(shè)計人員帶來不便.20世紀(jì)90年代以來,國外在正常水深計算方面進行了深入研究[1-6],但研究所涉及的過水?dāng)嗝娲蠖酁榫匦巍A角矩形、梯形和拋物線等斷面形式,圓形過水?dāng)嗝嫘问胶苌?國內(nèi)在正常水深計算方面也進行了較多研究,提出了多種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠嬎惴椒╗7-13].文獻[7]提出了以圓心角為迭代值的迭代計算方法,但該方法迭代公式復(fù)雜,迭代初值帶有隨意性,至少需迭代4次才能達到工程要求的精度.文獻[8]通過分析計算,提出了圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深近似等于有關(guān)參數(shù)k的2個函數(shù)乘積的計算公式,該計算公式用分段函數(shù)表示,不僅適用范圍較廣,而且計算精度較高.文獻[9]提出了牛頓迭代法,該方法計算精度較高,不足之處是初值函數(shù)為一分段函數(shù),且適用范圍較小,迭代公式更為復(fù)雜.文獻[10-13]也提出了幾種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠嬎愎?這些計算公式均存在形式復(fù)雜、適用范圍小和精度低的缺點.本文首先對圓形過水?dāng)嗝婢鶆蛄鞣匠踢M行了變換,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理對圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罘匠踢M行了處理,最后提出了一種集簡捷、準(zhǔn)確、通用于一體的圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎?
1 基本方程
圓形過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示.由文獻[8]可知,圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹姆匠炭杀硎緸?/p>
式中:n——圓形管道糙率;Q——輸水流量,m3/s;i——管道比降;d——圓形過水?dāng)嗝嬷睆?m;θ——圓形斷面正常水深時的圓心角,rad.
圖1 圓形過水?dāng)嗝鍲ig.1 Circular cross section
2 近似計算公式的推導(dǎo)
設(shè)
式中:k——已知量綜合參數(shù);x——圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深;h——正常水深,m.
在實際工程中,如果圓形過水?dāng)嗝娴乃畛^一定深度,則有可能產(chǎn)生淹沒整個過水?dāng)嗝娴默F(xiàn)象即滿流現(xiàn)象,或者出現(xiàn)圓管明流和圓管滿流交替的水流特征.由文獻[7]可知,為了完全避免圓形過水?dāng)嗝嬖谳斔^程中明流和滿流交替發(fā)生的水流現(xiàn)象,對圓管上部未充水面積應(yīng)有一定的要求,即凈空面積應(yīng)大于全斷面面積的15%,那么圓形過水?dāng)嗝嫠鶎?yīng)的圓心角θ≤4.39 rad,相應(yīng)的x＜0.8.由于x取值過小,會增大計算誤差,因而文獻[9,13]將x的取值確定在0.05以上.但是,實際工程中有時還需要計算小流量的正常水深,故本文將x的取值區(qū)間確定為[0.01,0.80],對應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間為[0.0153,2.9715].根據(jù)確定的x的取值區(qū)間,通過優(yōu)化處理,得出了無量綱正常水深x的一元二次方程,即
由式(4)計算得到的k～x曲線(稱為近似曲線)與由式(1)～(3)計算得到的k～x曲線(稱為精確曲線)如圖2所示.由圖2可以看出,2條曲線幾乎完全重合.解一元二次方程式(4),得
將式(5)代入式(3)可得圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴嬎愎?
3 誤差分析
圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴嬎愎揭延卸喾N,相對而言,文獻[8]所提出的近似計算公式形式最簡單,精度最高,適用范圍最廣.為了說明本文所提出的近似計算公式的優(yōu)點,將本文公式與文獻[8]公式進行比較,如表1所示.
表1 2種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎阶畲笙鄬φ`差比較Table 1 Comparison of maximum relative errors of present approximate formula with those in Ref.[8]for circular cross section of normal depth
從表1可以看出:在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),即在對應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間[0.0153,2.971 5]范圍內(nèi),文獻[8]公式和本文公式都有較高的精度.在常用x∈[0.05,0.80]范圍內(nèi),本文公式精度較高;在非常用 x∈[0.01,0.05)范圍內(nèi),文獻[8]公式精度較高.在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),本文公式是一個通式表達式,而文獻[8]公式是一個分段函數(shù)表達式,應(yīng)用時還需通過該公式k值范圍的判斷,才能確定采用什么分段函數(shù),過程略顯復(fù)雜.總的來說,本文公式和文獻[8]公式均具有形式簡單、精度高、適用范圍廣的特點.
為了進一步說明本文公式的精度,將本文公式與文獻[8,10-13]公式的相對誤差進行了比較,如圖3所示.
圖3僅給出了相對誤差不大于2%的數(shù)值.誤差計算結(jié)果表明,在工程常用范圍內(nèi),用本文公式計算圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹淖畲笙鄬φ`差小于0.74%,文獻[8,10-13]公式的最大相對誤差依次為+∞,-30.44%,-18.54%,-7.80%,-0.90%.從圖3可以看出,當(dāng)精度要求小于1%時,本文公式和文獻[8]公式適用范圍最廣.
圖3 不同公式圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ钣嬎阆鄬φ`差比較Fig.3 Comparison of relative errors of various formulae for circular cross section of normal depth
4 應(yīng)用舉例
某電站輸水管道斷面為圓形,已知斷面底坡i=0.001,糙率n=0.015,斷面直徑d=15m,試確定流量分別為Q1=840.0m3/s和Q2=0.2m3/s時的正常水深.
由式(2)可知,當(dāng) Q1=840.0m3/s時,=2.891707;當(dāng) Q2=0.2m3/s時 ,0.019373.
解法1:用文獻[8]公式
計算正常水深.當(dāng)Q1=840.0m3/s時,由于k=2.891707,故用分段函數(shù)的后段,即h=0.20k0.80×1.187kd=11.5169m;當(dāng)Q2=0.2m3/s時,由于 k=0.019373,故用分段函數(shù)的前段,即h=0.25k0.77×1.087kd=0.1803m.
解法2:用本文公式計算正常水深.當(dāng) Q1=840.0m3/s時,k=2.891707,則h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=11.4848m;當(dāng) Q2=0.2m3/s 時,k=0.019 373,則 h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=0.1796m.
為了說明本文公式具有更高的計算精度,表2列出了文獻[8]公式和本文公式正常水深的計算值與精確公式正常水深的計算值的相對誤差.由表2可以看出,文獻[8]公式和本文公式計算精度都較高,都能滿足工程設(shè)計要求,但本文公式計算精度更高.
表2 2種計算公式計算結(jié)果相對誤差比較Table2 Comparison of relative errors of calculated results of approximate formula of present study with those from Ref.[8]
5 結(jié) 語
本文首先利用引入的無量綱正常水深參數(shù),對圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠踢M行恒等變形,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理進行處理,得到了一種新的圓形斷面正常水深的近似計算公式,且進行了誤差分析,并通過相對較大流量和小流量的實例計算,推薦了2種比較好的圓形斷面正常水深的計算方法.分析表明,本文公式在工程常用范圍內(nèi)均可適用,而且計算精度較高,最大相對誤差小于0.74%,公式形式相對較為簡單.與文獻[8]公式相比,本文公式省略了k值范圍判斷項,求解過程和表達形式都較為簡單,而且具有更高的計算精度.
[1]WONGT SW.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2007,45(4):567-571.
[2]RAJESH S.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2006,44(3):427-428.
[3]SWAMEE P K,RATHIE P N.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2004,42(5):541-547.
[4]BABAEYANK K.Dimensionless curves for normal-depth calculations in canal sections[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,2001,127(6):386-389.
[5]SWAMEEP K.Normal-depth equations for irrigation canals[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,1994,120(5):942-948.
[6]SHIRLEY E D,LOPES V L.Normal-depth calculations in complex channel sections[J].Journal of Irrigation and DrainageEngineering,1991,117(2):220-232.
[7]呂宏興,把多鐸,宋松柏.無壓流圓形過水?dāng)嗝嫠τ嬎愕牡╗J].長江科學(xué)院院報,2003,20(5):15-17.(LV Hongxing,BA Duo-duo,SONG Song-bai.Hydraulic calculation for free flow in circular section by iterative method[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2003,20(5):15-17.(in Chinese))
[8]趙延風(fēng),蘆琴,張寬地.圓形過水?dāng)嗝婢鶆蛄魉畹慕朴嬎愎絒J].西北農(nóng)林科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,36(5):225-228.(ZHAO Yan-feng,LUQin,ZHANG Kuan-di.An approximate formula for calculating water depth of uniform flow in circular cross section[J].Journal of Northwest A&F University:Natural Science Edition,2008,36(5):225-228.(in Chinese))
[9]張寬地,呂宏興,趙延風(fēng).明流條件下圓形隧洞正常水深與臨界水深的直接計算[J].農(nóng)業(yè)工程學(xué)報,2009,25(3):1-5.ZHANG Kuan-Di,LV Hong-Xing,ZHAOYan-Feng.Direct calculation for normal depth and critical depth of circular section tunnel under free flow[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering,2009,25(3):1-5.(in Chinese))
[10]韓會玲,孟慶芝.非滿流圓管均勻流水力計算的近似數(shù)值解法[J].給水排水,1994(10):25-26.(HAN Hui-ling,MENG Qing-zhi.Approximate value solution in hydraulic calculation of uniform-flow in partly full circular pipe[J].Water&Wastewater Engineering,1994(10):25-26.(in Chinese))
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[13]文輝,李風(fēng)玲,黃壽生.圓管明渠均勻流的新近似計算公式[J].人民黃河,2006,28(2):67-68.(WEN Hui,LI Feng-ling,HUANGShou-sheng.New approximate formula for calculating uniform flow in pipes[J].Yellow River,2006,28(2):67-68.(in Chinese))
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(1.西北農(nóng)林科技大學(xué)水利與建筑工程學(xué)院,陜西楊凌 712100;2.西北農(nóng)林科技大學(xué)水工程安全與病害防治研究中心,陜西楊凌 712100;3.西安市水務(wù)局渭氵產(chǎn)河管理中心,陜西 西安 710015)
圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠虨槌胶瘮?shù),目前還無法求得其解析解,傳統(tǒng)的求解方法主要是查圖表法和試算法,但由于求解過程復(fù)雜而給工程設(shè)計人員帶來不便.20世紀(jì)90年代以來,國外在正常水深計算方面進行了深入研究[1-6],但研究所涉及的過水?dāng)嗝娲蠖酁榫匦巍A角矩形、梯形和拋物線等斷面形式,圓形過水?dāng)嗝嫘问胶苌?國內(nèi)在正常水深計算方面也進行了較多研究,提出了多種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠嬎惴椒╗7-13].文獻[7]提出了以圓心角為迭代值的迭代計算方法,但該方法迭代公式復(fù)雜,迭代初值帶有隨意性,至少需迭代4次才能達到工程要求的精度.文獻[8]通過分析計算,提出了圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深近似等于有關(guān)參數(shù)k的2個函數(shù)乘積的計算公式,該計算公式用分段函數(shù)表示,不僅適用范圍較廣,而且計算精度較高.文獻[9]提出了牛頓迭代法,該方法計算精度較高,不足之處是初值函數(shù)為一分段函數(shù),且適用范圍較小,迭代公式更為復(fù)雜.文獻[10-13]也提出了幾種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹挠嬎愎?這些計算公式均存在形式復(fù)雜、適用范圍小和精度低的缺點.本文首先對圓形過水?dāng)嗝婢鶆蛄鞣匠踢M行了變換,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理對圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罘匠踢M行了處理,最后提出了一種集簡捷、準(zhǔn)確、通用于一體的圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎?
1 基本方程
圓形過水?dāng)嗝嫒鐖D1所示.由文獻[8]可知,圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹姆匠炭杀硎緸?/p>
式中:n——圓形管道糙率;Q——輸水流量,m3/s;i——管道比降;d——圓形過水?dāng)嗝嬷睆?m;θ——圓形斷面正常水深時的圓心角,rad.
圖1 圓形過水?dāng)嗝鍲ig.1 Circular cross section
2 近似計算公式的推導(dǎo)
設(shè)
式中:k——已知量綜合參數(shù);x——圓形過水?dāng)嗝鏌o量綱正常水深;h——正常水深,m.
在實際工程中,如果圓形過水?dāng)嗝娴乃畛^一定深度,則有可能產(chǎn)生淹沒整個過水?dāng)嗝娴默F(xiàn)象即滿流現(xiàn)象,或者出現(xiàn)圓管明流和圓管滿流交替的水流特征.由文獻[7]可知,為了完全避免圓形過水?dāng)嗝嬖谳斔^程中明流和滿流交替發(fā)生的水流現(xiàn)象,對圓管上部未充水面積應(yīng)有一定的要求,即凈空面積應(yīng)大于全斷面面積的15%,那么圓形過水?dāng)嗝嫠鶎?yīng)的圓心角θ≤4.39 rad,相應(yīng)的x＜0.8.由于x取值過小,會增大計算誤差,因而文獻[9,13]將x的取值確定在0.05以上.但是,實際工程中有時還需要計算小流量的正常水深,故本文將x的取值區(qū)間確定為[0.01,0.80],對應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間為[0.0153,2.9715].根據(jù)確定的x的取值區(qū)間,通過優(yōu)化處理,得出了無量綱正常水深x的一元二次方程,即
由式(4)計算得到的k～x曲線(稱為近似曲線)與由式(1)～(3)計算得到的k～x曲線(稱為精確曲線)如圖2所示.由圖2可以看出,2條曲線幾乎完全重合.解一元二次方程式(4),得
將式(5)代入式(3)可得圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴嬎愎?
3 誤差分析
圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹慕朴嬎愎揭延卸喾N,相對而言,文獻[8]所提出的近似計算公式形式最簡單,精度最高,適用范圍最廣.為了說明本文所提出的近似計算公式的優(yōu)點,將本文公式與文獻[8]公式進行比較,如表1所示.
表1 2種圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ罱朴嬎愎阶畲笙鄬φ`差比較Table 1 Comparison of maximum relative errors of present approximate formula with those in Ref.[8]for circular cross section of normal depth
從表1可以看出:在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),即在對應(yīng)的已知量綜合參數(shù)k的取值區(qū)間[0.0153,2.971 5]范圍內(nèi),文獻[8]公式和本文公式都有較高的精度.在常用x∈[0.05,0.80]范圍內(nèi),本文公式精度較高;在非常用 x∈[0.01,0.05)范圍內(nèi),文獻[8]公式精度較高.在x∈[0.01,0.80]范圍內(nèi),本文公式是一個通式表達式,而文獻[8]公式是一個分段函數(shù)表達式,應(yīng)用時還需通過該公式k值范圍的判斷,才能確定采用什么分段函數(shù),過程略顯復(fù)雜.總的來說,本文公式和文獻[8]公式均具有形式簡單、精度高、適用范圍廣的特點.
為了進一步說明本文公式的精度,將本文公式與文獻[8,10-13]公式的相對誤差進行了比較,如圖3所示.
圖3僅給出了相對誤差不大于2%的數(shù)值.誤差計算結(jié)果表明,在工程常用范圍內(nèi),用本文公式計算圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹淖畲笙鄬φ`差小于0.74%,文獻[8,10-13]公式的最大相對誤差依次為+∞,-30.44%,-18.54%,-7.80%,-0.90%.從圖3可以看出,當(dāng)精度要求小于1%時,本文公式和文獻[8]公式適用范圍最廣.
圖3 不同公式圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ钣嬎阆鄬φ`差比較Fig.3 Comparison of relative errors of various formulae for circular cross section of normal depth
4 應(yīng)用舉例
某電站輸水管道斷面為圓形,已知斷面底坡i=0.001,糙率n=0.015,斷面直徑d=15m,試確定流量分別為Q1=840.0m3/s和Q2=0.2m3/s時的正常水深.
由式(2)可知,當(dāng) Q1=840.0m3/s時,=2.891707;當(dāng) Q2=0.2m3/s時 ,0.019373.
解法1:用文獻[8]公式
計算正常水深.當(dāng)Q1=840.0m3/s時,由于k=2.891707,故用分段函數(shù)的后段,即h=0.20k0.80×1.187kd=11.5169m;當(dāng)Q2=0.2m3/s時,由于 k=0.019373,故用分段函數(shù)的前段,即h=0.25k0.77×1.087kd=0.1803m.
解法2:用本文公式計算正常水深.當(dāng) Q1=840.0m3/s時,k=2.891707,則h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=11.4848m;當(dāng) Q2=0.2m3/s 時,k=0.019 373,則 h=d[1.258-(1.584-0.605k0.75)0.5]=0.1796m.
為了說明本文公式具有更高的計算精度,表2列出了文獻[8]公式和本文公式正常水深的計算值與精確公式正常水深的計算值的相對誤差.由表2可以看出,文獻[8]公式和本文公式計算精度都較高,都能滿足工程設(shè)計要求,但本文公式計算精度更高.
表2 2種計算公式計算結(jié)果相對誤差比較Table2 Comparison of relative errors of calculated results of approximate formula of present study with those from Ref.[8]
5 結(jié) 語
本文首先利用引入的無量綱正常水深參數(shù),對圓形過水?dāng)嗝嬲Ｋ畹幕痉匠踢M行恒等變形,然后根據(jù)優(yōu)化擬合原理進行處理,得到了一種新的圓形斷面正常水深的近似計算公式,且進行了誤差分析,并通過相對較大流量和小流量的實例計算,推薦了2種比較好的圓形斷面正常水深的計算方法.分析表明,本文公式在工程常用范圍內(nèi)均可適用,而且計算精度較高,最大相對誤差小于0.74%,公式形式相對較為簡單.與文獻[8]公式相比,本文公式省略了k值范圍判斷項,求解過程和表達形式都較為簡單,而且具有更高的計算精度.
[1]WONGT SW.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2007,45(4):567-571.
[2]RAJESH S.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2006,44(3):427-428.
[3]SWAMEE P K,RATHIE P N.Exact solutions for normal depth problem[J].Journal of Hydraulic Research,2004,42(5):541-547.
[4]BABAEYANK K.Dimensionless curves for normal-depth calculations in canal sections[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,2001,127(6):386-389.
[5]SWAMEEP K.Normal-depth equations for irrigation canals[J].Journal of Irrigation and Drainage Engineering,1994,120(5):942-948.
[6]SHIRLEY E D,LOPES V L.Normal-depth calculations in complex channel sections[J].Journal of Irrigation and DrainageEngineering,1991,117(2):220-232.
[7]呂宏興,把多鐸,宋松柏.無壓流圓形過水?dāng)嗝嫠τ嬎愕牡╗J].長江科學(xué)院院報,2003,20(5):15-17.(LV Hongxing,BA Duo-duo,SONG Song-bai.Hydraulic calculation for free flow in circular section by iterative method[J].Journal of Yangtze River Scientific Research Institute,2003,20(5):15-17.(in Chinese))
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