張 松

（成都電子機械高等專科學校通信系，四川 成都 610031）

0 引言

分數(shù)階微積分運算是整數(shù)階微積分運算概念的延伸，分數(shù)階運算包括分數(shù)階導數(shù)和分數(shù)階積分、分數(shù)階傅里葉變換等，它們是分析和處理許多“非”問題和現(xiàn)象(比如非線性、非因果、非最小相位、非高斯、非平穩(wěn)、分數(shù)布朗運動、混沌等)的有用工具[1]。該問題曾被許多大數(shù)學家，如Leibniz、Euler、Liouville等研究過，但是把微積分的階次推廣到分數(shù)甚至復數(shù)領域，因其計算復雜，過去只是數(shù)學家研究的對象。隨著信息科學的迅猛發(fā)展,分數(shù)微積分的應用也已逐漸滲透到許多工程應用領域, 如各種材資的記憶、力學和電特性描述、粘彈性阻尼器、分形理論等。分數(shù)階運算在很多問題的處理過程中所擁有的整數(shù)階運算無可比擬的優(yōu)點正逐漸顯露出來[2]。

數(shù)學家們從各自不同的角度入手，給出了分數(shù)階微積分不同的定義，如GL(Gainwald—Letnikov)定義、RL(Riernarm—Liouville)定義、Caputo定義等。

從信號處理角度出發(fā)，考慮分數(shù)演算的頻率域定義為[3]：對于可微的信號f(t)，其傅立葉變換為，即其中v為分數(shù)演算的階數(shù)（0＜v＜1），可得到分數(shù)演算算子在頻域的指數(shù)形式為

將該定義應用到拉普拉斯變換，即 f( t) ? F( S),則將 Sv定義為拉氏分數(shù)演算算子。

拉氏分數(shù)演算算子的電路實現(xiàn)將為分數(shù)階微積分的工程應用鋪平道路。一些研究者提出了一些實現(xiàn)方法，但這些方法都存在著不同的缺陷。例如：階數(shù)限制于1/2階，其它階數(shù)不易實現(xiàn)[4]。分抗元件由局部和整體具有高度自相似的分形電路實現(xiàn)，電路元件為無窮多個，不利于集成化。

為此,在參考文獻[5]的基礎上，設計了一款任意階分抗元件，給出其具體設計步驟，并利用該分抗元件可獲得信號的任意分數(shù)階微分或積分信號，通過仿真驗證了本設計的正確性。

1 分數(shù)階函數(shù)（Sν）的逼近

定義每一級雙線性級聯(lián)函數(shù)如式（3）所示，將其定義為分數(shù)階函數(shù)的基本模塊函數(shù)。

假設待實現(xiàn)的分抗階數(shù)為ν=1/3，待逼近的頻率段為（ ΩL,ΩH），其中 ΩL= 2πrad/s,ΩH= 2π ? 106rad/s ，在該頻率段內允許的最大逼近誤差為 εmax= 0 .3 d B ，那么如何實現(xiàn)呢？

⑤令 Ci= β-i+k/Ωo，可得 Ci如下：

圖1 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性

2 可變階次分抗元件的電路實現(xiàn)

圖2 由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)組成的基本模塊函數(shù)

由比例微分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)特性，可得電阻、電容參數(shù)的設計如式（4）所示：

3 電路仿真結果

根據(jù)式（2）和式（4）得到其1/3階分抗元件，將如圖2所示的7級電路級聯(lián)，其電路如圖3所示[8]。

按照式（4）計算相應的電容電阻值，此處選擇電容在nF或pF范圍內，電阻為1 kΩ到1 MΩ之間，運放選用NE5532，通過Pspice仿真，得到其對應的幅頻和相頻特性如圖4所示。將圖4和圖1比較可知，其電路仿真結果和理論值基本符合。

圖3 1/3階分抗元件電路

圖4 1/3階分抗元件的幅頻和相頻特性

4 結語

近年來,分數(shù)階微積理論成為人們關注的重要課題，如何將分數(shù)階運算從理論走向各應用領域，分抗元件的實現(xiàn)是非常重要的環(huán)節(jié)。利用線性電路完成了可變階次的分抗元件的設計，其設計和實際制作結果逼近理論值，設計電路簡單，容易集成，可根據(jù)工程應用需要生產(chǎn)不同類型的分數(shù)階芯片，對工程設計具有指導意義。

[1] 袁曉,張紅雨,虞厥邦.分數(shù)導數(shù)與數(shù)字微分器設計[J].電子學報,2004(32)：1658-166.

[2] OLDHAM K B, SPANIER J. The Fractional Calculus[M]. New York and London： Academic Press,1974.

[3] 袁曉,陳向東,李齊良,等.微分算子與子波構造[J].電子學報,2002(30)：769-773.

[4] 廖科,袁曉,蒲亦非,等. 1/2階分數(shù)演算的模擬OTA電路實現(xiàn)[J].四川大學學報：工程科學版,2005(37)：150-154.

[5] HISANO T.A Realization of SαTransfer Function[J].Proc.IEICE Fall Conf’.,1992(A-26)：92．

[6] [美] 奧本海姆 A Y,謝弗 R W,巴克 J R.離散時間信號處理[M]．第2版.劉樹棠，黃建國,譯．西安：西安交通大學出版社，2005：171-180.

[7] [美]賽爾吉歐.佛朗哥.基于運算放大器和模擬集成電路的電路設計[M]．第3版.劉樹棠，朱茂林，榮玫,譯．西安：西安交通大學出版社，2004：310-345.

[8] 熊偉,侯傳教,梁青,等．Multisim7電路設計及仿真應用[M].北京：清華大學出版社，2005：247-251.