曹昕燕,鄒英永

(1.長(zhǎng)春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130022;2.長(zhǎng)春大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130022)

基于ARMA模型的振動(dòng)信號(hào)建模與預(yù)測(cè)

曹昕燕1,鄒英永2

(1.長(zhǎng)春大學(xué) 電子信息工程學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130022;2.長(zhǎng)春大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,吉林 長(zhǎng)春 130022)

振動(dòng)信號(hào)是反映系統(tǒng)故障的重要信息,預(yù)測(cè)振動(dòng)信號(hào)的趨勢(shì)是系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷中的一個(gè)重要內(nèi)容。本文提出了一種采用時(shí)間序列模型來分析和預(yù)測(cè)非線性隨機(jī)振動(dòng)信號(hào)的方法,建立了描述振動(dòng)信號(hào)的數(shù)學(xué)模型。首先將現(xiàn)場(chǎng)測(cè)得的非平穩(wěn)振動(dòng)信號(hào)轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)平穩(wěn)時(shí)間序列,然后利用這些參考信號(hào)建立時(shí)間序列模型,并采用非線性最小二乘法進(jìn)行模型參數(shù)估計(jì),最后利用該模型對(duì)信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè)。應(yīng)用結(jié)果表明該模型能夠很好地?cái)M合振動(dòng)信號(hào)時(shí)間序列,并取得了一定的預(yù)測(cè)精度,可以達(dá)到預(yù)測(cè)要求。

振動(dòng)信號(hào);時(shí)間序列;建模;預(yù)測(cè);參數(shù)估計(jì)

0 引 言

機(jī)械系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)是反映系統(tǒng)故障的重要信息,在對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)監(jiān)測(cè)與故障診斷過程中,及時(shí)檢測(cè)機(jī)械系統(tǒng)振動(dòng)信號(hào)動(dòng)力學(xué)突變對(duì)機(jī)械系統(tǒng)早期故障的發(fā)現(xiàn)有著極其重要的作用。由于機(jī)械系統(tǒng)在工作過程中會(huì)產(chǎn)生撞擊、速度突變、結(jié)構(gòu)變形、摩擦變化等,常會(huì)引起非平穩(wěn)、非線性振動(dòng),因此從機(jī)械系統(tǒng)中獲得的振動(dòng)信號(hào)也往往具有非線性、非平穩(wěn)性特征,很難從觀測(cè)數(shù)據(jù)直接分析系統(tǒng)的變化規(guī)律。本文提出了一種基于時(shí)間序列分析技術(shù)的振動(dòng)信號(hào)處理方法,它是在振動(dòng)信號(hào)監(jiān)測(cè)的基礎(chǔ)上,通過對(duì)動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行建模與預(yù)測(cè),來估計(jì)設(shè)備故障的傳播和發(fā)展趨勢(shì),對(duì)設(shè)備的優(yōu)劣趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)。該方法具有能反映系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律、預(yù)測(cè)精度高等特點(diǎn),特別適合于對(duì)設(shè)備的各種未來信號(hào)進(jìn)行預(yù)測(cè),已被廣泛地應(yīng)用于機(jī)械故障診斷、交通運(yùn)輸?shù)葘W(xué)科,并發(fā)揮著重要的作用。

本文應(yīng)用時(shí)間序列分析的方法對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別,首先對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行測(cè)量,獲得響應(yīng)的時(shí)間序列,然后對(duì)時(shí)間序列建立ARMA模型,利用ARMA模型與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)參數(shù)的關(guān)系對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行監(jiān)測(cè)和預(yù)測(cè)分析。

1 時(shí)間序列模型

時(shí)間序列分析的步驟包括數(shù)據(jù)采集與處理、模型識(shí)別、參數(shù)估計(jì)、預(yù)報(bào)與檢驗(yàn)等[1]。時(shí)間序列建模的一般流程圖如圖1所示。

1.1 數(shù)據(jù)采集與處理

建立時(shí)間序列模型需要離散時(shí)間序列。設(shè)一個(gè)振動(dòng)系統(tǒng)某測(cè)點(diǎn)的輸出響應(yīng)為離散時(shí)間序列{Xt}。對(duì)于離散時(shí)間序列{Xt},當(dāng)其取值過大或過小時(shí),為保證計(jì)算精度、減少誤差、避免溢出,需要對(duì)離散時(shí)間序列{Xt}進(jìn)行規(guī)一化處理。即當(dāng){Xt}滿足均值為μ^,方差為δ^2的正態(tài)分布時(shí),對(duì){Xt}中各數(shù)據(jù)進(jìn)行規(guī)一化處理

1.2 模型識(shí)別

模型識(shí)別就是根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理階段所獲得的數(shù)據(jù)信息的先驗(yàn)知識(shí)來選擇一種合適的模型。均值為零的平穩(wěn)時(shí)間序列可以用自回歸模型(AR)、滑動(dòng)平均模型(MA)和自回歸滑動(dòng)平均模型(ARMA)三種模型來表示。其中ARMA模型是一種精確度較高的短期時(shí)間序列預(yù)測(cè)方法。他將預(yù)測(cè)對(duì)象隨時(shí)間變化形成的序列,看作是一個(gè)隨機(jī)序列,然后用相應(yīng)的模型進(jìn)行近似描述,再通過對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)模型的分析研究,能更本質(zhì)的認(rèn)識(shí)這些動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)內(nèi)在結(jié)構(gòu)和復(fù)雜性,從而達(dá)到在最小方差意義下的最佳預(yù)測(cè)。

圖1 時(shí)間序列建模過程

圖2 ARMA模型建模流程

本文采用 ARMA(n,n-1)模型,其策略是用ARMA(n,n-1)模型的一個(gè)遞增系列去逐步逼近數(shù)據(jù)的依賴關(guān)系。當(dāng)用殘差平方和的減小來作判斷時(shí),先停留在這樣一個(gè) n值上,即 n超過此值時(shí),這種逼近的改善已不明顯。應(yīng)用這種策略可以設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的,能夠在計(jì)算機(jī)上執(zhí)行的建模程序,即只要把數(shù)據(jù)輸入建模程序,就能輸出所有的適合模型并指出最適合的一個(gè)模型,不需要對(duì)自相關(guān)、譜、殘差等的圖線進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。ARMA(n,n-1)模型的具體建模流程如圖 2所示。

ARMA(n,n-1)模型的形式為[2]：

其中:at～N(0,σ)2

這種模型的形式是分別通過 n階的自回歸部分和 n-1階的滑動(dòng)平均部分去處 at對(duì) Xt-1Xt-2,……, Xt-n和對(duì) at-1,at-2,……,at-n+1的依賴關(guān)系。ARMA(n,n-1)模型的建模步驟為:

第 1步:擬合ARMA(n,n-1)模型,n值每次增加 1,利用 F判據(jù)檢驗(yàn)殘差平方和的改善情況,證實(shí) at的自相關(guān)是在允許的范圍內(nèi)。在從ARMA(n,n-1)轉(zhuǎn)到ARMA(n+2,n+1)時(shí),當(dāng) F值在預(yù)定的水平上變得無意義時(shí),就停止繼續(xù)擬合,并選擇ARMA(n,n-1)模型。

第 2步:檢驗(yàn) φ和θ,觀察這些值與它們的絕對(duì)值相比是否小,他們的置信區(qū)間是否包括零,如果‘否’,則ARMA(n,n-1)為一個(gè)合適的模型。

第 3步:假如 F值小,并且它們的置信區(qū)間包括零,則擬合一個(gè)ARMA(n-1,n-2)模型,用 F判據(jù)檢驗(yàn)它與ARMA(n,n-1)模型。假如 F值不大,則略去小的MA參數(shù),擬合一個(gè)m＜n-1的ARMA(n-1,m)模型,并用 F判據(jù)檢驗(yàn),直至得到參數(shù)最少的合適模型為止。

第 4步:假如 F值大,則略去小的滑動(dòng)平均參數(shù),并確定m＜n-1的一個(gè)ARMA(n,m)模型。

第 5步:假如需要時(shí),通過 F判據(jù)擬合模型的理想形式(如純AR(n))或純MA(m)等等),使模型的階次逐漸增加,直至 F值小到無意義為止。

1.3 參數(shù)估計(jì)

模型的參數(shù)估計(jì)就是選擇合適的參數(shù)使得模型的殘差 at為白噪聲。模型參數(shù)估計(jì)的方法很多,常用的方法有最小二乘估計(jì)、極大似然估計(jì)、最大熵估計(jì)和相關(guān)矩估計(jì)等方法。因?yàn)?ARMA(n,n-1)模型是非條件回歸模型,所以它的參數(shù)采用非線性最小二乘法進(jìn)行估計(jì)。

非線性最小二乘法采用逐步逼近的方法來實(shí)現(xiàn) at的平方和的極小化。這個(gè)方法是從諸參數(shù)的某些初始值開始,利用公式(2)遞推計(jì)算 at并求得平方和,然后通過最速下降法找到平方和減小的方向,再利用具有最小平方和的參數(shù)新值作為初始值,計(jì)算程序一直繼續(xù)進(jìn)行下去直至獲得極小的平方和為止。

由于 t＜0時(shí),不存在 Xt,所以將計(jì)算的第一個(gè) at是在 t=n+1時(shí)刻的。對(duì) t＜n的諸 at的初始值設(shè)其為零,則可以利用公式(2)遞推生成 t=n+1,n+2,…,N時(shí)的各 at?？赡軙?huì)有少許的信息丟失,但當(dāng)觀測(cè)次數(shù)N較大時(shí),則可忽略不計(jì)。

1.4 預(yù)測(cè)

預(yù)測(cè)是指已經(jīng)知道一個(gè)時(shí)間序列現(xiàn)在與過去的數(shù)值,對(duì)將來的數(shù)值進(jìn)行估計(jì)。時(shí)間序列預(yù)測(cè)的基本思想是根據(jù)當(dāng)前及以前的觀察數(shù)據(jù)對(duì)未來值進(jìn)行估計(jì)。預(yù)測(cè)通常都采用最小方差線性估計(jì)的原則。首先將信號(hào)隨機(jī)序列代入模型進(jìn)行計(jì)算獲得隨機(jī)預(yù)測(cè)結(jié)果,然后根據(jù)在預(yù)測(cè)計(jì)算程序中所得趨勢(shì)、周期、零均值計(jì)算等結(jié)果對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)還原即得實(shí)際預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)。接下來讀入下一步實(shí)測(cè)數(shù)據(jù) Xt+1,保留最近的N個(gè)數(shù)據(jù),然后進(jìn)行趨勢(shì)性周期性判別,進(jìn)入下一次循環(huán)預(yù)測(cè),從而實(shí)現(xiàn)對(duì)信號(hào)的預(yù)測(cè)。

1.5 檢驗(yàn)

在建立了相關(guān)模型之后,為了判斷該模型的優(yōu)劣程度,需要對(duì)模型的擬合殘差進(jìn)行相關(guān)的檢驗(yàn)分析。最簡(jiǎn)單有效的方法就是檢驗(yàn)其擬合殘差是不是白噪聲。也就是說,如果經(jīng)檢驗(yàn)確是白噪聲序列,則可認(rèn)為模型是合理的,否則,就應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步改進(jìn)模型。

2 振動(dòng)信號(hào)的建模和預(yù)測(cè)

建模選擇的信號(hào)源為振動(dòng)信號(hào),這些數(shù)據(jù)信號(hào)分為兩部分,一部分用來建模,另一部分用來驗(yàn)證。原始信號(hào)分布如圖3所示。

首先對(duì)初始數(shù)據(jù)減去平均值做為處理數(shù)據(jù),然后依照上述分析建模方法,找出其合適的模型 ARMA(n,n-1),即確定正確的模型類別和模型階次,然后利用建好的模型,預(yù)測(cè)出后面振動(dòng)信號(hào)的值,再使用實(shí)際的振動(dòng)信號(hào)值來檢驗(yàn)預(yù)測(cè)信號(hào)的準(zhǔn)確性。

利用上述數(shù)據(jù),分別建立了ARMA(2,1),ARMA(3,2),ARMA(4,3),ARMA(5,4),ARMA(6,5),ARMA(7,6)6個(gè)模型,并用上述方法進(jìn)行模型檢驗(yàn),結(jié)果如表 1所示。

圖 3 阻尼器機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)分布曲線

表1 ARMA(n,n-1)建模參數(shù)表

圖 4為不同模型殘差圖,通過對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的殘差平方和的比較,置信區(qū)間的選定,以及模型的適用性檢驗(yàn)(F-檢驗(yàn)法),可以確定出合適的時(shí)間序列模型為ARMA(6,5)模型。圖 5為樣本數(shù)據(jù)與不同模型預(yù)測(cè)值。

圖4 不同模型殘差圖

圖5 樣本數(shù)據(jù)與不同模型預(yù)測(cè)值

3 結(jié) 論

本文詳細(xì)地論述了時(shí)間序列分析的原理和建模步驟,并給出了振動(dòng)信號(hào)的預(yù)測(cè)過程和結(jié)果。從預(yù)測(cè)的結(jié)果可以看出,時(shí)間序列分析能夠有效地識(shí)別機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,且建模簡(jiǎn)單有效,具有較高的精度。該技術(shù)可以直接應(yīng)用于設(shè)備的故障診斷中,利用現(xiàn)有的故障狀態(tài),預(yù)測(cè)出未來的故障趨勢(shì),做到提前防范、提前檢修,具有極大的實(shí)際意義。

[1] 劉輝,潘迪夫,李燕飛.基于時(shí)間序列分析的機(jī)車振動(dòng)信號(hào)建模和預(yù)測(cè)[J].鐵道機(jī)車車輛,2007(8)：34-37.

[2] S.M.潘迪特,吳憲民著.時(shí)間序列及系統(tǒng)分析與應(yīng)用[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,1998.

[3] 韓路躍,杜行檢.基于MATLAB的時(shí)間序列建模與預(yù)測(cè)[J].計(jì)算機(jī)仿真,2005,22(4)：501-701.

[4] 徐峰,王志芳,王寶圣.AR模型應(yīng)用于振動(dòng)信號(hào)趨勢(shì)預(yù)測(cè)的研究[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),1999(4)：57-59.

[5] 黃建洪,陳致偉,傅戈雁.時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型的建模方法與應(yīng)用[J].機(jī)械制造,2007(11)：1-3.

責(zé)任編輯：吳旭云

M odeling and forecast ing of vibration signals based on ARMA M odel

CAO Xin-Yan1,ZOU Ying-yong2
(1.College of Electronic Information Engineering,Changchun University,Changchun 130022,China; 2.Mechanical Engineering College,Changchun University,Changchun 130022,China)

Vibration signals are the important information for system failures.Forecasting the trend of vibration signals is an important contentof conditionmonitoring and fault diagnosis.This article presents amethod to analyze and predict nonlinear random vibration signals by t ime seriesmodel and establishesmathematicalmodels to describe vibration signals.Firstly,the non-stationary vibration signals acquired in the field are transfor med to stationary time series.Secondly,the time seriesmodels are constructed from the selected reference signals and nonlinear least square method is used to estimate models’parameters.Finally,the vibration signals are forecast by using the models.The application results show that the models can simulate t ime series of vibration signals quite wellwith good prediction accuracy and meet the need of forecasting.

vibration signal;time series;model;forecast;parameter est imation

TB53

A

1009-3907(2010)06-0052-04

2010-04-07

吉林省教育廳“十一五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目[2009239]

曹昕燕(1973-),女,吉林長(zhǎng)春人,副教授,博士研究生,主要從事信號(hào)處理方面研究。