(解放軍信息工程大學 信息工程學院，鄭州 450002)

1 引 言

完全重構(PR)濾波器組和準完全重構(NPR)濾波器組在信號處理中有著非常重要的應用。余弦調(diào)制濾波器組(CMFBs)是濾波器組中比較高效的一種，其設計和實現(xiàn)的復雜度相對較低，并且具有極好的頻率選擇性。PR或者NPR系統(tǒng)的設計通常是通過非線性約束優(yōu)化的迭代算法實現(xiàn)。當變量和約束的數(shù)目增加時，最優(yōu)化算法對原型濾波器的初始值相當敏感。因此,需要對原型濾波器的設計方法和初始值的選取原則進行深入研究，以獲得更快的迭代收斂速度和更好的性能[1]。

設計高阻帶衰減的原型濾波器是設計PR濾波器組的難點。事實上，即便是能夠得到滿足要求的原型濾波器，其設計過程也相對較為復雜。為滿足完全重構和高阻帶衰減的要求，原型濾波器的階數(shù)通常會很大[2]。而原型濾波器階數(shù)的增加在一定程度上增大了待優(yōu)化的參數(shù)個數(shù)，同時加大了非線性優(yōu)化的難度。如果適當放寬完全重構的條件，使用NPR濾波器組，則用較少階數(shù)的原型濾波器即可獲得高的阻帶衰減。在重構誤差可以接受的前提下，能使NPR濾波器組的運算量明顯降低。NPR濾波器組具有更廣泛的實用性,因此本文主要研究NPR濾波器組的設計問題。

在NPR濾波器組的設計方面，大多數(shù)的設計方法把重點放在了使用線性相位原型濾波器組的NPR CMFBs上。文獻[3]中提出了一種低時延的NPR CMFBs的設計方法，在較少信道時能獲得較小的濾波器長度。文獻[4]提出了一種基于二階錐規(guī)劃的CMFBs設計算法。文獻[5]采用了單參數(shù)優(yōu)化的方法選擇合適的等波紋原型濾波器設計CMFBs。本文在這些方法的基礎上研究了使用過渡帶具有平方根余弦滾降特性的原型濾波器設計NPR CMFBs的方法。這種原型濾波器是線性相位原型濾波器的一種改進。使用這種原型濾波器，可以更好的滿足NPR CMFBs所需的幅度平坦條件，從而設計出具有低重構誤差的濾波器組。本文把濾波器組的設計問題歸結為一個凸極小極大最優(yōu)化問題，用二階錐規(guī)劃算法可以得到最優(yōu)化解[6]。設計結果表明本方法設計的NPR CMFBs的重構誤差更小，并且有較大的阻帶衰減。由于使用了平方根余弦滾降原型濾波器，濾波器組第一個和最后一個分析濾波器的通帶波紋得到了有效的抑制。而這往往是普通的CMFBs設計方法中難以避免的問題[7]。

2 設計原理

CMFBs的原型濾波器的頻率響應可以寫作

P(ejω)=PM(ejω)e-jωD/2

式中,D/2是濾波器的設計群時延。對于一個M通道的NPR CMFBs，分析濾波器通過調(diào)制原型濾波器獲得：

(1)

(2)

式中,k=0，1，…，M-1;n=0,1，…,N-1;p(n)是原型濾波器的沖激響應;N是原型濾波器的長度;D/2是系統(tǒng)時延。

要使得濾波器組重構有意義，必須保證其有正常的頻帶選擇性，即通帶平坦特性和阻帶衰減特性。系統(tǒng)的傳輸函數(shù)[8]：

(3)

通過使|T0(ejω)|盡可能地接近一個常量可以使重構的幅度衰減達到最小。假設通帶的波紋足夠小，則分析濾波器的通帶|T0(ejω)|值會接近常量，這一點容易滿足。所以，我們主要考慮其過渡帶。又因為Uk(ejω)和Vk(ejω)是P(ejω)頻移的結果，我們只需要再加上一個保證其平坦性的約束條件[9]

|P(ejω)|2+|P(ej(2ωc-ω))|2=1

(4)

(5)

(6)

式中，D/2是系統(tǒng)的時延，Δω=ωs-ωp是過渡帶寬，ω∈[-π,0]的理想響應Pd(ejω)=Pd(e-jω)。該濾波器的過渡帶滿足平方根余弦滾降特性。ω∈[ωp,ωs]時有：

|P(ejω)|2+|P(ej(2ωc-ω))|2=

(7)

所以，使用這種原型濾波器，能夠滿足式(2)的平坦性條件。從設計實例可以看出，原型濾波器的平方根余弦滾降特性對于減小重構誤差、抑制分析濾波器的通帶波紋十分有效。

3 SOCP法設計原型濾波器的方法

本文的原型濾波器的設計問題可以SOCP算法來實現(xiàn)[10]。不失一般性，我們把復雜的設計問題看作是如下的極小極大判斷準則：

Minimizeδ

Subject toW(ω)|P(ejω)-Pd(ejω)|≤δ

(8)

式中，-π≤ω≤π；δ是衡量最大波紋的一個補充變量；W(ω)是一個正的加權函數(shù)，用來調(diào)整不同頻率的擬合緊密程度。為簡化符號，原型濾波器的頻率響應記為

(9)

式中，p=[p(0),p(1),…,p(N-1)]T是一個變量向量，c(ω)=[1,cos (ω),…,cos ((N-1)ω)]T，s(ω)=[1,sin (ω),…,sin ((N-1)ω)]T。設Pd(ejω)的實部和虛部分別為PR_d(ω)和PI_d(ω)，則式(8)可以進一步簡化為

Minimizeδ

(10)

式中，aR(ω)=W(ω)[pTc(ω)-PR_d(ω)]，-π≤ω≤π，aI(ω)=W(ω)[pTs(ω)+PI_d(ω)]。要計算濾波器的頻率響應，先需要將濾波器的連續(xù)頻率響應離散化。離散化點數(shù)越多，設計精度越高，不過運算量也越大，因此在離散點數(shù)和計算量之間要折衷考慮。假設頻率上的采樣點為ωi(1≤i≤L)，這些頻率點可以均勻或非均勻間隔,求解濾波器設計問題就是求解如下的標準SOCP問題:

MinimizebTy

Subject tobTy≥‖ci-Fiy‖2

(11)

式中，

ON是一個N行的零向量，‖·‖2表示歐式范數(shù)。這是一個凸最優(yōu)化的問題，所以如果解存在的話可以保證一定是最優(yōu)解。變量y的維數(shù)是N+1，采用約束的數(shù)目是L+1 ，約束越多得到的解越接近理想值，但是如果L>N，約束條件的冗余過多，可能造成算法不能收斂，所以一般取L=N。

用該方法設計的原型濾波器如圖1所示，其中階數(shù)N=512，理想截止頻率ωc=π/32，過渡帶寬Δω=π/64。設計過程中SOCP問題的求解采用了Matlab7.9和內(nèi)點算法工具包SeDuMi1.21[11]。

圖1 SOCP法設計的原型濾波器Fig.1 Prototype filter designed by SOCP

4 NPR CMFBs的設計步驟和設計實例

原型濾波器的過渡帶寬、通帶波紋、阻帶衰減和濾波器階數(shù)需要折衷的考慮。一般通過優(yōu)化過渡帶寬和CMFBs的波紋可以進一步的提高NPR CMFBs的性能。式(4)的低通濾波器可以用上述SOCP算法設計。

設計過程中，使濾波器的設計誤差ε最小即可保證通帶波紋最小，對于給定的原型濾波器阻帶衰減ds和設計誤差ε0，可以通過反復調(diào)整通帶過渡帶寬和階數(shù)N獲得最佳的原型濾波器。設系統(tǒng)預設的階數(shù)初始值是N0，最大允許的過渡帶寬為Δω0。如果N0階的濾波器滿足設計誤差和阻帶衰減的要求，則采用N0階的濾波器，并調(diào)整過渡帶寬Δω使其最小；如果N0階的濾波器不能滿足設計誤差和阻帶衰減的要求，則采用過渡帶寬Δω0，并調(diào)整階數(shù)N使其最小。調(diào)整時采用二分法進行搜索，算法在調(diào)整步進ωstep或Nstep小于某個門限的時候停止迭代。

設計步驟描述如下：

(1)用給定的N0、Δω0、D設計式(6)的濾波器。計算重構誤差ε和衰減d；

(2)如果步驟1的結果滿足d>ds和ε<ε0，執(zhí)行步驟3～4，否則執(zhí)行步驟5～7；

(3)固定N=N0，令ωstep=Δω；

(5)固定Δω=Δω0，令N=2N，設計式(6)的濾波器。重復執(zhí)行直至誤差ε和衰減d滿足d>ds和ε<ε0；

圖2 余弦調(diào)制濾波器組分析濾波器Fig.2 Analysis filters of CMFBs

實驗表明，使用本方法可得到滿意的結果。圖2、圖3是用本文方法設計的濾波器組與使用文獻[5]中單參數(shù)優(yōu)化法設計的濾波器組的比較,兩種方法取相同的階數(shù)、過渡帶寬和子帶數(shù)等參數(shù)：N=512，Δω=π/64，M=16 。從實驗結果可以看出,用本文方法能得到更小的重構誤差和更大的阻帶衰減。圖4是用本方法設計的128信道的NPR CMFBs。實驗表明,本方法在子帶數(shù)目較大時依然能夠獲得滿意的設計結果。

圖3 余弦調(diào)制濾波器組的重構誤差Fig.3 Reconstruction error of CMFBs

圖4 128信道的余弦調(diào)制濾波器組Fig.4 128-Channel NPR CMFBs

5 結束語

本文研究了采用過渡帶具有平方根余弦滾降特性的原型濾波器來設計NPR CMFBs的方法。這種原形濾波器采用了二階錐規(guī)劃算法進行最優(yōu)化設計。與使用普通的原型濾波器相比,用這種方法設計NPR余弦調(diào)制濾波器組，能獲得更小的重構誤差和更大的阻帶衰減。

參考文獻：

[1] Cruz-Roldan F, Amo-Lopez P,Maldonado-Bascon S,et al. An efficient and simple method for designing prototype filters for cosine-modulated pseudo-QMF banks[J].IEEE Signal Process Letters,2002,9(1):29-31.

[2] Abu-Al-Saud W A,Studer G L.Efficient wideband channelizer for software radio systems using modulated pr filterbanks[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2004,52(10):2807-2820.

[3] Bregovic R,Saramaki T. An efficient approach for designing nearly perfect-reconstruction low-delay cosine-modulated filter banks[C]//Proceedings of IEEE ISCAS.[S.l.]:IEEE，2002:825-828.

[4] Lu W S, Saramaki T,Bregovic R. Design of practically perfect-reconstruction cosine-modulated filter banks: A second-order cone programming approach[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems,2004,51(3)：552-563.

[5] 李冰.軟件無線電中的信道化技術研究[D].鄭州:解放軍信息工程大學，2007.

LI Bing. Research on Channelization Techniques for Software Defined Radio[D].Zhengzhou:The PLA Information Engineering University, 2007.(in Chinese)

[6] Chan S C，Yin S S.On the design of low delay nearly-PR and PR FIR cosine modulated filter banks having approximate cosine-rolloff transition band[C]//Proceedings of EUSIPCO.Hongkong: [s.n.],2004:1253-1256.

[7] Heller P N,Karp T,Nguyen T Q.A general formulation of modulated filter banks[J].IEEE Transactions on Signal Process,1999,47(4):986-1002.

[8] Yin S S,Chan S C,Tsui K M.On the design of nearly-PR and PR FIR cosine modulated filter banks having approximate cosine-rolloff transition band[J].IEEE Transactions on Circuits and Systems II,2008,55(6):571-575.

[9] Kumar A, Singh G K,Anand R S.An Improved Method for Designing Prototype Filter for M-Band Pseudo QMF Banks[J].IEEE Computer Society,2009:341-345.

[10] 鄢社鋒，馬遠良.二階錐規(guī)劃方法對于時空域濾波器的優(yōu)化設計與驗證[J].中國科學E輯，2006,36(2):153-171.

YAN She-feng, MA Yuan-liang. Second-order cone programming method for optimal design and verification of time-space domain filter[J].Science In China Series E:Information Science, 2006,36(2):153-171.(in Chinese)

[11] Lu W S. Use SeDuMi to Solve LP,SDP and SCOP Problems: Remarks and Examples[EB/OL].(2007-01-29)[2009-12-23].http://menet.math.ecnu.edu.cn/lu/supplementary%20part/SeDuMi-Remarks.pdf.