梁昌洪,陳 曦

(西安電子科技大學(xué)天線與微波技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710071)

0 引言

本文是電磁場(chǎng)理論教學(xué)札記之十二。

電磁波作為最重要的信息傳播媒介之一,無(wú)時(shí)無(wú)刻不與人們的生活緊緊地聯(lián)系在一起:從互聯(lián)網(wǎng)、手機(jī)、電視到汽車(chē)定位裝置,從各國(guó)的國(guó)家信息系統(tǒng)到家庭的藍(lán)牙技術(shù)都涉及電磁波的傳播和信息承載。為了構(gòu)成各種信息系統(tǒng),有時(shí)很希望設(shè)計(jì)出實(shí)際無(wú)方向性的天線,使電磁波在空間能夠平等地對(duì)待每一個(gè)用戶。而另一方面,方向性是天線輻射的最重要特性之一。很多著作和文獻(xiàn)均指出這一點(diǎn),即任何天線都必須具有方向性,而向空間各個(gè)方向上均勻輻射能量的無(wú)方向性天線實(shí)際上是不存在的[1]。

正是這個(gè)矛盾,構(gòu)成了本文的研究目標(biāo):一方面要探索為什么無(wú)方向性不可能存在;另一方面要研究出最小方向性的思路。

1 Maxwell體系不存在各向同性解

首先,本文明確指出Maxwell所構(gòu)成的宏觀電磁理論體系不存在各向同性解。在空間任一點(diǎn)電場(chǎng)采用球坐標(biāo)表示為

且有各向同性解,即采用反證法,為

在頻域中,滿足Helmholtz波動(dòng)方程是

注意到球坐標(biāo)系統(tǒng)中的Laplace算子為

計(jì)及各向同性特性有

現(xiàn)將式(4)進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

而另一項(xiàng)-Eθ/r2sin2θ則包含對(duì)于θ的變化函數(shù)。這個(gè)矛盾反證了Maxwell體系不存在各向同性解。

進(jìn)一步從物理上理解,電磁輻射與兩個(gè)旋度 ×方程密切有關(guān)。旋度概念表明,即使再巨大的龍卷風(fēng)都不是各向同性,而存在著臺(tái)風(fēng)眼,如圖1所示。

從數(shù)學(xué)上理解,蘇步青的《微分幾何》明確指出[2]球面上任何連續(xù)可導(dǎo)的切向矢量場(chǎng)必存在零矢量點(diǎn)。通俗地說(shuō):人的頭發(fā)或牛毛分布一定會(huì)存在“旋”,如圖2所示。

圖1 龍卷風(fēng)中的臺(tái)風(fēng)眼

圖2 人的發(fā)際必存在“旋”

事實(shí)上,文獻(xiàn)[3]早在1984年已經(jīng)對(duì)電磁輻射場(chǎng)的各向異性作了深入的研究。其結(jié)論是:在假定矢量各分量大小與球坐標(biāo)變量θ和φ無(wú)關(guān)的條件下,獲得滿足Maxwell方程解是不可能的。電磁場(chǎng)輻射的各向異性不僅可以由場(chǎng)結(jié)構(gòu)所確定,而且也可由球面上切向矢量場(chǎng)的拓?fù)湫再|(zhì)加以確定。

2 最小方向性天線

這里,我們從兩方面著手研究,即最小方向性天線和最小方向性陣列。

什么是最小方向性天線?這個(gè)問(wèn)題目前尚沒(méi)有明確的結(jié)論。比較務(wù)實(shí)的做法是先考察大家最為熟識(shí)的天線—電偶極子I l,如圖3所示。

圖3 電偶極子 的輻射

電偶極子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為

其對(duì)應(yīng)方向如圖4所示。

圖4 電偶極子 方向圖

確定空間方向性的一般公式是

上式中F(θ,φ)取自天線輻射場(chǎng)振幅:

且|E|m為最強(qiáng)輻射方向的場(chǎng)強(qiáng)振幅,具體對(duì)于電偶極子 ,F(θ,φ)=sinθ,于是有

作為對(duì)偶原理,磁偶極子(即圓環(huán)天線)。完全類(lèi)似,不再贅述。

如前所述,我們沒(méi)有辦法證明電(或磁)偶極子是最小方向性天線。由圖4明顯看出yoz面的方向圖恰為有一零點(diǎn)“旋”,也即表明方向圖的各向異性。

本文可進(jìn)行一個(gè)猜測(cè):十字偶極子的z方向一個(gè)偶極子和y方向另一個(gè)偶極子組成是否可以減小方向性。把極化只放在θ方向即有

其中,F0為歸一化系數(shù),即最大方向振幅為1。畫(huà)出方向圖如圖5所示。

圖5 十字交叉偶極子方向圖

并算出方向性

其結(jié)果為D0=1.5。上述分析中未考慮天線間互耦的影響。

3 最小方向性陣列

最小方向性陣列又是一個(gè)需要深入研究的問(wèn)題。我們給出

其中,FA(θ,φ)表示陣列方向圖,而FD(θ,φ)表示單天線方向圖。當(dāng)然,必須滿足一定條件才能寫(xiě)出式(14)。在研究陣列時(shí)我們暫不考慮單天線方向圖。這又是一個(gè)尚未有明確結(jié)論的課題。為了有簡(jiǎn)單明了的直觀認(rèn)識(shí),我們考慮如圖6所示的平面二維8元圓陣。此時(shí)不考慮單個(gè)天線的方向性函數(shù),圓陣的方向性函數(shù)可簡(jiǎn)化為

其中,φ為參考點(diǎn)與x軸的夾角,R為8元圓陣的半徑,k為波數(shù)。

圖6 二維8元圓陣參考陣面是垂直A點(diǎn)的平面

畫(huà)出kR=2π,1.5π,π和π/2時(shí)的圓陣方向圖如圖7所示,對(duì)應(yīng)的方向性系數(shù)為

圖8表示8元圓陣的方向性函數(shù)與kR的函數(shù)關(guān)系,由圖可知該圓陣的最小方向性為1。

如果我們?cè)倏紤]單個(gè)偶極子天線的方向性函數(shù),則平面二維8元偶極子圓陣的方向性函數(shù)為

圖7 圓陣天線的平面方向圖

圖8 方向性與kR的函數(shù)關(guān)系

對(duì)應(yīng)kR=2π,1.5π,π和π/2時(shí)的8元圓形天線陣的方向性系數(shù)分別為

至此,我們已算出十字交叉陣列的最小方向性為1.5。因而,是否可大膽猜測(cè)天線的最小方向性就是1.5,嚴(yán)格證明尚需要進(jìn)一步思考。天線陣列的方向性與電尺寸相關(guān),電尺寸越小,陣列的方向性趨近于1.0,這倒是比較合理的一個(gè)結(jié)論。

4 結(jié)語(yǔ)

電磁波輻射的最小方向性是一個(gè)理論緊密聯(lián)系實(shí)際的研究課題,很多方面向我們提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn),進(jìn)一步工作正在研究過(guò)程中。

感謝張小苗老師提供的寶貴意見(jiàn)和幫助,謹(jǐn)致謝忱。

[1] 楊儒貴.電磁場(chǎng)與電磁波[M].北京:高等教育出版社,2007

[2] 蘇步青等.微分幾何[M].北京:高等教育出版社,1979

[3] 王爾杰,黃際英.電磁輻射場(chǎng)各向異性的判定[J].西安:西北電訊工程學(xué)院學(xué)報(bào),NO.2,1984.pp:110-113