包丙寅

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010010）

實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)性證明

包丙寅

（內(nèi)蒙古師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 內(nèi)蒙古 呼和浩特 010010）

實(shí)數(shù)基本定理的內(nèi)容及其等價(jià)性證明是數(shù)學(xué)分析課程中的難點(diǎn)和重點(diǎn).本文全方面的給出了確界原理、單調(diào)有界原理、區(qū)間套定理、有限覆蓋定理、致密性定理、柯西收斂原理這六個(gè)實(shí)數(shù)基本定理的等價(jià)性證明.

確界原理；單調(diào)有界原理；區(qū)間套定理；有限覆蓋定理；致密性定理；柯西收斂原理；等價(jià)性

實(shí)數(shù)基本定理的內(nèi)容：

（1）（確界定理）任何非空集E奐R，若它有上界，則必有上確界s u p E∈R；等價(jià)地若有下界，必有下確界.

（2）（單調(diào)有界原理）任何單調(diào)遞增、有上界的序列{xn}奐 R，必有極限；等價(jià)地，單調(diào)遞減、有下界也必有極限.

（3）（柯西收斂原理）序列{xn}奐R收斂的充要條件是：坌ε＞0，堝N＞0，當(dāng)m,n＞N時(shí)，有|xn-xm|＜ε.

（4）（致密性定理）有界序列必有收斂的子序列.

（5）（區(qū)間套定理）任何閉區(qū)間套，必存在唯一的公共點(diǎn).即：若an↗，bn↘，an≤bn，bn-an→0（當(dāng)n→∞時(shí)），則{[an,bn]}成為閉區(qū)間套，這時(shí)必存在唯一的ξ∈R，使得an≤ξ≤bn，（坌n∈R）.

（6）（有限覆蓋定理）閉區(qū)間上的任一開(kāi)覆蓋，必存在有限開(kāi)覆蓋.即:設(shè){△}是一個(gè)開(kāi)區(qū)間，若坌x∈[a,b]，堝△x∈{△}，使得x∈△x，則稱(chēng){△}為閉區(qū)間[a,b]的一個(gè)開(kāi)覆蓋.定理指出，[a,b]的任一開(kāi)覆蓋{△}中，必存在有限子集{△1,△2,…,△r}奐{△}，{△1,△2,…,△r}仍為[a,b]的一個(gè)開(kāi)覆蓋.

1 利用區(qū)間套定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理

1.1 利用區(qū)間套定理證明有限覆蓋定理

證[1]：假設(shè)某一閉區(qū)間[a,b]的某個(gè)開(kāi)覆蓋{△}無(wú)有限子覆蓋，將[a,b]二等分，則至少有一“半?yún)^(qū)間”，它不能用{△}的有限子集覆蓋，將此半?yún)^(qū)間記為[a1,b1]（如果兩個(gè)半?yún)^(qū)間都如此，可任選其中的一個(gè)）.然后將[a1,b1]再二等分，重復(fù)上述步驟，無(wú)限進(jìn)行下去，便得一區(qū)間套{[an,bn]}：an↗，bn↘，bn-an=（b－a）→0（當(dāng)n→∞時(shí)）,每個(gè)[an,bn]都不能用{△}的有限個(gè)覆蓋.利用區(qū)間套定理，可知存在一點(diǎn)ξ，為[an,bn]的唯一公共點(diǎn).則ξ點(diǎn)處產(chǎn)生矛盾，因?yàn)橐环矫姒巍蔥a,b]，所以存在一開(kāi)區(qū)間△1=（α,β）∈{△}使得α﹤ξ﹤β，但由于,所以n充分大時(shí)有a﹤an≤ξ≤bn﹤β，這表明[an,bn]已被△1=（α,β）∈{△}所覆蓋.與[an,bn]的本性矛盾.

1.2 利用區(qū)間套定理證明致密性定理

證[11]：設(shè){yn}為有界數(shù)列，即堝a，b使a≤yn≤b.等分區(qū)間[a,b]為兩個(gè)區(qū)間，則至少有一個(gè)區(qū)間含有{yn}中的無(wú)窮個(gè)數(shù).把這一區(qū)間記為[a1,b1]，如果兩個(gè)區(qū)間都含有無(wú)數(shù)個(gè)yn，則任取其一作為[a1,b1].然后將[a1,b1]再二等分，重復(fù)上述步驟，無(wú)限進(jìn)行下去，便得一區(qū)間套a）→0（當(dāng)n→∞時(shí)）,利用區(qū)間套定理，可知存在唯一一點(diǎn)ξ，為[an,bn]的唯一公共點(diǎn)使an→ξ，bn→ξ，且ξ∈[ak,bk]，（k=1，2，…）.每一[ak,bk]中均含有{yn}中的無(wú)窮個(gè)數(shù).在[a1,b1]中任取{yn}中的一項(xiàng)記為yn1，即{yn}的第n1項(xiàng).

因?yàn)閇a2,b2]也含有無(wú)窮個(gè)yn，則它必含有yn1以后的無(wú)窮多個(gè)數(shù),在這些數(shù)中任取其一記為yn2,n2﹥n1,繼續(xù)在每一個(gè)[ak,bk]中都這樣取一個(gè)數(shù)ynk,即得{yn}的一個(gè)子列{ynk},其中n1﹤n2﹤…且ak≤ynk≤bk.因?yàn)閍k→ξ（當(dāng)k→∞時(shí)）,bk→ξ（當(dāng)k→∞時(shí)）,所以ynk→ξ（當(dāng)k→∞時(shí)）.

1.3 用區(qū)間套定理證明確界定理

證[1]：設(shè)M為集合E奐R的上界（即對(duì)任意x∈E有x≤M），來(lái)證明堝ξ=s u p E∈R.若E有最大值，則最大值即為上確界.現(xiàn)設(shè)E無(wú)最大值.任取一x0∈E，將[x0,M]二等分，若右半?yún)^(qū)間含有E中的點(diǎn)，則記右半?yún)^(qū)間為[a1,b1],否則就記左半?yún)^(qū)間為[a1,b1].然后將[a1,b1]再二等分，用同樣的方法選記[a2,b2]，如此無(wú)限下去，我們便得一區(qū)間套{[an,bn]}：an↗，bn↘，bn-an=（M－x0）→0（當(dāng)n→∞時(shí)）,利用區(qū)間套定理，可知存在一公共點(diǎn)ξ∈[an,bn]，ξ正是E的上確界.

1.4 利用區(qū)間套定理證明單調(diào)有界原理

證[1]：設(shè){xn}是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.b是它的一個(gè)上界，令a=x-1，二等分[a,b]其中必有一區(qū)間含有{xn}中的無(wú)窮多項(xiàng)，記其為[a1,b1].然后將[a1,b1]再二等分，用同樣的方法選記[a2,b2]，如此無(wú)限下去，我們便得一區(qū)間套{[an,bn]},滿足[an,bn]含{xn}中的無(wú)窮多項(xiàng).由閉區(qū)間套定理可得，堝唯一的r∈和{bn}的極限都是r.則對(duì)坌ε﹥0堝n，坌n﹥N,有

r-ε﹤a≤b﹤r+ε.取n﹥N，[a,b]中含{xn}中的無(wú)窮多項(xiàng)，則堝M，使xn∈[a,b].當(dāng)m﹥M時(shí)，有xm∈[a,b].如果不然，堝m﹥M，有b﹤xm，則在[a,b]中最多含{xn}中的前m項(xiàng)，與[a,b]的構(gòu)造矛盾.從而當(dāng)m﹥M時(shí)，有r-ε﹤a≤x≤b﹤r+ε,即|x-r|﹤ε所以{xn}，{xm}的極限為r，即{xn}的極限為r.

1.5 利用區(qū)間套定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證[3]：充分性.設(shè){xn}為基本數(shù)列，因此它有界，從而有常數(shù)a1，b1滿足條件，a1≤xn≤b1，n∈N+，將[a1,b1]三等分，令C1=得到三個(gè)長(zhǎng)度相同的子區(qū)間[a1,c1]，[c1,c2]，[c2,b1]，分別記為J1，J2，J3，據(jù)它們?cè)趯?shí)數(shù)軸上的左，中，右位置和基本數(shù)列的定義即可發(fā)現(xiàn)：在左邊的J1和右邊的J3中，至少有一個(gè)子區(qū)間只含有數(shù)列{xn}中的有限項(xiàng).這從幾何上看是很直觀的，若在J1和J3中都有數(shù)列中的無(wú)窮多項(xiàng)，則可以在J1中取xn，在J3中取xm使得n,m都可以任意大，同時(shí)滿足不等式≥（b-a）這與{xn}為基本數(shù)列的條件矛盾，所以可以從[a1,b1]去掉只含有數(shù)列{xn}中有限項(xiàng)的子區(qū)間J1和J3（若兩個(gè)子區(qū)間都是如此則任取其一）將得到的區(qū)間記為[a2,b2]，復(fù)上述步驟，無(wú)限進(jìn)行下去，便得區(qū)間套{ [ak,bk]}且滿足1'閉區(qū)間套中的每個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度是前一個(gè)區(qū)間長(zhǎng)度的,2'每一個(gè)[ak,bk]中含有數(shù)列{xn}中從某項(xiàng)起的所有項(xiàng).性質(zhì)1'保證存在ξ是{ak}，{bk}從兩側(cè)分別單調(diào)的收斂與ξ.現(xiàn)只需證明ξ即基本數(shù)列{xn}的極限.坌ε﹥0，堝N∈N，使aN，bN進(jìn)入點(diǎn)ξ的ε鄰域，即有[aN,bN]奐（ξ-ε,ξ+ε）因?yàn)閇aN,bN]具有性質(zhì)2'所以堝N1當(dāng)n﹥N1時(shí)成立|xn-ξ|﹤ε.

必要性.設(shè)an→a（當(dāng)n→∞時(shí)），則坌ε﹥0，堝N∈N，當(dāng)k﹥N時(shí)，有

|xn-a|﹤，從而當(dāng)n，m﹥N時(shí)，有

2 利用有限覆蓋定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理

2.1 利用有限覆蓋定理證明確界定理

證[1]：設(shè)E不是空集，且E奐R，任意x∈E有x≤M.任取一點(diǎn)x0∈E，考慮閉區(qū)間[x0,M]，假若E無(wú)上確界﹙最小上界﹚，則對(duì)任意x∈[x0,M)：

（1）當(dāng)x為E的上界時(shí),必有更小的上界x1﹤x，因而x有一個(gè)開(kāi)領(lǐng)域△x，其中都為E的上界；

（2）當(dāng)x不是E的上界時(shí),自然有E中的點(diǎn)x2﹥x，于是x有開(kāi)領(lǐng)域△x，其中每個(gè)點(diǎn)都不是E的上界.

（3）[x0,M]上每點(diǎn)都找出一個(gè)領(lǐng)域△x，它要么屬于第一類(lèi)（每點(diǎn)為上界），要么屬于第二類(lèi)（每點(diǎn)都不是上界）.這些領(lǐng)域{△x：x∈[x0,M]，組成閉區(qū)間[x0,M]的一個(gè)開(kāi)覆蓋，由有限覆蓋定理，必存在有限子覆蓋{△1，…，△n｝.注意，M所在的開(kāi)區(qū)間，因?yàn)榈谝活?lèi)的，相鄰接的開(kāi)區(qū)間有公共點(diǎn)，也應(yīng)為第一類(lèi)的，經(jīng)過(guò)有限次鄰接，可知x0所在的開(kāi)區(qū)間也是第一類(lèi)的.這便得出矛盾.

2.2 利用有限覆蓋定理證明區(qū)間套定理

證：設(shè){[an,bn]}是滿足區(qū)間套定理兩個(gè)條件的閉區(qū)間列，證

先證明這一列閉區(qū)間開(kāi)交不等于空集.用反證法，設(shè)[an,bn]為空集，則對(duì)任意x∈[a1,b1]，x埸，所以存在nx，使得x埸，當(dāng)n≥nx時(shí)x埸[an,bn]，所以存在δx﹥0，當(dāng)n≥nx時(shí)（x-δx,x+δx）∩[an,bn]為空集，令G=｛（x-δx,x+δx）x∈[a1,b1]｝則G覆蓋[a1,b1]，所以存在G中有限個(gè)開(kāi)區(qū)間（x-δxi,x+δxi）覆蓋[a1,b1]對(duì)每一個(gè)i（i=1，…，k）存在nxi，當(dāng)n≥nxi時(shí)，（xi-δxi,xi+δxi）∩[an,bn]為空集，令N=m a x{nxi|i=1，…，k}則 n﹥N時(shí)為空集，這與[a1,b1

（xi-δxi,xi+δxi）矛盾，所以 不為空集，因?yàn)閎n-an→0（當(dāng)n→∞時(shí)），所以只有一個(gè)元素，所以

2.3 利用有限覆蓋定理證明致密性定理

證[4]：{xn}為有界數(shù)列，a是它的一個(gè)下界，b是它的一個(gè)上界，于是下列兩種情況之一成立：

（1）存在α∈[a,b]，使α在任何鄰域中都有{xn}的無(wú)窮多項(xiàng)；

（2）對(duì)任何x∈[a,b]，都存在x的一個(gè)鄰域（x-δx,x+δx），使其中只含{xn}的有限多項(xiàng).

如果（2）成立，則開(kāi)區(qū)間族{（x-δx,x+δx）x∈[a,b]}構(gòu)成[a,b]的一個(gè)開(kāi)覆蓋.所以其中必有有限子覆蓋.由于每個(gè)開(kāi)區(qū)間中都只含{xn}的有限多項(xiàng)，故有限個(gè)開(kāi)區(qū)間之并也只含{xn}的有限多項(xiàng).但另一方面又應(yīng)該包含{xn}的所有項(xiàng)，矛盾.則（2）不成立，即必是（1）成立.

當(dāng)然xnk→α（當(dāng)k→∞時(shí)）即{xnk}為{xn}的收斂子列.

2.4 利用有限覆蓋定理證明單調(diào)有界原理

證：用反證法.若不然，多任意x∈[a,b]，x都不是{an}的極限，則對(duì)任意x∈[a,b]，堝δx使胰(x,δx)內(nèi)至多含有{an}的有限項(xiàng)，作開(kāi)區(qū)間集，然后由有限覆蓋定理推出矛盾.

2.5 利用有限覆蓋定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證[8]：設(shè)點(diǎn)列{xn}為柯西列，因此它有界，證若{xn}有子列收斂則{xn}收斂.設(shè){xnk}奐{xn}，xnk→x0（當(dāng)k→∞時(shí)）存在，即ε﹥0堝N﹥0當(dāng)k﹥N時(shí)成立，|xnk﹤x0|<ε由{xn}為柯西列，所以對(duì)上面的ε﹥0堝N1當(dāng)m,n﹥N1時(shí)成立|xn-xm|﹤ε，所以k充分大時(shí)有|xn-x0|≤|xnk-xn|+|xnk-x0|﹤2 ε.下面證明{xn}有收斂子列，不妨設(shè)當(dāng)n≠m，xn≠xm否則{xn}有收斂子列是顯然的，由于{xn}有界，所以堝M﹥0{xn}奐[-M,M]，若{xn}沒(méi)有收斂子列，x∈[-M,M]，堝εx﹥0使Ix=﹙x-εx，x+εx﹚至多包含{xn}中的一個(gè)點(diǎn)，而[-M,M]由有限覆蓋定理知堝x1，…，xN∈ [-M,M]滿足，所以{xn}中只有有限個(gè)元素，矛盾.

3 利用單調(diào)有界定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理

3.1 利用單調(diào)有界定理證明區(qū)間套定理

證[5]：設(shè){[an,bn]}為一區(qū)間套.由區(qū)間套定義，an↗，并以bn為其上界，因而存在an→ξ（當(dāng)n→∞時(shí)），且an≤ξ，n=1，2，…同理，bn↘，則數(shù)列{bn}的極限為數(shù)列{bn-an}的極限與數(shù)列{an}的極限和，所以bn→ξ≤bn（當(dāng)n→∞時(shí)），n=1，2，….

這樣就得ξ∈[an,bn]，n=1，2，….

最后證明上述ξ是唯一的.倘若另有一數(shù)ξ'∈[an,bn]，n=1，2，…，則由|ξ-ξ'|≤bn-an|→0（當(dāng)n→∞時(shí)）推知ξ=ξ'.

3.2 利用單調(diào)有界定理證明確界原理

證[2]：設(shè)數(shù)集X={x}有上界M且X非空，則堝x1∈X，令記M為M1，有x1≤M1若x1=M1，則M1為上確界，若x1﹤M1則記a=M1-x1現(xiàn)用等分區(qū)間法來(lái)構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，令y1=（M1+x1）

分兩種情況1'y1為X的上界則記它為M2若y1∈X則y1即X的上確界，否則y1埸X記x2=x12'y1不為X的上界，則堝x2∈X使x2﹥y1若x2是X的上界，則它就是X的上確界，否則記M2=M1,所以或定理得證或x1≤x2﹤M2≤M1且x2∈M2的a鄰域﹙因?yàn)镸2-x2≤（M1-x2）=a以x2，M2代替x1，M1重復(fù)上述步驟得x3，M3不斷重復(fù)得或者到某一部定理得證，否則構(gòu)造的兩個(gè)數(shù)列{xn}，{Mn}他們有x1≤x2≤…≤xn≤…﹤…﹤Mn≤…M2≤M1其中xn∈X,Mn為X的上界且xn∈Mn的鄰域，所以{Mn}是一廣義單調(diào)下降且有下界數(shù)列.由單調(diào)有界原理知它有極限M0.最后證明M0是X的上確界.先證M0是X的上界,因?yàn)閤∈X都有x≤Mn（當(dāng)n→∞時(shí)）取極限得x≤M0即M0是X的上界.再證M0是X的上界中的最小的ε﹥0堝N1,當(dāng)n﹥N1時(shí)有{Mn}全屬于M0的ε鄰域堝n0使n0﹥N1且（這一不等式成立是因?yàn)閍是一無(wú)窮小量）所以xn即屬于Mn0的鄰域，當(dāng)然屬于Mno的鄰域，即xn0﹥M0-ε（所以M0是X的上確界.

3.3 利用單調(diào)有界定理證明有限覆蓋定理

證：用反證法.若[a,b]沒(méi)有有限覆蓋，對(duì)[a,b]采用二等分的方法，構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列{an},{bn}，其中[an,bn]沒(méi)有有限覆蓋，且{an},{bn}單調(diào)，得出矛盾.

3.4 利用單調(diào)有界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證：首先證明有界數(shù)列{an}有單調(diào)子數(shù)列.an有性質(zhì)M，若對(duì)每個(gè)i﹥n，都有an≥ai，也就是說(shuō)，an是集合｛ai｜i﹥n｝的最大數(shù)。分兩種情況討論：﹙a﹚數(shù)列{an}有無(wú)窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M，將他們按下標(biāo)的順序排列，記為an1，…ank,…滿足n1﹤…﹤nk﹤…,則我們就已經(jīng)得到一個(gè)單調(diào)下降的子列{ank}.﹙b﹚數(shù)列{an}只有有窮多項(xiàng)具有性質(zhì)M，則堝N,當(dāng)n﹥N時(shí)，有an不具有性質(zhì)M，即堝i﹥n，有an﹤ai從中任取一項(xiàng)記為an1，因?yàn)樗痪哂行再|(zhì)M，所以堝n2﹥n1，使an1﹤an2﹤…，如此繼續(xù)下去，我們得到一子列{ank}單調(diào)上升，所以有界數(shù)列{an}有單調(diào)子數(shù)列，由單調(diào)有界定理，可得{ank}存在極限.

4 利用確界原理證明其他實(shí)數(shù)基本定理

4.1 利用確界原理證明單調(diào)有界定理

證[5]：不妨設(shè){an}為有上界的遞增數(shù)列.由確界原理，數(shù)列{an}有上確界，記a=s u p{an}.下面證明a就是{an}的極限.事實(shí)上，任給ε﹥0，按上確界的定義，存在數(shù)列{an}中某一項(xiàng)aN，使得a-ε﹤aN.又由{an}的遞增性，當(dāng)n≥N時(shí)有a-ε﹤aN≤an.另一方面，由于a是{an}的一個(gè)上界，故對(duì)一切an都有an≤a﹤a＋ε.所以當(dāng)n≥N時(shí)有a-ε﹤an﹤a＋ε,這就證明了結(jié)論.同理可證有下界的遞減數(shù)列必有極限,且其極限即為它的下確界.

4.2 利用確界原理證明區(qū)間套定理

證明：由定理的條件立即知道an↗且有上界，bn↘且有下界，由確界原理知數(shù)列{an}的極限存在，且極限等于{an}的上確界.通理{bn}的極限存在，且極限等于{bn}的下確界.亦即對(duì)任何正整數(shù)k，有

由定理的另一個(gè)條件：bn-an→0（當(dāng)n→∞時(shí)）,并且由于{an}及{bn}的極限都存在，則有數(shù)列{bn-an}的極限等于數(shù)列{bn}的極限與數(shù)列{an}的極限差，等于0.

從而證明了兩個(gè)極限相等，且設(shè)ξ是它們的同一極限.于是定理前一部分的結(jié)果即已證得.剩下要證的是ξ是所有區(qū)間的唯一公共點(diǎn).由﹙1﹚的兩個(gè)不等式，即有

也就是ξ是所有區(qū)間的一個(gè)公共點(diǎn).現(xiàn)在要證明ξ是唯一公共點(diǎn).設(shè)除點(diǎn)ξ外，所設(shè)區(qū)間列還有另一個(gè)公共點(diǎn)ξ'，且ξ≠ξ'.由于an≤ξ，ξ'≤bn﹙n=1，2，…﹚故有

由數(shù)列極限的性質(zhì)知，數(shù)列{bn-an}的極限為0，故有

4.3 利用確界定理證明有限覆蓋定理

證[7]：令D=｛t:a≤t﹤b,[t,b]能被E中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，若我們證明a∈D則定理就得以證明.首先，證明D不是空集.因?yàn)閯闧a,b],所以b必屬于E中某個(gè)區(qū)間，記為﹙α, β﹚，任取t0滿足a﹤t0﹤b,則[t0,b]奐﹙α,β﹚，這表示[t0,b]可以被E中的一個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋.從而t0,∈D，這就證明了D不是空集.因?yàn)镈總是包含在[a,b]中的，所以D是有界集，所以由確界存在定理知D有下確界，η=i n f D，因?yàn)閍是D的下界，所以a≤η.第二部，證明a＝η，實(shí)際上若η﹥a由η∈[a,b]奐所以η必屬于E中某個(gè)區(qū)間，記為﹙α',β'﹚從而有α'﹤ η﹤β'.由η是D的下確界，所以[η,β']中必存在某個(gè)t'∈D，現(xiàn)在，在﹙α',η﹚中任取一個(gè)t0∈[a，b﹚﹙η﹥a，這樣的t0總是存在的﹚由[t0,t']奐﹙α',β'﹚∈E[t'，b]可以被E中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋，所以t0∈D,所以t0≥η=i n f D這和t0∈﹙α',η﹚矛盾，所以a=i n f D最后證a∈D.因?yàn)閍∈[a,b知E中存在開(kāi)區(qū)間，記﹙α",β"﹚，使α"﹤a﹤β",因?yàn)閍=i n f D,所以在﹙a,β"﹚中必存在t"∈D因?yàn)閇a，t"]奐﹙α",β"﹚，[t"，b]可以被E中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋所以[a,b]=[a，t"]∪[t"，b]可被E中的有限個(gè)開(kāi)區(qū)間覆蓋所以a∈D.

4.4 利用確界定理證明致密性定理

證:設(shè)數(shù)列{xn}是有界數(shù)列.定義數(shù)集A=｛x|{xn}中大于x的點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)｝因?yàn)閧xn}有界所以A有上界且非空.由確界定理可得存在r，使r=s u p A，則ε﹥0有r-ε不是A的上界.所以{xn}中大于r-ε的項(xiàng)有無(wú)窮多個(gè).因?yàn)閞+ε是A的上界，所以{xn}中大于r+ε的項(xiàng)只有有限項(xiàng).所以在﹙r-ε，r+ε﹚中有{xn}的無(wú)窮多項(xiàng)，即ε﹥0，n，堝n﹥N，使xn∈﹙r-ε，r+ε﹚對(duì)ε=1，堝n1，使xn∈﹙r-1，r+1﹚，即|xn-r|﹤1.取ε=，堝n2﹥n1，有|xn-r|﹤，如此繼續(xù)下去，取ε=，堝nk﹥nk-1，有|xn-r|﹤，由此得到{xn}的子數(shù)列{xnk}，{xnk}的極限是r，所以{xn}存在

收斂子列.

4.5 利用確界定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證：設(shè){an}為柯西列，則易證{an}有界，由確界{an}存在定理，設(shè)，則ξ即為an的極限.

5 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明其他實(shí)數(shù)基本定理

5.1 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明區(qū)間套定理

證[3]：設(shè){[an,bn]}是滿足區(qū)間套定理兩個(gè)條件的閉區(qū)間列，容易知道an↗，bn↘，an≤bn﹙n，m=1，2，…﹚所以對(duì)任意n∈N，任意p∈N，有|an+p-an|=an+p-an≤bn-an；且對(duì)ε﹥0，堝N∈N，n﹥N：0≤bn-an≤ε。對(duì)于上述的ε與N，n﹥N，p∈N時(shí)有|an+p-an|﹤ε，由柯西收斂準(zhǔn)則知數(shù)列收斂，記an→ζ﹙當(dāng)n→∞時(shí)﹚則數(shù)列{bn}的極限為數(shù)列｛bn-an｝的極限與數(shù)列{an}的極限和，所以bn→ζ﹙當(dāng)n→∞時(shí)﹚.由an↗，bn↘知ζ∈[an,bn].

最后證明上述ζ是唯一的.倘若另有一數(shù)ζ'∈[an,bn]，n=1，2，…，則由|ζ-ζ'|≤bn-an→0﹙當(dāng)n→∞時(shí)﹚推知ζ=ζ'.

5.2 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明單調(diào)有界定理

證[5]：設(shè){an}為有上界M的遞增數(shù)列.用反正法﹙借助柯西準(zhǔn)則﹚可以證明：若{an}無(wú)極限，則可找到一個(gè)子列{ank}以+∞為其廣義極限，從而與{an}有上界相矛盾.現(xiàn)在來(lái)構(gòu)造這樣的{ank}.

首先，對(duì)于單調(diào)數(shù)列{an}而言，柯西條件可改述為：“ε﹥0，堝N∈N，當(dāng)n﹥N時(shí)，滿足|an-aN|﹤ε”.這是因?yàn)樗瑫r(shí)保證了對(duì)一切n﹥m﹥N，恒有|an-am|≤|an-aN|﹤ε.

由于假設(shè){an}無(wú)極限，故由上述柯西條件的否定陳述，必存在某個(gè)ε0﹥0，對(duì)無(wú)論多大的N，均有某個(gè)n﹥N，使|an-aN|=an-aN≥ε0.依次取

把k個(gè)不等式相加,得到ank-ank-1≥k ε0.由此易知，當(dāng)k﹥時(shí)，可使ank﹥M，矛盾.所以單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

5.3 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理

證[3]：設(shè)S是一個(gè)有上界的集合.取實(shí)數(shù)b1，使對(duì)所有x∈S,都有x﹤b1.取a1∈S并考察區(qū)間[a1,b1]的中點(diǎn)，若是S的上界，則令a2=a1，b2=；若不是S的上界，則令.于是總可得到區(qū)間[a2,b2]，使b2是S的上界.[a2,b2]中有S的點(diǎn)且b2-a2=﹙b1-a1﹚.

再對(duì)閉區(qū)間[a2,b2]進(jìn)行同樣的處理，又可得到閉區(qū)間[a3, b3]奐[a2,b2]，使得b3是S的上界，[a3,b3]中有S的點(diǎn)且b3-a3=﹙b2-a2﹚=﹙b1-m a1﹚.繼續(xù)這個(gè)過(guò)程，可得到一個(gè)閉區(qū)間的序列{[an,bn]}，滿足下列條件：

﹙1﹚[an+1,bn+1]奐[an,bn]，n=1，2，…；

﹙2﹚bn-an=﹙b1-a1﹚，n=1，2，…；

﹙3﹚對(duì)每個(gè)n∈N，bn是S的上界且[an,bn]∩S≠空集，由﹙1﹚和﹙2﹚知，當(dāng)m﹥n時(shí)有|bm-bn|=bm-bn﹤bn-an=﹙b1-a1﹚，可見(jiàn){bn}為柯西列，由柯西收斂原理知{bn}收斂，設(shè){bn}的極限為M.任意x∈S和任意n∈N，均有x≤bn，所以x≤M即M為S的上界.另一方面，對(duì)ε﹥0，由于｛bn-an｝的極限為0，所以有n0使bn0-an0﹤ε，又因?yàn)閎n0≥M,所以，an0﹥bn0-ε≥M-ε，由﹙3﹚知[an0,bn0]中有S的點(diǎn)，這表明M-ε不是S的上界，所以S是M的上確界，所以﹙2﹚成立.

5.4 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明有限覆蓋定理

證：用反證法.若[a,b]沒(méi)有有限覆蓋，對(duì)[a,b]采用二等分方法構(gòu)造數(shù)列{an}和{bn}，[an,bn]沒(méi)有[an,bn]有限覆蓋，{an}和{bn}為柯西列，從而收斂且則ξ∈[a,b]由極限的局部保號(hào)性及[an,bn]的構(gòu)造推出矛盾.

5.5 利用柯西收斂準(zhǔn)則證明致密性定理

證：設(shè)數(shù)集A非空有上界，b1是A的上界，a1不是A的上界，a1﹤b1，用a1，b1的中點(diǎn)(a1+b1)二等分[a1,b1]，若(a1+b1)是A的上界，則取[a2,b2]=[a1(a1+b1)]，如果(a1+b1)不是A的上界，則取[a2,b2]=[(a1+b1)，b1]，用(a1+b1)二等分[a2, b2]，如此繼續(xù)下去的數(shù)列，{an}，{bn}滿足n，an不是A的上界，bn是A的上界且｛bn-an｝的極限為0.下證{an}是柯西列。因?yàn)椋鸼n-an｝的極限為0，即ε﹥0，堝N，當(dāng)n﹥N，有|bn-an|﹤ε.又an≤an+1≤bn+1≤bn，從而正整數(shù)p，|an+p-an|≤|bn-an|﹤ε，所以{an}是柯西列，從而收斂，設(shè){an}的極限為r.最后證r=s u p A。n，an不是A的上界，所以a∈A，使an﹤a.由{an}的極限為r，則ε﹥0，堝N，當(dāng)n﹥N，有r-ε﹤an﹤a﹤r,所以r=s u p A

6 利用致密性定理證明其他實(shí)數(shù)基本定理

6.1 利用致密性定理證明柯西收斂準(zhǔn)則

證[11]：必要性：設(shè)an→a﹙當(dāng)n→∞時(shí)﹚，則ε﹥0，堝N∈N，當(dāng)k﹥N時(shí)，有|xn-a|﹤，從而當(dāng)n，m﹥N時(shí)，有

充分性：首先證明滿足條件的任何數(shù)列必有界.從所設(shè)條件，取ε=1，必有一正整數(shù)N0，當(dāng)n，m﹥N0時(shí)，有|xn-xm|﹤1

特別地，n﹥N0且m=N0+1時(shí)，有|xn-xn0+1|﹤1

所以當(dāng)n﹥N0時(shí)，有|xn|≤|xn-xn0+1|+|xn0+1|≤1+|xn0+1|

這就證明了{(lán)xn}的有界性.由致密性定理，必有收斂子列{xnk}，xnk→a﹙當(dāng)k→∞時(shí)﹚，根據(jù)子列收斂定義，ε﹥0，必有一正整數(shù)K，k﹥K時(shí)，有|xnk-a|﹤ε

取一正整數(shù)k0=m a x﹙K+1，N+1﹚.于是k0﹥K，且nk0≥nk+1≥N+1﹥N.因此，當(dāng)n﹥N時(shí)，由已知條件知|xn-xnk0|﹤ε，所以|xn-a|≤|xn-xnk0|+|xnk0-a|﹤ε+ε=2 ε

xn→a﹙當(dāng)n→∞時(shí)﹚

6.2 利用致密性定理證明單調(diào)有界原理

證[11]：設(shè){xn}是單調(diào)上升有上界的實(shí)數(shù)列.因?yàn)閧xn}有界，由致密性定理可得，堝{xn}的子數(shù)列{xnk}且收斂于r,即ε﹥0，堝K，當(dāng)k﹥K時(shí)，有|xn-r|﹤ε，即r-ε﹤xn﹤r+ε,堝N=nk+1,n﹥N，有xn≥xnk+1﹥r(jià)-ε.因?yàn)閚k→∞，n﹥N，堝nk﹥n，從而xn﹤xnk﹤r+ε，即|xn-r|﹤ε，所以ε﹥0，堝N=nk+1,當(dāng)n﹥nk+1，有|xn-r|﹤ε，所以{xn}的極限是r.

證[8]：設(shè)E=[a,b],｛Oλ｜λ∈Λ｝為一開(kāi)區(qū)間族且(x0)﹥0知，當(dāng)k充分大時(shí)p(xnk)﹤p(x0)和|xnk-x0|﹤p(x0)同時(shí)成立，由p(x)定義知，堝λ∈Λ使﹙x0-p(x0)，x0+p(x0)﹚奐Oλ，由|xnk-x0|﹤p(x0)有：﹙xnk-p(x0)，xnk+p(x0)﹚奐﹙x0-p(x0)，x0+p(x0)﹚，所以p(xnk)≥p(x0)，這與p(xnk)﹤p(x0)矛盾，即x∈[a,b]，堝λ∈Λ使﹙x-c，x+c﹚x∈[a,b]的區(qū)間中僅用有限個(gè)即可覆蓋[a,b]，從而｛Oλ|λ∈Λ｝中僅用有限個(gè)即可覆蓋.

6.4 利用致密性定理證明確界原理

證:A非空有上界則堝a∈A，b∈R使得A∩[a,b]≠覬.將 [a,b]等分為兩個(gè)閉區(qū)間含有A中的點(diǎn)，則將其記為[a1,b1]，否則記埭為[a1,b1].再將[a1,b1]等分為兩個(gè)閉區(qū)間埭，同樣偏右選取含有A中的點(diǎn)的子區(qū)間為[a2,b2]，如此繼續(xù)下去，便得到一閉區(qū)間套{[an,bn]}，且每個(gè)[an,bn]含有A中的點(diǎn)，但右邊沒(méi)有A中的點(diǎn).由{bn}有界，根據(jù)致密性定理得存在{bn}的子數(shù)列{bnk}收斂，記，則β即為A的上確界.事實(shí)上，x∈A，由bn≥x.k∈Z+圯x≤β.l i mk→∞(bnk-ank)=0（區(qū)間套定義）及充分大的k0∈Z+，使得ank0﹥?chǔ)?ε，[ank0,bnk0]中含有A中的點(diǎn)記為x0圯堝x0∈A，使得x0﹥?chǔ)?ε依定義，β為A的上確界.同理可

證A非空有下界的情形.

6.5 利用致密性定理證明區(qū)間套定理

證:由{[an,bn]}是一閉區(qū)間套圯n∈Z+，有a1≤…≤an≤an+1≤bn+1≤bn≤…≤b1圯遞增數(shù)列{an}與遞減數(shù)列{bn}都有界，根據(jù)致密性定理，存在{bn}的子數(shù)列{bnk}收斂，記由{ [an.bn]}是一閉區(qū)間套圯由{ank}及{bnk}的單調(diào)性圯k∈Z+,a∈[ank,bnk].又n∈Z+,堝k∈Z+，使得[ank, bnk]奐[an,bn]圯n∈Z+，有a∈[an,bn].下證a的唯一性.設(shè)n∈ Z+，β∈[an,bn]圯n∈Z+，有0≤|α-β|≤(bn-an)a=β.

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1673-260X（2010）07-0006-06