(海軍工程大學(xué) 電子工程學(xué)院，武漢 430033)

1 引 言

波達(dá)方向(DOA)估計(jì)是陣列信號(hào)處理的一個(gè)重要方向，根據(jù)信號(hào)帶寬，可將DOA估計(jì)問題分作窄帶與寬帶兩大類。目前，窄帶信號(hào)的DOA估計(jì)算法已經(jīng)非常成熟，包括數(shù)字波束形成(DBF)、MUSIC、ESPRIT等[1]。與窄帶信號(hào)相比，寬帶信號(hào)的能量不集中于一個(gè)與載頻相比較小的頻段內(nèi)，陣列的輸出無法通過某一頻率分量進(jìn)行量化，因此寬帶的DOA估計(jì)算法與窄帶存在較大不同。ISSM(Incoherent Signal Subspace Method)是最簡單的寬帶方法[2]，通過濾波器組將寬帶信號(hào)變成一組窄帶信號(hào)，運(yùn)用窄帶方法得到DOA的估計(jì)，當(dāng)信噪比非常大時(shí)，該方法精度最高，但I(xiàn)SSM沒有利用寬帶信號(hào)不同頻率成分之間的關(guān)系，因此在中小信噪比環(huán)境下，性能很不理想。相干信號(hào)子空間方法(CSSM)[2]利用聚焦方法將寬帶能量集中，克服了ISSM的缺點(diǎn)，在小信噪比環(huán)境中，性能最好，但需要對(duì)DOA進(jìn)行預(yù)估，否則性能急劇下降。WAVES[2]的原理與CSSM相似，不需要進(jìn)行DOA預(yù)估，計(jì)算量因而得以改善，但所能達(dá)到的估計(jì)精度不如CSSM。TOPS[2,3]與ISSM一樣，亦屬于不相干類方法，其性能介于ISSM與CSSM之間，在信噪比適中時(shí)，最為理想。以上諸方法在形式上雖各有不同，但都利用信號(hào)的相位信息估計(jì)DOA，因此其陣元間隔不宜超過半波長，適合小孔徑陣列[4]。

除了相位，還可以利用時(shí)間信息對(duì)DOA進(jìn)行估計(jì)，使陣元間隔突破半波限制，這類算法包括基于時(shí)延估計(jì)的兩步定位方法(下文簡稱兩步法)、聯(lián)合可控響應(yīng)功率和相位變換(SRP-PHAT)等。兩步法[5]先估計(jì)寬帶信號(hào)達(dá)到不同陣元的時(shí)間延遲，然后優(yōu)選時(shí)延估計(jì)DOA，該方法計(jì)算量相對(duì)較小，缺點(diǎn)是只能工作于單信號(hào)環(huán)境。SRP-PHAT[6,7]先計(jì)算陣元對(duì)之間的廣義互相關(guān)(GCC)，然后利用GCC進(jìn)行空間搜索，根據(jù)峰值計(jì)算DOA的估計(jì)，其優(yōu)點(diǎn)是適用于多信號(hào)環(huán)境，但計(jì)算量巨大。近來，又出現(xiàn)了信源線擬合算法(SLFM)[4,8]，該方法計(jì)算量小，適用于多信號(hào)環(huán)境，但均勻線性陣列(ULA)的要求限制了其使用。本文針對(duì)SLFM的缺陷，對(duì)其加以改進(jìn)，提出了通用型SLFM(GSLFM)。新方法運(yùn)用曲線-直線變換，使SLFM突破ULA的限制，適用范圍擴(kuò)展到非均勻線性陣列(NLA)，計(jì)算機(jī)仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,GSLFM能夠在NLA條件下工作，其性能與SLFM基本相當(dāng)。

2 信號(hào)模型

考慮由M個(gè)陣元組成的均勻線性陣列，在遠(yuǎn)場區(qū)，有P個(gè)互不相關(guān)的寬帶信號(hào)。若以第1個(gè)陣元作為參考陣元，則第m個(gè)陣元接收到的信號(hào)形式可表示為

(1)

式中，m=1,2,…,M,Am,p是陣元m對(duì)第p個(gè)寬帶信號(hào)的增益，sp(t)是寬帶信號(hào)p的表達(dá)式，nm(t)是陣元中的加性噪聲，τm,p=dmsinθp/c表示信號(hào)到達(dá)第m個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的時(shí)延，dm表示第m個(gè)陣元相對(duì)于參考陣元的距離，θp表示第p個(gè)信號(hào)的到達(dá)角，c是波的傳輸速度。為討論方便，本文將Am,p設(shè)置為1。

計(jì)算xm(t)與x1(t)的互相關(guān)函數(shù)，記作rm(t)，有:

(2)

式中，T表示接收信號(hào)的持續(xù)時(shí)間。因?yàn)閷拵盘?hào)之間互不相關(guān)，所以在rm(t)中會(huì)出現(xiàn)P個(gè)峰值[4]。將寬帶信號(hào)p對(duì)應(yīng)的峰值時(shí)間記作tm,p，則滿足:

tm,p=τ1,p-τm,p

(3)

根據(jù)式(3)，在ULA條件下，序列t1,p，t2,p，…，tM,p應(yīng)為等差序列。對(duì)rm(t)進(jìn)行采樣，將產(chǎn)生一個(gè)M×(2N-1)維矩陣R：

(4)

式中，Ts為采樣間隔時(shí)間，滿足T=(N-1)Ts，N為一整數(shù)。若將R中的元素看作像素，則R可被表示成一幅二維灰度圖像，如圖1所示。由于t1,p，t2,p，…，tM,p為等差序列，在圖像R中，該序列會(huì)對(duì)應(yīng)一條直線，這條直線在文獻(xiàn)[4]中被稱作信源線(Source Line,SL)。又由于每個(gè)寬帶信號(hào)都會(huì)對(duì)應(yīng)一組等差序列，因而圖像中的信源線數(shù)量與信號(hào)數(shù)量相同。矩陣R被稱作信源線矩陣(SL Matrix,SLM)。

圖1 環(huán)境中存在3個(gè)寬帶信號(hào)，每個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)一條信源線Fig.1 There are 3 wideband sources in far-field, each of which corresponds to a source line

寬帶信號(hào)與信源線一一對(duì)應(yīng)，而信源線傾斜角與DOA一一對(duì)應(yīng)，因此可以通過估計(jì)傾斜角來估計(jì)DOA，方程(5)建立了兩者之間的關(guān)系:

(5)

式中，αp為第p個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)的信源線的傾斜角。這樣，DOA估計(jì)問題就轉(zhuǎn)變成信源線傾斜角的估計(jì)問題。而傾斜角估計(jì)屬于圖像處理中的直線擬合(Line Fitting)范疇，目前算法較多，文獻(xiàn)[4]選取了矩陣束(MP)方法求解傾斜角。

3 NLA條件下的SLFM方法

ULA是SLFM的前提條件，也是其缺陷，本節(jié)將對(duì)SLFM進(jìn)行改進(jìn)，使之能夠適用于NLA。對(duì)于ULA，序列t1,p，t2,p，…，tM,p為等差序列，因而R中的信源線為直線。而對(duì)于NLA，序列t1,p，t2,p，…，tM,p不再等差，信源線也就不再是直線，如圖2所示。不同的DOA對(duì)應(yīng)不同形狀的信源曲線，因而很難如直線一樣確定其傾斜角，也就不能直接運(yùn)用SLFM。但如果能通過變換的方式將信源線由曲線變?yōu)橹本€，則SLFM就能夠被擴(kuò)展到NLA。

圖2 對(duì)于NLA，信源線為曲線，而不是直線Fig.2 For NLA，the source line is not straight

(6)

式中，Δd可以選擇不同值，如需保持變換前后陣列孔徑不變，Δd應(yīng)滿足式(7)：

(7)

(8)

將τm,p=dmsinθp/c代入式(8)，得到:

(9)

圖3 經(jīng)過曲線-直線變換，圖2中的曲線變成直線Fig.3 By transformation,the source curve in figure 2is replaced with the straight line

以上方法似乎可以解決問題，但卻存在一個(gè)難點(diǎn)：在采樣之前必須完成式(6)的計(jì)算，然而式(6)要求對(duì)接收信號(hào)在時(shí)間域進(jìn)行壓縮或擴(kuò)展，勢必導(dǎo)致設(shè)備量大幅增加。方程(6)固然可以實(shí)現(xiàn)曲線-直線變換，但并不最優(yōu)，可以考慮將變換放入到直線擬合處理當(dāng)中。

文獻(xiàn)[4]采用MP方法求解信源線的傾斜角，該方法需要定義向量z=[z(1),z(2),…,z(M)]T，其中各元素的定義由式(10)給出：

(10)

式中，μ是一個(gè)需要適當(dāng)選擇的常量，rm(n)為式(4)中矩陣R的元素。將z(m)中第p個(gè)寬帶信號(hào)對(duì)應(yīng)的成分定義為zp(m)，則有:

(11)

(12)

相應(yīng)地，zp(m)需要用式(13)表示：

(13)

重新觀察序列zp(1),zp(2),…,zp(M)，此時(shí)該序列等比，說明式(12)中包含了曲線-直線變換，可以用其取代方程(6)。

為了區(qū)別原有的SLFM，本文將改進(jìn)后的方法稱作通用型SLFM(GSLFM)?，F(xiàn)將GSLFM算法步驟總結(jié)如下：

(1)根據(jù)式(1)～(4)，構(gòu)造信源線矩陣R；

(2)根據(jù)式(12)定義向量z=[z(1),z(2),…,z(M)]T；

(3)在步驟2的基礎(chǔ)上，運(yùn)用MP方法估計(jì)信源線傾斜角；

(4)根據(jù)傾斜角，計(jì)算式(5)得到寬帶信號(hào)DOA的估計(jì)。

4 計(jì)算機(jī)仿真

為了驗(yàn)證GSLFM是否有效，本節(jié)在不同實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)GSLFM、SLFM與SRP-PHAT 3種算法進(jìn)行仿真對(duì)比。GSLFM與SRP-PHAT采用非均勻線性陣列，SLFM采用均勻線性陣列，兩種陣列的陣元數(shù)量與陣列孔徑均相同，孔徑缺省值為10λ(M-1)，其中M為陣元數(shù)量，λ為中心波長。GSLFM與SLFM中的參數(shù)μ設(shè)為1/16。每組實(shí)驗(yàn)進(jìn)行500次蒙特卡洛仿真，采用均方根誤差(RMSE)作為評(píng)價(jià)指標(biāo)，對(duì)于NLA，每次實(shí)驗(yàn)采用不同的陣列流形，由隨機(jī)函數(shù)生成。

4.1 實(shí)驗(yàn)1

考察單信號(hào)環(huán)境中，3種算法在不同信噪比條件下的表現(xiàn)。線性調(diào)頻脈沖信號(hào)起始頻率為0.1 MHz，終止頻率為1.5 MHz，接收機(jī)采樣頻率為為4 MHz，信噪比測試范圍為-10～20 dB，步長為1 dB。在0°～60°之間隨機(jī)選取50個(gè)DOA值，統(tǒng)計(jì)得到平均RMSE，如圖4所示。

圖4 不同信噪比條件下的平均RMSEFig.4 Average value of RMSE for various SNRs

從圖4可以看出，在低信噪比區(qū)域，SRP-PHAT明顯優(yōu)于另外兩種算法。究其原因：SRP-PHAT采取峰值搜索的方式，具有非常好的穩(wěn)健性，而GSLFM與SLFM通過方程求解，對(duì)方程的條件比較敏感，穩(wěn)健性不如SRP-PHAT。但在高信噪比區(qū)域，GSLFM與SLFM表現(xiàn)出較高的估計(jì)精度，求根算法發(fā)揮了優(yōu)勢。對(duì)比GSLFM與SLFM，前者性能接近后者，說明前者成功地將后者的適用范圍從ULA擴(kuò)展到NLA。需要指出的是：采樣過程帶入了時(shí)間量化誤差，即峰值只能出現(xiàn)在近似時(shí)間點(diǎn)，對(duì)于NLA，曲線-直線變換會(huì)改變時(shí)間量化誤差的分布，使其與ULA不同，因而GSLFM的性能較SLFM稍差。

4.2 實(shí)驗(yàn)2

考察單信號(hào)環(huán)境中，3種算法在不同陣列孔徑條件下的表現(xiàn)。信噪比為10 dB，對(duì)于NLA，相鄰陣元間的間隔不同，只能設(shè)置平均陣元間隔，依次選擇0.5λ，λ，2λ，…，10λ，對(duì)應(yīng)的陣列孔徑為0.5λ(M-1)，λ(M-1)，2λ(M-1)，…，10λ(M-1)，其它參數(shù)與實(shí)驗(yàn)1保持一致。圖5給出了在不同平均陣元間隔條件下50個(gè)測試DOA的平均RMSE。

圖5 不同平均陣元間隔條件下的平均RMSEFig.5 RMSE for various mean values of aperture

由圖5可以看出，當(dāng)平均間隔為半波長時(shí)，3種算法的性能均不理想；隨著平均陣元間隔的增大，3種算法的性能均有所改善，原因是增大平均陣元間距相當(dāng)于降低了時(shí)間量化噪聲對(duì)時(shí)延數(shù)據(jù)的影響，也說明這類利用時(shí)間信息求解DOA問題的算法適合大間距環(huán)境，如MIMO等系統(tǒng)。當(dāng)平均間隔較大時(shí)，雖然3種算法的估計(jì)精度都有所提高，但GSLFM與SLFM提高的程度要好于SRP-PHAT，原因在于前兩者算法的本質(zhì)是最小二乘法，而SRP-PHAT的譜是由若干數(shù)據(jù)相加得到的，最小二乘法對(duì)于時(shí)延數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性較后者要更加敏感。

4.3 實(shí)驗(yàn)3

考察雙信號(hào)環(huán)境中，3種算法在不同信噪比條件下的表現(xiàn)。信噪比測試范圍為-10～20 dB，步長為1 dB。信號(hào)1為隨機(jī)過程，起始頻率為0.1 MHz，終止頻率為1.5 MHz，設(shè)置在23.12°位置，接收機(jī)采樣頻率為4 MHz。信號(hào)2為線性調(diào)頻脈沖，起始頻率為0.1 MHz，終止頻率1.5 MHz，在0°～60°之間隨機(jī)選取50次DOA值，統(tǒng)計(jì)得到信號(hào)2的平均RMSE，如圖6所示。從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在所有信噪比區(qū)域，SRP-PHAT的性能較為均衡，變化不大，穩(wěn)健性強(qiáng)，尤其在低信噪比區(qū)，明顯好于另外兩種算法。在高信噪比區(qū)域，SLFM的性能依然最好，GSLFM與SRP-PHAT基本相當(dāng)。對(duì)比圖6與圖4還可以發(fā)現(xiàn)，在多信號(hào)環(huán)境中，GSLFM與SLFM的估計(jì)性能有所降低，這也是求根算法對(duì)方程的條件比較敏感所致。

圖6 多信號(hào)環(huán)境中，不同信噪比條件下的平均RMSEFig.6 For scenario of multi-sources, average value of RMSE for various SNRs

5 小 結(jié)

為了擴(kuò)大SLFM算法的適用范圍，本文對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)，提出了GSLFM算法，運(yùn)用曲線-直線變換，將非均勻線性陣列變換成均勻線性陣列。從計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果來看，GSLFM在保持原算法估計(jì)精度的同時(shí)，突破了均勻線性陣列條件的限制。由于曲線-直線變換導(dǎo)致時(shí)間量化噪聲的分布發(fā)生變化，對(duì)算法造成一定影響，使得GSLFM的RMSE比SLFM稍高，但差距不明顯。與SRP-PHAT算法相比，GSLFM與SLFM更加適合單信源、中高信噪比環(huán)境。在今后的工作中，將研究更好的直線擬合方法以提高算法的穩(wěn)健性和精度。

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