劉 虹

浙江省富陽市第二中學(xué) 浙江富陽 311400

幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

劉 虹

浙江省富陽市第二中學(xué) 浙江富陽 311400

幾何畫板是一款相對精確的數(shù)學(xué)作圖軟件，更是一個方便實用的“數(shù)學(xué)實驗”，它為老師和學(xué)生提供了一個探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。本文結(jié)合幾何畫板在高中數(shù)學(xué)方面的實際應(yīng)用，就幾年來的對幾何畫板輔助教學(xué)的探索談?wù)勛约旱囊恍w會。

高中代數(shù)教學(xué) 幾何畫板 動態(tài)教學(xué) 信息技術(shù)輔助教學(xué)

幾何畫板是一款優(yōu)秀的專業(yè)學(xué)科教學(xué)平臺軟件，代表了當(dāng)代專業(yè)工具平臺類教學(xué)軟件的發(fā)展方向。該軟件短小精悍，功能強大，能動態(tài)表現(xiàn)相關(guān)對象的關(guān)系，它使枯燥無味的課堂教學(xué)走向生動活潑的“動態(tài)教學(xué)”，真正向創(chuàng)新型教育教學(xué)發(fā)展。作為高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該如何合理、恰當(dāng)?shù)氖褂谩昂萎嫲遢o助教學(xué)呢？在此，本人就幾年來的對幾何畫板輔助教學(xué)的探索談?wù)勛约旱捏w會。

一、幾何畫板在教學(xué)中的作用

利用幾何畫板把計算機引入高中數(shù)學(xué)教學(xué)課堂，使高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)和學(xué)生的學(xué)習(xí)得到優(yōu)化，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣得到提高，教學(xué)效果明顯提高。對于在新課程改革下，利用幾何畫板進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，通過探索與實踐，主要得到以下幾點體會：

1.調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

在教學(xué)中運用幾何畫板畫出圖形，按照老師提出的問題，拖動著點、線、面，測算著角、線段、面積，還有動畫、移動、隱藏、變換等，有時還可以互相討論并提出自己的猜想和發(fā)現(xiàn)，有時為自己的發(fā)現(xiàn)而大聲疾呼，有時為一個問題而爭論得面紅耳赤，教室里可謂是生機盎然。這樣的課堂才是“活”的課堂。在數(shù)學(xué)課堂中合理應(yīng)用幾何畫板，改變學(xué)生學(xué)習(xí)的方式，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使得學(xué)生由“要我學(xué)”變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”。

2.由靜到動，揭示幾何精髓

幾何是在運動中把握不變規(guī)律的科學(xué)，其精髓就是在不斷變化的圖形中，研究不變的幾何規(guī)律。設(shè)想一下，我們能夠在黑板上畫出經(jīng)過兩點的所有的圓嗎？我們能夠在黑板上讓一個點在橢圓上任意運動，并能看出這個點到兩定點（橢圓的焦點）的距離之和是個固定的常數(shù)嗎？只要一涉及運動，傳統(tǒng)的教具就黯然失色。而用幾何畫板展現(xiàn)動態(tài)幾何，打破了傳統(tǒng)尺規(guī)的教學(xué)方法，為幾何學(xué)的教改及創(chuàng)新教學(xué)模式注入了無限的活力。

3.把“數(shù)學(xué)實驗”引入數(shù)學(xué)

有了幾何畫板，就為老師和學(xué)生提供了演示和學(xué)生動手做實驗的可能性，傳統(tǒng)教學(xué)中學(xué)生一般是從老師那里被動地接受事實，而幾何畫板給學(xué)生提供了更多的動手機會，學(xué)生以研究者的身份學(xué)習(xí)幾何，突出了學(xué)生的主體地位，使學(xué)生由“聽數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)為“做數(shù)學(xué)”，從被動地學(xué)習(xí)變?yōu)橹鲃拥匕l(fā)現(xiàn)探索式學(xué)習(xí)。

4.改變課堂教學(xué)模式，提高教學(xué)效率，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)者與周圍環(huán)境的交互作用，對于學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解起著關(guān)鍵的作用，利用幾何畫板在變動的情況下，可以保持不變的數(shù)學(xué)關(guān)系，為學(xué)生創(chuàng)造了一種以學(xué)生為中心，使學(xué)生自主學(xué)習(xí)和協(xié)作學(xué)習(xí)的環(huán)境。使學(xué)生真正成為了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的主體，而教師卻成為了學(xué)習(xí)活動的設(shè)計者和組織者，真正在課堂教學(xué)中起到主導(dǎo)作用。

二、幾何畫板在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1.幾何畫板在高中代數(shù)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)代數(shù)中最基本、最重要的部分，它的概念和思維方式滲透在整個高中數(shù)學(xué)的各個環(huán)節(jié)，而且函數(shù)本身就是用來反映現(xiàn)實世界里的一種以動態(tài)形式存在的數(shù)量之間的關(guān)系。函數(shù)有三種重要的表示方式：解析式、表格和圖像。在研究函數(shù)的一些重要的性質(zhì)時，常常通過數(shù)形結(jié)合來解決一些數(shù)學(xué)問題。以前在傳統(tǒng)教學(xué)中，為了解決這些數(shù)學(xué)問題時，我們往往徒手作圖，但徒手作圖并不是很精確，而且速度較慢；而應(yīng)用幾何畫板，函數(shù)的精確圖像可以快速、精確、直觀的顯示出來，這樣可以大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

(1)可直接繪制函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)以及函數(shù)的切線，對研究函數(shù)的性質(zhì)有指導(dǎo)性的作用。

(2)簡潔、準(zhǔn)確地實現(xiàn)函數(shù)圖像的作圖過程。

如：《指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1)的圖像和性質(zhì)》一節(jié)的教學(xué)中，利用幾何畫板進(jìn)行列表、描點、繪圖，得到函數(shù)圖像的過程清晰、準(zhǔn)確。

(3)能動態(tài)演示函數(shù)圖像的變化，形象直觀地理解函數(shù)解析式中參數(shù)的意義。

利用幾何畫板制圖，可以隨時調(diào)整各種參數(shù)，使圖像在不同的參數(shù)下改變以便于比較。通過控制變量的變化，使學(xué)生更好地理解問題中各個變量的關(guān)系以及意義。而且?guī)熒g還可以很好的“協(xié)作”，允許學(xué)生對一切想探試的值進(jìn)行探試，來加深對這一問題的認(rèn)識。例如在講授函數(shù)y＝Asin(ωx+φ)的圖像時，要用幾個課時的時間分別對A、ω、φ的不同取值做出圖像，然后再“觀察”總結(jié)，沒有動態(tài)的演示，沒有更多的比較、更多的探索?，F(xiàn)在用幾何畫板展示“y=Asin(ωx+φ)的圖像”，讓學(xué)生分別拖動控制按鈕A、ω、φ，就可以真正觀察到函數(shù)圖像生成的變化過程及結(jié)果（如圖1）。

圖1

(4)能便于比較多個函數(shù)之間的圖像關(guān)系。

要研究函數(shù)的性質(zhì)，我們通常要在同一個平面直角坐標(biāo)系中，根據(jù)函數(shù)的解析式作出一個或多個函數(shù)的圖像，通過函數(shù)圖像的比較對學(xué)生進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)。例如：在冪函數(shù)的教學(xué)中，要求作出函數(shù)y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，的圖像，并進(jìn)行比較，顯然如果用手工作圖的話，不但耗費大量時間，更加無法保證精確性，像幾個函數(shù)圖像的公共點(1,1)就無法精確的呈現(xiàn)在學(xué)生面前，進(jìn)而對函數(shù)性質(zhì)的把握也就無法保證了。但是，利用幾何畫板我們就可以輕松解決上述問題，不但圖像可以精確到點，更可節(jié)省大量時間來進(jìn)行函數(shù)性質(zhì)的研究（如圖2）。

圖2

(5)動態(tài)地演示函數(shù)中的對稱關(guān)系。

在講解三角函數(shù)的中心對稱與軸對稱時，利用幾何畫板的功能可以制作旋轉(zhuǎn)動畫，動態(tài)地演示函數(shù)的對稱關(guān)系。特別是正切函數(shù)的對稱問題中，學(xué)生對對稱點比較好發(fā)現(xiàn)和理解，往往是對對稱中心掌握得不很理想。利用幾何畫板制作旋轉(zhuǎn)動畫（如圖3）就可以欣賞正切函數(shù)圖像旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合的動態(tài)過程。

圖3

幾何畫板除了在函數(shù)教學(xué)方面的應(yīng)用以外，在高中代數(shù)的其他教學(xué)方面也有很多用途。如在解決方程和不等式的解的情況、研究遞推公式中an+1和an間的關(guān)系等等。

2.幾何畫板在高中立體幾何中的應(yīng)用(可考慮用立體幾何畫板來替代)

立體幾何是以公理為基礎(chǔ)的，根據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究三維空間圖形的性質(zhì)。在教學(xué)過程中我們通常是在一個平面中作出一個三維空間的圖形，而由于多數(shù)學(xué)生缺乏豐富的空間想象能力，且依賴于平面圖形的直觀感，從而這部分學(xué)生往往把平面中的三維空間圖形直觀的看成二維的平面圖形，但二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，因此在解決三維空間圖形問題時往往產(chǎn)生嚴(yán)重的偏差。為了引導(dǎo)學(xué)生走出這個誤區(qū)，在以往的教學(xué)中，我們通常拿實物，對學(xué)生進(jìn)行講解，并逐步引導(dǎo)學(xué)生走近平面中的三維空間圖形，逐步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，速度較慢。而利用幾何畫板通過拖動一些點使平面中的三維空間圖形運動起來，從不同的角度把三維空間圖形中各個元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系生動的展現(xiàn)在學(xué)生的面前，從而把學(xué)生的直觀認(rèn)識和抽象認(rèn)識巧妙的聯(lián)系起來，這樣更能幫助學(xué)生理解和接受在平面中的三維空間圖形，更能培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。這極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，也使學(xué)生對幾何的“動”的特點有了深刻的、具體的理解，為以后用運動的觀點思考、研究幾何問題打下基礎(chǔ)。

3.幾何畫板在高中平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何的實質(zhì)是利用代數(shù)的方法來研究平面幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。

(1)軌跡問題：求軌跡的基本思路和基本方法是：①根據(jù)已知條件，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②在軌跡上任取一點，且設(shè)點的坐標(biāo)；③列出相關(guān)的恒等式，并化簡恒等式；④得到軌跡的方程。

通過建立點的軌跡方程，把所研究的平面曲線轉(zhuǎn)化為研究數(shù)的問題，再通過解決數(shù)的問題來解決平面曲線的問題，但是曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不是很能理解，但通過幾何畫板利用點的運動把幾何圖形生動的展現(xiàn)在學(xué)生面前，從而使學(xué)生直觀看到的點的變化，也可以容易決定如何建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系。

(2)線性規(guī)劃中，通過目標(biāo)函數(shù)圖象的動態(tài)運動能展現(xiàn)問題的本質(zhì)。特別借助于網(wǎng)格可以更輕松地解決實際應(yīng)用中的整點問題。

(3)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。如：在研究直線l:y=x+b和半圓的交點的個數(shù)情況時（如圖4）。直線l是指在b的取值不同時的一組平行直線，可以利用“幾何畫板”在y軸上任取一點A，且過點作出斜率為l的直線l，通過拖運點A，就能得到一組動態(tài)的直線，同時使學(xué)生直觀的看到直線l與半圓的交點的變化情況，較容易得出結(jié)論。能進(jìn)一步的培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合來解決解析幾何問題的能力。

圖4

三、關(guān)于“幾何畫板”的一些思考

1.在課件制作過程中一定要注意不能用計算機代替教師的工作,也不能放棄粉筆和黑板；計算機只能起輔助教學(xué)的功效。教師生動的講授、師生相互間的交流、學(xué)生的練習(xí),是教學(xué)過程中必不可少的環(huán)節(jié)。教師必須處理好計算機輔助的含義,才能做好課件、發(fā)揮課件的真正作用,完成教學(xué)任務(wù)。

2.關(guān)于幾何畫板課件的制作，不是所有的課件都要制作，一些基本的素材可以收集為己用，但要結(jié)合學(xué)生實際，不要為了課件而課件。教學(xué)過程中運用幾何畫板時，教師必須準(zhǔn)確把握幾何關(guān)系。所以，一個教師要想使用幾何畫板作為教學(xué)輔助工具上好數(shù)學(xué)課,必須認(rèn)真?zhèn)湔n,精心編排自己的教學(xué)課件。一個課件的演示在課堂也許只要幾分鐘，課外卻要有幾個小時,甚至更多時間的思考和制作,這就需要教師在教學(xué)設(shè)計方面付出更多的時間和精力,才能收到良好的教學(xué)效果。

3.鑒于幾何畫板的動態(tài)和形象生動等特點,可以充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,變學(xué)生的“要我學(xué)”為“我要學(xué)”。如果有條件，可以對學(xué)生進(jìn)行培訓(xùn)，讓學(xué)生們掌握幾何畫板，并在課堂上使學(xué)生們直接參與到課堂教學(xué)活動中，在動手操作中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、鉆研數(shù)學(xué)。這恰好符合新課標(biāo)的教學(xué)理念，從學(xué)生的最近思維點入手組織教學(xué)活動，教學(xué)行為更要具有針對性。

4.教學(xué)過程要注重“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，而這種由問題引入進(jìn)而實驗探究的教學(xué)模式下，不再是直接由教師給出結(jié)論，而是由師生共同進(jìn)行問題探究、觀察現(xiàn)象、度量數(shù)據(jù)、分析統(tǒng)計、歸納總結(jié)、猜想驗證、得到結(jié)論，形成“猜想”→“演示”→“證明”→“探究”的教學(xué)模式，課堂上學(xué)生自始至終保持著濃厚的學(xué)習(xí)（研究）興趣，不再把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)看成負(fù)擔(dān)，增強了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，享受著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，學(xué)生動手操作，使實踐能力、觀察能力、歸納能力等都得到了很好的鍛煉，教學(xué)效果也比較好。

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2010-01-29

劉虹，本科，中教一級。