鄭建龍 虞獻(xiàn)文(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

彈簧擺的內(nèi)共振特性分析

鄭建龍 虞獻(xiàn)文(浙江師范大學(xué)數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江金華 321004)

首先提出了一種彈簧擺模型,通過諧波平衡法對(duì)彈簧擺的內(nèi)共振現(xiàn)象進(jìn)行了解析處理,得到了彈簧擺內(nèi)共振條件以及X、Z兩模態(tài)能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.再利用數(shù)值模擬得到彈簧擺內(nèi)共振時(shí)的時(shí)序圖、相圖、軌跡圖、能量圖以及內(nèi)共振耦合區(qū)域圖等,分析表明,解析和數(shù)值模擬的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合一致.

彈簧擺;非線性振動(dòng);內(nèi)共振;諧波平衡法

彈簧擺的運(yùn)動(dòng)情形與恢復(fù)力帶平方非線性系統(tǒng)相關(guān)[1],是工程中較典型的非線性運(yùn)動(dòng)之一.它與電子回旋加速器的振動(dòng)、船舶的運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)等有聯(lián)系.在鉛直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的彈簧擺可看成兩個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng),有兩個(gè)固有頻率,當(dāng)滿足內(nèi)共振條件時(shí),兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)強(qiáng)烈地耦合,發(fā)生一種振動(dòng)激發(fā)另一種振動(dòng)的內(nèi)共振現(xiàn)象.在不計(jì)阻力的條件下,系統(tǒng)的能量在兩種振動(dòng)模態(tài)之間不斷地變換而不衰減,振幅和相位周期性變化.關(guān)于彈簧擺的動(dòng)力學(xué)行為在數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)等方面分別已有一些研究[2～6],但在理論方面討論很少,在數(shù)值分析方面也沒有作詳細(xì)討論.本文從系統(tǒng)的勢能出發(fā),根據(jù)拉格朗日公式推得彈簧擺的耦合振動(dòng)方程,再采用諧波平衡法得出彈簧擺內(nèi)共振條件和兩模態(tài)能量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系,最后利用數(shù)值模擬得到彈簧擺內(nèi)共振時(shí)的振動(dòng)位移圖、相圖、軌跡圖、能量圖以及內(nèi)共振區(qū)域圖等,并通過位移圖、相圖、軌跡圖和能量圖等比較全面地分析彈簧擺內(nèi)共振的特點(diǎn),得出了與文獻(xiàn)[3]相同的結(jié)果.

1 彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振的理論分析

1.1 彈簧擺系統(tǒng)的振動(dòng)模型

在彈簧下面掛一小球,小球的質(zhì)量為m,可看成質(zhì)點(diǎn),彈簧的質(zhì)量相對(duì)于小球可忽略不計(jì),便組成了一個(gè)彈簧擺系統(tǒng).圖1為彈簧擺示意圖及相關(guān)坐標(biāo)的定義.O點(diǎn)為擺球的平衡位置.

圖1 彈簧擺示意圖及相關(guān)坐標(biāo)的定義

彈簧擺系統(tǒng)的勢能為

其中,k為彈簧的勁度系數(shù);m為擺球的質(zhì)量;l0為彈簧的原長,根據(jù)拉格朗日公式[7],由式(1)至式(3)得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

1.2 彈簧擺系統(tǒng)的內(nèi)共振條件

為了利用諧波平衡法[8～10]推出彈簧擺系統(tǒng)的內(nèi)共振條件,先令(6)和(7)兩式右邊分別等于零,系統(tǒng)的 x和z兩個(gè)振動(dòng)分別是角頻率為ωp、ωs的簡諧振動(dòng),運(yùn)動(dòng)方程為

再將簡諧振動(dòng)形式式(8)代入式(6),得

化簡后得

從式(9)可知,式(6)右邊可展開為角頻率分別為ωs+ωp和ωs-ωp兩個(gè)驅(qū)動(dòng)力的線性疊加,其中前者遠(yuǎn)離共振條件,可忽略不計(jì).當(dāng)后者的角頻率ωs-ωp與x振動(dòng)模態(tài)的角頻率ωp相等時(shí),產(chǎn)生共振現(xiàn)象,即

同理,將簡諧振動(dòng)形式式(8)代入式(7),得

化簡后得

從式(11)又可知,當(dāng) x2的角頻率與 z振動(dòng)模態(tài)的角頻率相等時(shí)產(chǎn)生共振現(xiàn)象,即 x方向的振動(dòng)會(huì)激發(fā)z方向的振動(dòng),同樣可得到式(10).這樣,系統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)強(qiáng)烈耦合,出現(xiàn)內(nèi)共振現(xiàn)象.因此式(10)為彈簧擺內(nèi)共振條件.

1.3 彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振兩模態(tài)之間的能量關(guān)系

由于(6)和(7)兩式右邊的驅(qū)動(dòng)力較弱,因此,兩個(gè)振動(dòng)的振幅和相位變化可視為隨時(shí)間的慢變量.這樣,在考慮彈簧擺內(nèi)共振條件下,可將(6)和(7)兩式的解分別寫成如下形式

再將(12)和(13)兩式分別代入(6)和(7)兩式,根據(jù)諧波平衡法,利用兩方程兩邊的 sin(ωpt+φ),cos(ωpt+φ),sin(2ωpt+ψ)和cos(2ωpt+ψ)項(xiàng)的系數(shù)相等,可得關(guān)于 A,B,φ,和ψ的微分方程組其中,M0為與系統(tǒng)初始能量成正比的常量.式(18)為彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振兩模態(tài)之間的能量關(guān)系,說明彈簧的伸縮和擺動(dòng)均有界,而且兩種運(yùn)動(dòng)的幅值交替增減,能量不斷在兩種振動(dòng)形式之間轉(zhuǎn)換.

2 彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振特性的數(shù)值模擬

為了數(shù)值求解彈簧擺的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(6) 和式 (7),先引入變量 y1=x,y2=x·,y3=z,y4=z·,再代入系統(tǒng)式(6)和式(7)并進(jìn)行降階處理,得到

其中,y1,y2,y3,y4是系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)參量;ωp,ωs,l0,Z是系統(tǒng)參數(shù) ;表示對(duì) t的導(dǎo)數(shù).

利用高階 Runge-Kutta方法[11]求解降階的非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)式(19)得出數(shù)值解,從而研究彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振特性.為了檢驗(yàn)解析和數(shù)值模擬結(jié)果的正確性,我們選取文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)m=0.048kg,k=2.31N/m,z0=0.82m,g=9.81N/m2作為研究參數(shù),由這些參數(shù)可得系統(tǒng)參數(shù)ωp=3.46rad/s,ωs=6.89rad/s,滿足內(nèi)共振條件.再選取兩種不同的擺球初始條件 x0=0.141m,z0=0.109m與x0=0.141m,z0=0.051m來考察彈簧擺位移、相圖、軌跡和能量的關(guān)系,并給出了彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振耦合發(fā)生的區(qū)域.

由圖2可知,無論是彈簧擺作小角度擺動(dòng)(如圖2(a)所示),還是作大角度擺動(dòng)(如圖2(b)所示)都有倍頻關(guān)系的內(nèi)共振現(xiàn)象,這與上述理論討論結(jié)果式(10)一致.但唯有作小角度擺動(dòng),才有系統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)強(qiáng)烈耦合的情形.該結(jié)果與文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相吻合.這也說明存在彈簧擺系統(tǒng)的兩個(gè)模態(tài)耦合的臨界狀態(tài).從圖3可以看出,根據(jù)相平面理論,彈簧擺作大小角度擺動(dòng)的內(nèi)共振解都是穩(wěn)定的.而從圖4又可知,彈簧擺作大小角度擺動(dòng)的伸縮和擺動(dòng)均有界.這與文獻(xiàn)[3]中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致.

圖5中的左圖和中圖分別為在初始條件x0=0.141m,z0=0.109m下 X、Z兩模態(tài)內(nèi)共振的能量隨時(shí)間的變化曲線,右圖為彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振總能量.從能量圖上可以看出,彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振時(shí),能量在兩模態(tài)間轉(zhuǎn)換,并且保持總能量不變.這與上述理論討論結(jié)果式(18)一致.

最后通過大量的數(shù)值模擬,我們得出了彈簧擺系統(tǒng)內(nèi)共振耦合發(fā)生的區(qū)域圖,如圖6所示,這為討論與恢復(fù)力帶平方非線性系統(tǒng)的內(nèi)共振耦合現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究提供了一定的理論依據(jù).

3 結(jié)論

本文通過建立一種彈簧擺系統(tǒng)模型,分別用解析和數(shù)值模擬的方法分析了彈簧擺系統(tǒng)的內(nèi)共振現(xiàn)象.結(jié)果表明,應(yīng)用諧波平衡法解析處理彈簧擺系統(tǒng)的非線性內(nèi)共振問題有效.不僅解釋了實(shí)驗(yàn)結(jié)果,而且還得到了數(shù)值模擬的證實(shí).這將為討論諸如電子回旋加速器的振動(dòng)、船舶的運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)等與恢復(fù)力帶平方非線性系統(tǒng)有聯(lián)系的內(nèi)共振問題提供參考.

[1] 褚亦清,李翠英.非線性振動(dòng)分析[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1996.975～983

[2] 石玉仁,薛具奎.彈簧擺的混沌行為[J].西北師范大學(xué)學(xué)報(bào),2001:37(3):91～97

[3] 司麗榮,張競夫.彈簧擺內(nèi)共振現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)研究[J].物理實(shí)驗(yàn),2002,22(3):9～12

[4] 王建平,劉宏昭,原大寧,蘇致霄.一類非線性振動(dòng)系統(tǒng)改進(jìn)狀態(tài)空間模型及其數(shù)值方法[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2002,19(4):112～116

[5] Cuerno R,Ranada A F,Ruiz-Lorenzo J J.Deter-ministic chaos in the elastic pendulum:A simple laboratory for nonlinear dynamics[J].Am.J.Phys,1992,60(1):73

[6] Davidovic D M,Anicin B A,Babovic V M.The libration lim its of the elastic pendulum[J].Am.J.Phys,1996,64(3):338

[7] 王永巖.理論力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2007.428～438

[8] 陳樹輝.強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的定量分析方法[M].北京:科學(xué)出版社,2007.169～174

[9] 劉延柱,陳立群.非線性振動(dòng)[M].北京:高等教育出版社,2001.57～59

[10] 朱因遠(yuǎn),周紀(jì)卿.非線性振動(dòng)和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性[M].西安:西安交通大學(xué)出版社,1992.32～36

[11] Press W H,Teukolsky S A,Vetterling W T.Numerical Recipes-The A rt of Scientific Computing[M].Cambridge,U K:Cambridge University Press,1996

ANALYSISOF THE AUTOPARAM ETRIC RESONANCE OF A SPRING PENDULUM

Zheng Jianlong Yu Xianwen
(College of Mathematics,Physics and Information Engineering,Zhejiang Normal University,Jinhua,Zhejiang 321004)

In this paper,w e have put fo rward a sort of sp ring pendulum model.Through the harmonic balance method,the autoparametric resonance of the sp ring pendulum has been analytically p rocessed.The condition of the autoparametric resonance of the sp ring pendulum has been obtained,and the transform relationship between X and Z models has been discussed. Moreover, the graphs of disp lacement,phase, trajectory,energy and autoparametric resonance area have been numerically obtained.Analyses indicate that the results obtained here agree w ell w ith the experimental results.

sp ring pendulum;nonlinear vibration;autoparametric resonance;harmonic balance method

2009-04-16;

2009-09-21)

浙江省科技計(jì)劃項(xiàng)目(2008C31013);金華市科技項(xiàng)目(2006-1-017).