荀 坤,王若鵬,陳曉林,劉樹新

(北京大學(xué)物理學(xué)院,北京100871)

第41屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題簡介

荀 坤,王若鵬,陳曉林,劉樹新

(北京大學(xué)物理學(xué)院,北京100871)

第41屆國際物理奧林匹克競賽實驗含“薄片的彈性”和“磁體之間的作用力、穩(wěn)定性和對稱性”兩道題.本文詳細地介紹了試題內(nèi)容和解答,并在必要時作了簡短評論.

國際物理奧林匹克;彈性;磁力;穩(wěn)定性;對稱性

1 引 言

第41屆國際物理奧林匹克競賽于2010年7月17日至7月25日在克羅地亞的薩格勒布市(Zagreb)舉行.代表中國參賽的5名中學(xué)生全部都獲得了金牌,俞頤超和吳俊東同學(xué)分獲總分第一和第二,俞頤超同學(xué)還獲得了理論第一和歐洲物理學(xué)會頒發(fā)的最佳解題創(chuàng)新獎.

本屆競賽的實驗共兩題,分別是“薄片的彈性”和“磁體之間的作用力、穩(wěn)定性和對稱性”.2個實驗使用了相同的測量裝置.賽會統(tǒng)一提供透明膠帶、剪刀、三角尺、筆、紙和繪圖紙等,并規(guī)定了可使用的計算器型號.本次競賽的試題相對較短,每題都僅有4頁,所以我們盡量保持試題原貌.由于篇幅限制,試題解答盡量采用賽會提供的標(biāo)準(zhǔn)答案.最后,針對中國考生的答題情況作一些簡單分析.

2 試題概要

實驗題共2道,均使用自己桌上的裝置來完成,時限為5 h.

2.1 試題1 片狀物的彈性

2.1.1 引言

彈簧是由能儲存機械能的彈性材料制成的.大家都知道,螺旋式彈簧(見圖1)滿足胡克定律,即壓縮彈簧所用的力 F與彈簧的被壓縮量Δx成正比:F=-kΔx,這里 k是彈簧的勁度系數(shù).然而,彈簧可以不是螺旋形的,并且對于較大的形變,胡克定律一般不再成立.本試題中,要測量由有彈性的薄片做成的彈簧(圖2)的性質(zhì).圖2中彈簧被壓縮到一定程度時,其截面具田徑場狀(含半徑均為R0的2個半圓).

圖1 螺旋式彈簧示意圖

圖2 彈性薄片圓筒彈簧示意圖

2.1.2 卷成筒形的透明片

1個彈性薄片(例如,1張透明片)被彎曲得越厲害,其中儲存的彈性勢能就越大.彈性勢能依賴于薄片彎曲的曲率.薄片中具有較大曲率的部分會儲存較多的勢能(薄片中平直的部分曲率為零,不儲存勢能).本實驗所用彈簧就是用矩形透明膠片卷成圓筒而制成(見圖3).此圓筒所儲存的彈性勢能為

這里A表示圓筒的側(cè)面積,Rc表示它的半徑,參量κ被稱作彎曲勁度系數(shù),由材料的彈性性質(zhì)和薄片厚度決定.

圖3 彈性膠片卷成半徑為R c、長度為l的圓筒

假設(shè)這樣的圓筒被壓縮,見圖2所示.對于給定的壓力 F,偏離平衡位置的位移依賴于透明膠片的彈性.當(dāng)所加壓力在一定范圍時,被壓縮透明片圓筒的截面和田徑場的形狀一樣,即由兩直線和兩半徑為 R0的半圓組成.可以證實,R0與外力間 F有如下關(guān)系:

這里,F用電子秤測量,因此有 F=m g,其中m是電子秤顯示的質(zhì)量讀數(shù),g=9.81 m/s2.

2.1.3 實驗裝置

在桌子上有以下物品(用于實驗1):

a.擠壓器(帶1塊鎮(zhèn)石);

b.量程為5 000 g的電子秤,該秤具有扣除皮重的功能;

c.若干透明片(尺寸均為21 cm×29.7 cm,其中藍色透明片厚度為200μm,無色透明片厚度為150μm);

d.長方形木板(該板放在秤上,圓筒再放在該板上).

圖4 測量彎曲勁度系數(shù)的裝置圖

此裝置的用法如圖4所示.通過旋轉(zhuǎn)翼型螺絲帽可使擠壓器的上平板做上下移動,擠壓器施加的作用力由電子秤測量.翼形螺帽的螺距為2 mm.

2.1.4 任務(wù)

1)分別將2張藍色透明片卷成圓筒狀,其中一張沿長邊卷,另一張沿短邊卷,首尾邊緣的交疊量以0.5 cm為佳,卷好后用膠帶固定.

a.對2種透明片圓筒,分別測量稱得的質(zhì)量讀數(shù)與擠壓臺的2個平板之間的距離的依賴關(guān)系.(1.9分)

b.由測量結(jié)果做圖.借助目測和直尺,在數(shù)據(jù)點中畫出適當(dāng)?shù)闹本€,并由此定出2個透明片的彎曲勁度系數(shù)κ.在圖上標(biāo)出近似關(guān)系(即田徑場近似)成立的區(qū)域.估計當(dāng)分別小于何值時“田徑場近似”才成立,這里Rc是圓筒彈簧未被擠壓時的半徑.(4.3分)

2)測量1張無色透明片的彎曲勁度系數(shù).(2.8分)

3)彎曲勁度系數(shù)κ與楊氏模量 Y和透明片厚度d間的關(guān)系為

這里ν是材料的泊松比,對大多數(shù)材料,ν≈1/3.由前面的測量結(jié)果,分別確定藍色和無色透明片的楊氏模量.(1.0分)

2.2 試題2 磁體之間的作用力、穩(wěn)定性和對稱性

2.2.1 引言

在面積為S的閉合環(huán)路中流過電流I時,將產(chǎn)生大小為m=IS的磁矩(圖5).永磁體可以被看成大量小磁矩的集合,而每個小磁矩又可以看成由1個電流環(huán)產(chǎn)生的.這個磁體的模型(安培模型)可以用圖6來說明.總磁矩就是所有這些小磁矩之和,方向從南極指向北極.

圖5 電流環(huán)及其產(chǎn)生的磁場示意圖

圖6 磁體被看成是電流環(huán)的集合

2.2.2 磁體間的作用力

計算2個磁體之間的作用力并不容易.我們知道,相同磁極間相互排斥,不同磁極間相互吸引.2個電流環(huán)之間的作用力依賴于電流環(huán)中電流的大小、電流環(huán)的形狀以及它們的相互距離.如果使其中的1個電流環(huán)中的電流反向,2個電流環(huán)的作用力的大小不變,但方向相反.

在本試題中,要通過實驗來研究1個環(huán)形磁體(磁環(huán))和1個棒狀磁體(磁棒)之間的作用力.我們感興趣的是2個磁體的對稱軸重合(見圖7)時的情況.磁棒能沿 z軸從左向右移動,穿過磁環(huán)(見圖7),再繼續(xù)向右.測量上述2個磁鐵之間的作用力隨z變化的函數(shù)關(guān)系.取2個磁鐵的中心重合的點為原點,即z=0.

圖7 磁棒和磁環(huán)的對稱軸重合,它們間作用力隨著磁棒沿z軸移動而變化

為了確保磁棒沿對稱軸(z軸)移動,磁環(huán)被固定在透明的圓筒內(nèi),圓筒沿z軸打有一細孔,見圖8,于是,磁棒被限制細孔內(nèi),只能沿z軸移動.2個磁體均沿z軸方向磁化.細孔確保2個磁體間沒有徑向的相對位移.

圖8 2個磁體及中空透明圓筒的照片

2.2.3 實驗裝置

桌上應(yīng)放有下列部件:

a.擠壓器(包括1個鎮(zhèn)石);

b.量程為5 000 g的電子秤(具備去除皮重的功能);

c.1個中空的透明圓柱,其中一端內(nèi)置1個環(huán)形磁鐵;

d.1個柱形磁鐵;

e.1個細木棍(可用來將柱形磁鐵推出透明圓筒).

用此裝置測量磁體之間作用力的方法如圖9所示.相對于試題1,需要將擠壓器的上平板翻轉(zhuǎn)過來.擠壓器上平板上的細鋁棒是用來在改變柱形磁鐵在透明圓柱細孔中的位置.電子秤用來測作用力(顯示的是質(zhì)量).擠壓器的上平板可由轉(zhuǎn)動翼型螺帽上下移動.

圖9 測量磁體間作用力時的實驗裝置

2.2.4 任務(wù)

1)假設(shè)z軸如圖7取在水平面內(nèi),請借助手和木棍定性地確定2個磁鐵之間的所有平衡位置,并在答題紙上畫出來.答題紙上已經(jīng)給出了1個穩(wěn)定平衡位置的表示方法,要求按照這個方法來畫出其他所有平衡位置,用S標(biāo)記穩(wěn)定平衡,用U來標(biāo)記非穩(wěn)定平衡,用陰影來區(qū)分磁鐵的極性.(2.5分)

2)使用所給實驗裝置測量不同 z坐標(biāo)下2個磁鐵之間的作用力.令z軸的正方向指向透明圓筒內(nèi)(沿正方向的作用力是正值).對于磁矩平行的各種配置,作用力用 F↑↑(z)標(biāo)記,磁矩反平行則用 F↑↓(z)標(biāo)記.提示:忽略磁棒的質(zhì)量(即忽略重力),利用磁鐵之間作用力的對稱性測量曲線的不同部分.分析作用力的所有對稱性,并寫在答題紙上.在答題紙上寫出測量值,并在每個記錄表旁,仿照給出的示例,畫出與該表對應(yīng)的磁鐵配置.(3.0分)

3)利用任務(wù)2所獲得的測量值,在坐標(biāo)紙上詳細地畫出作用力 F↑↑(z)在z＞0范圍的函數(shù)依賴關(guān)系,分別畫出曲線 F↑↑(z)(沿z軸的正向和反向)和 F↑↓(z)(沿z軸的正向和反向)的曲線示意圖.在2個曲線示意圖上標(biāo)記每個穩(wěn)定平衡點的位置,并畫出相應(yīng)的磁鐵位置以及極性配置圖.(4.0分)

如果不忽略棒形磁鐵的質(zhì)量,當(dāng)z軸垂直設(shè)置時,平衡位置總數(shù)可能會增加,請在答題紙上畫新增加的所有平衡位置.(0.5分)

兩道試題都不要求作誤差分析.

3 試題解答

試題1之任務(wù)1:在將透明片卷成圓筒狀時只要保證兩端直徑基本相等就不會對結(jié)果產(chǎn)生太大的影響.在將圓筒放置到擠壓器中時,一定要讓接縫與擠壓器頂或底相切.這樣,當(dāng)圓筒被稍微擠扁后接縫的影響就可以略去.

任務(wù)1中a要分別列表給出2個圓筒的測量結(jié)果.測量點要覆蓋形變較大(田徑跑道狀)和較小的2個區(qū)域.每個表中至少要包括12組數(shù)據(jù),其中,形變較大區(qū)域的數(shù)據(jù)點不得少于8個,形變較小的區(qū)域數(shù)據(jù)點不得少于4個.對每種圓筒,數(shù)據(jù)點正確(包括范圍、點數(shù)和數(shù)值等)得0.7分;表中各欄所取量和單位正確得0.15分;清楚指出圓筒的初始半徑 Rc得0.1分.表1和表2分別為對2個圓筒的測量結(jié)果.

表1 沿長邊卷圓筒的測量結(jié)果 (l=21.0 cm,R c=4.40 cm)

表2 沿短邊卷圓筒的測量結(jié)果 (l=29.7 cm,R c=3.60 cm)

任務(wù)1中b利用任務(wù)1中a的結(jié)果可畫出圖10,雙箭頭記號的左下方田徑跑道近似成立.圖中給出的擬合直線的斜率 a分別為500和700.每個圖滿分為1.4分.要求正確地選擇縱、橫軸的量并清楚地在軸上標(biāo)明(單位也要正確),要用一條過原點的直線來擬合實驗點,且原點要清楚地標(biāo)出.還要在圖中清楚地標(biāo)明田徑跑道近似成立的范圍和擬合直線的參數(shù).每缺1個標(biāo)記要扣0.1分,如缺刻度每軸扣0.1分.

圖10 藍色透明片圓筒的受力與形變

縱、橫軸的選取方式允許有多種,但它們間的依賴關(guān)系必須是線性的.如果采用雙對數(shù)作圖,擬合直線可不過原點.1位中國學(xué)生選擇了用m-

作圖,對此,改卷官也依然要求擬合直線要過原點.應(yīng)該指出,采用作圖要比用更好,因為前者在量值較小時是線性的,后者則相反.中國學(xué)生中只有俞頤超同學(xué)的擬合直線是過原點的,他此題得了滿分.

由擬合直線的斜率a可以很容易得到藍色透明片的彎曲勁度系數(shù).2種圓筒測得的結(jié)果均為:κ=1.5 mJ(分值0.5+0.5).對沿長邊卷和沿短邊卷的圓筒,田徑跑道近似的范圍分別為0.70和≤0.77(分值0.5).

試題1之任務(wù)2:此部分只是重復(fù)任務(wù)1的內(nèi)容,最后得:κ=0.8 mJ(分值1.0),數(shù)據(jù)(分值0.9)和圖(分值0.9)見表3和圖11.

表3 無色透明片卷筒的彎曲勁度系數(shù)測量(l=21.0 cm,R c=4.50 cm)

圖11 無色透明片圓筒的受力與形變

這里并不要求數(shù)據(jù)點要覆蓋田徑跑道近似不成立的區(qū)域,即可以只測量圖11中線性關(guān)系成立的部分.圓筒既可以沿長邊卷,也可以沿短邊卷,也不要求給出圓筒的初始半徑和指出線性關(guān)系成立的范圍.

試題1之任務(wù)3:由任務(wù)1的結(jié)果和式(3)容易得到藍色透明片的楊氏模量為Y=2.0 GPa(分值0.6);由任務(wù)2的結(jié)果和式(3)得到無色透明片的楊氏模量為Y=2.5 GPa(分值0.4).

試題2之任務(wù)1:將有機玻璃圓筒水平放置,將磁棒插入其內(nèi),用手或木棍推動磁棒,可以找到磁棒受力為零的位置.將磁棒的極性反轉(zhuǎn),重復(fù)上面操作,平衡的穩(wěn)定與非穩(wěn)定性會反轉(zhuǎn).一共可以找到6個平衡位置,穩(wěn)定平衡與非穩(wěn)定平衡各3個,見圖12;圖中S與U分別表示穩(wěn)定與非穩(wěn)定平衡.其中,第一種位形已在答題紙上畫出只需指出此位形是穩(wěn)定平衡還是非穩(wěn)定平衡(分值0.25),其他各位形分值為0.45分.

所有中國學(xué)生都能找出全部穩(wěn)定平衡位形,但也有個別學(xué)生漏過了所有非穩(wěn)定平衡位形.

圖12 磁環(huán)與磁棒間受力為零時的位形示意圖

試題2之任務(wù)2:很容易找出兩磁體間作用力的對稱性:上面3個式子并不獨立,只需寫出其中任意2個即可得滿分0.6分.

按圖4所示的的方法放置已插入磁棒的有機玻璃圓筒,使擠壓器上的鋁質(zhì)細桿在升降時能讓磁棒在有機玻璃圓筒內(nèi)順暢地上下移動.在鋁質(zhì)細桿未接觸到磁棒時設(shè)定電子秤的零點,在忽略重力的情況下,以后電子秤測得的就是兩磁體間的互作用力.

實際上,要測出完整的磁力位置依賴關(guān)系需要分別從3個穩(wěn)定平衡位置出發(fā)作分段測量.每一段測量要分別列表,并要畫出測量開始處的平衡位形圖,如表4～6.

表4 磁力與位置的關(guān)系Ⅰ (z0=0.0 mm)

表5 磁力與位置的關(guān)系Ⅱ (z0=10.8 mm)

表6 磁力與位置的關(guān)系Ⅲ (z0=18.6 mm)

本任務(wù)中的每一段測量滿分為0.8分,其中,起始穩(wěn)定平衡位形(要畫出)正確占0.15分;起始位置正確[分別為0,(11.0±0.6)mm,(18.5±0.6)mm]并包括正確的單位占0.2分,雖然起始點位置的數(shù)值超出允許范圍,但超出量不大,且3段曲線能平滑地銜接,則不扣分;如果測量點在10個以上,且包括曲線的全部細節(jié),得0.35分,測量點在10個以上,但未包含曲線的全部細節(jié),或測量點在5～10個但能包含曲線的全部細節(jié),得0.25分,測量點在5～10個間,但取點不均勻,得0.1分,測量點低于5個不給分;表中各欄單位正確得0.1分.

中國學(xué)生在此部分出現(xiàn)了一些問題:1)在平衡位置處未作測量.評分標(biāo)準(zhǔn)要求3個表中第一點的電子秤讀數(shù)為零或非常接近于零,但中國學(xué)生基本上都沒有達到此要求.中國學(xué)生可能為了讓翼型螺帽處在較正的位置而使m的第一個讀數(shù)較大.2)Δz的最小取值只到1 mm.因為翼型螺帽的螺距為2 mm,中國學(xué)生認(rèn)為1 mm的升降對應(yīng)螺帽只轉(zhuǎn)了半圈,已經(jīng)足夠小了.但在測第二段時,如果位置間隔取1 mm,則測量點會不到10個.考慮到此段磁力變化非常劇烈,測量點確實應(yīng)該再取密一些,螺帽旋轉(zhuǎn) 1/4圈升降0.5 mm,還是很容易做到的.此外,還有個別學(xué)生沒有畫初始位形圖或只測了兩段數(shù)據(jù).

試題2之任務(wù)3:雖然測得表4和表6時磁棒與磁環(huán)的極性為反平行,但可利用式(5)得到磁棒與磁環(huán)極性平行時的結(jié)果,如再將各段測量的初始z0值加到Δz上,就可得到完整的 F↑↑(z)關(guān)系,如圖13所示.

圖13 極性平行時磁棒與磁環(huán)間作用力與距離的關(guān)系

根據(jù)磁力的對稱性關(guān)系式(4)～(6),很容易得到 F↑↑(z)(沿 z軸的正向和反向)和 F↑↓(z)(沿z軸的正向和反向)的曲線示意圖如圖14和圖15所示.

圖14中水平虛線標(biāo)記磁力為零的位置,3處是z軸零點,1～5標(biāo)記平衡位置.其中,2與4處曲線斜率為正,是非穩(wěn)定平衡位置;1,3和5處曲線斜率為負,是穩(wěn)定平衡位置,對應(yīng)的磁體位形也已在圖中畫出.

圖14 極性平行時磁棒與磁環(huán)間作用力與距離的關(guān)系示意圖

圖15 極性反平行時磁棒與磁環(huán)間作用力與距離的關(guān)系示意圖

圖15中水平虛線標(biāo)記磁力為零的位置,8處是z軸零點,6～10標(biāo)記平衡位置.其中,6,8和10處曲線斜率為正,是非穩(wěn)定平衡位置;7和9處曲線斜率為負,是穩(wěn)定平衡位置,對應(yīng)的磁體位形也已在圖中畫出.

圖13由表4～6的3段數(shù)據(jù)畫出,滿分為2.0分.如每一段曲線包含10個以上的測量點,且這些點分布合理,給出了全部細節(jié),則各得0.5分.如果一段曲線的實驗點數(shù)足夠但分布不合理,或雖能給出曲線的細節(jié),但實驗點數(shù)不夠,得0.4分.如果一段曲線的實驗點數(shù)在5～10間,且分布不合理,得0.2分.如果一段曲線的實驗點數(shù)不足5個則不得分.能正確標(biāo)出每一個軸的量和單位各得0.1分.磁力的最大值在允許范圍(1 050～1 350 g)內(nèi)得0.1分.如果3段曲線能夠平滑銜接得0.2分.

圖14和圖15的滿分各為1.0分.如果一個示意圖與另一示意圖相互顛倒可得0.1分.每一個圖可認(rèn)為是由6段組成(z＞0有3段,z＜0有3段),正確畫出一段得0.1分.能正確指出穩(wěn)定平衡位置并畫出相應(yīng)的位形圖得0.2分.各個軸量表示正確得0.1分.

部分中國學(xué)生在指出平衡位置和畫出相應(yīng)的位形圖時犯了一些不該犯的錯誤,估計是對磁極方向的表示和z軸的取向不十分清楚.磁棒上并沒有任何記號,其實際取向很容易混淆.

試題2之任務(wù)4:在圖14和圖15中分別畫y=mpg的直線(mp為磁棒的質(zhì)量),此線與F↑↑(z)和 F↑↓(z)曲線的交點即為考慮了重力后的平衡位置,磁力導(dǎo)數(shù)為負的平衡位置是穩(wěn)定平衡位置.顯然,只有在圖15中會增加1個穩(wěn)定平衡位置,對應(yīng)的位形如圖16所示.

圖16 考慮重力后新增加的穩(wěn)定平衡位形

4 結(jié)束語

本次競賽的考題總體上講出得較好.實驗裝置簡單,利用米尺測距離,電子秤測力,儀器總價僅約600元人民幣.雖然實驗器材都是日常生活中經(jīng)常接觸的,如透明片、小磁體和電子秤等,但實驗內(nèi)容還是有新意.注重考基本的實驗素養(yǎng).此次競賽所給答題紙基本上是空的,測量表格需要自己設(shè)計,要測多少點,如何布點都需要同學(xué)自己決定.像圖10和圖11中擬合直線必須過原點這一類細節(jié)也作了嚴(yán)格的考察.注重考物理,這在第二題中體現(xiàn)得更充分.此題的任務(wù)1實際上就是要讓學(xué)生用一根細木棍來玩插在有機玻璃圓筒內(nèi)的磁棒,并得到定性的結(jié)果.任務(wù)2的完成則需要利用到磁力的對稱性.與前幾屆重視實驗速度不同,本次競賽時間相對說來不是那么緊張.此外,本次競賽評分非常嚴(yán)格,任何小錯都會被扣分,因此,只有對細節(jié)非常注意的同學(xué)才可能得到高分.

[1]呂斯驊,段家忯.新編基礎(chǔ)物理實驗[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]馬秀芳,沈元華.第八屆亞洲物理奧林匹克競賽中實驗考題的分析[J].物理實驗,2007,27(12):29-33.

[責(zé)任編輯:尹冬梅]

Problem and solution of the 41stInternational Physics Olympiad experimental test

XUN Kun,WANG Ruo-peng,CHEN Xiao-lin,L IU Shu-xin
(School of Physics,Peking University,Beijing 100871,China)

The 41stInternational Physics Olympiad experiment test consists of two independent tasks:the elasticity of sheets and the forces betweenmagnets.The texts and the solutions for the two p roblem s are given in Chinese w ith brief comments.

International Physics Olympiad test;elasticity;magnetic fo rce;stability;symmetry

G633.7

A

1005-4642(2010)11-0021-08

2010-08-31

荀 坤(1961-),男,貴州關(guān)嶺人,北京大學(xué)物理學(xué)院副教授,博士,從事物理實驗教學(xué)工作.