孫 勇

（六安職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽六安 237158）

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決認(rèn)知研究綜述

孫 勇

（六安職業(yè)技術(shù)學(xué)院,安徽六安 237158）

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決研究是數(shù)學(xué)問題解決研究的中心課題,對(duì)近年來國內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的理論依據(jù)、認(rèn)知過程、影響因素等認(rèn)知方面研究進(jìn)行了綜述。

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題;數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決;研究綜述

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決是數(shù)學(xué)問題解決中的重點(diǎn)和難點(diǎn),也是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要內(nèi)容。國內(nèi)外數(shù)學(xué)教育學(xué)與心理學(xué)學(xué)者針對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決這一課題進(jìn)行了大量研究,取得了豐富的成果。本文試圖對(duì)近年來關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決認(rèn)知研究作一綜述,以期為進(jìn)一步研究數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決提供參考。

1 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的心理學(xué)理論依據(jù)

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的心理學(xué)理論依據(jù)經(jīng)歷了從桑代克的“試誤說”到格式塔心理學(xué)派的“頓悟說”再到認(rèn)知心理學(xué)的過程。

自1922年美國桑代克（E.L.Thorndike）發(fā)表《算術(shù)心理學(xué)》以后,桑代克的聯(lián)結(jié)主義學(xué)習(xí)理論及問題解決的試誤說成為當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的主要理論依據(jù),認(rèn)為解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的實(shí)質(zhì)在于通過“嘗試一錯(cuò)誤”從而在應(yīng)用問題的條件與問題之間形成直接聯(lián)系。

布朗（W.A.Brownell）在吸收了格式塔心理學(xué)關(guān)于問題解決的頓悟思想以后提出,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的過程并不是各種算法的試誤過程,而是對(duì)選擇算法的依據(jù)的理解即頓悟過程。

隨著現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)的迅速發(fā)展,認(rèn)知心理學(xué)家對(duì)問題解決進(jìn)行了更深入的研究,從20世紀(jì)80年代起,大多數(shù)認(rèn)知心理學(xué)家都傾向于贊成這樣的觀點(diǎn),即問題解決的實(shí)質(zhì)是解題者利用長時(shí)記憶中的信息或圖式（Schema）,采用一定的探索方法,對(duì)課題進(jìn)行的一系列認(rèn)知信息加工過程。數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決當(dāng)然也符合數(shù)學(xué)問題解決的一般規(guī)律,并且有其獨(dú)特的一面。廖運(yùn)章認(rèn)為[1],數(shù)學(xué)應(yīng)用問題是一個(gè)完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)系統(tǒng),是用一定的情節(jié)描述的數(shù)量關(guān)系數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決實(shí)質(zhì)上是主體在數(shù)學(xué)元認(rèn)知監(jiān)控下,擺脫情節(jié)結(jié)構(gòu),建立并處理數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)的一種數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)。

2 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的認(rèn)知過程

關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決認(rèn)知過程,最具代表性的當(dāng)屬美國認(rèn)知派的教育心理學(xué)家邁耶（R.E.Mayer, 1987）提出的四階段理論。他認(rèn)為,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的兩個(gè)重要成分是問題表征階段和問題解答階段,前者包括表征問題與問題綜合,后者包括制定和調(diào)整解答計(jì)劃、執(zhí)行解答計(jì)劃。國內(nèi)學(xué)者張慶林[2]認(rèn)為,數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的過程分為表征問題、解答問題、思路總結(jié)三個(gè)階段。廖運(yùn)章[1]則從數(shù)學(xué)建模的角度提出數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決是“用模（意識(shí)）-建模-解模-驗(yàn)?zāi)！钡倪^程。梁好翠[3]則認(rèn)為數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決是由情境理解與問題表征、問題歸類與模式識(shí)別、建模解模與解題遷移、驗(yàn)?zāi)Ｓ媚Ｅc自我評(píng)價(jià)等4個(gè)相互關(guān)聯(lián)的子系統(tǒng)組成的一個(gè)動(dòng)態(tài)過程。

但有人認(rèn)為[4],雖然用“階段”描述問題解決過程,易于把握,但卻不貼切,因?yàn)閱栴}解決中各種心理活動(dòng)并非限于一定的時(shí)間段,沒有嚴(yán)格的先后順序,因此傾向于從心理活動(dòng)類型的角度分析數(shù)學(xué)問題解決心理過程的機(jī)制。

邁耶（R.E.Mayer）認(rèn)為,應(yīng)用問題解決的關(guān)鍵是問題表征階段,而問題表征的關(guān)鍵是識(shí)別問題類型。實(shí)際上,無論是用階段理論還是心理活動(dòng)類型來研究數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的認(rèn)知過程,“問題表征”和“模式識(shí)別”都是學(xué)者們重點(diǎn)研究的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決認(rèn)知過程中的最重要的心理活動(dòng)。

2.1 問題表征

心理表征指在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上將外部信息以自己獨(dú)特的方式或形式組織起來,并建構(gòu)出一定的結(jié)構(gòu)和意義。于萍[5]和傅小蘭[6]等的研究都表明,正確的表征方式是解決問題的必要前提,解決應(yīng)用題的關(guān)鍵是形成已知條件與目標(biāo)之間問題情境的正確表征。

仲寧寧[7]、鄭琳娜[8]、辛自強(qiáng)[9]等對(duì)國外關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用題心理表征的幾個(gè)主要理論作了較為系統(tǒng)的闡述:1、語言-形象表征論,Krutetskii根據(jù)信息加工方式的不同,把問題表征分為3種類型:語言型、形象型、混合型;2、表象表征論,Presmeg認(rèn)為,中學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用五類表象:具體的圖形表象、模式表象、動(dòng)覺表象、動(dòng)態(tài)表象、對(duì)公式的記憶;3、圖式-圖像表征論,Hegarty將視空間表征形式僅區(qū)分為兩種類型,圖像表征和圖式表征;4、直接轉(zhuǎn)換-問題模型表征論,Mayer等人認(rèn)為,在數(shù)學(xué)心理表征中存在兩種基本的策略:直接轉(zhuǎn)換策略和問題模型策略;5、三水平表征論,Cifarelli認(rèn)為,應(yīng)用題解決活動(dòng)包括再認(rèn)、再組織和結(jié)構(gòu)抽象化三個(gè)概念結(jié)構(gòu)水平。

我國學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決中的表征理論也進(jìn)行了大量的研究:辛自強(qiáng)[9]在前人的基礎(chǔ)上,提出了“表征復(fù)雜性模型”理論;鄭琳娜等[8]在 Krutetskii理論和Hegarty等人理論研究的基礎(chǔ)上,將小學(xué)生應(yīng)用題表征的類型劃分為兩大類4種:一類是言語表征,包括關(guān)系表征、語詞表征,第二類是圖形表征,包括圖式表征、圖畫表征;董妍等[10]研究認(rèn)為小學(xué)生應(yīng)用題的表征方式有復(fù)述內(nèi)容、圖式表征、圖片表征、直譯表征、語義結(jié)構(gòu)分析等;鮑曼等[11]認(rèn)為,將高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)的表征簡(jiǎn)化為5個(gè)不同層次:文字表征、具體表征、抽象表征、形象表征和數(shù)學(xué)表征是適當(dāng)?shù)?張慶林等[12]研究發(fā)現(xiàn),小學(xué)生表征應(yīng)用題的方式有三類:復(fù)述、畫圖、找關(guān)鍵信息。

2.2 模式識(shí)別

模式識(shí)別過程是感覺信息與長時(shí)記憶中的有關(guān)信息進(jìn)行比較和分析,判斷和決策它們的最佳匹配的過程?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的研究發(fā)現(xiàn),學(xué)生是否識(shí)別應(yīng)用問題的類型即模式識(shí)別是能否成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的關(guān)鍵。研究表明學(xué)生確實(shí)具有關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的若干模式,而且這些模式與求解新的問題有著直接的關(guān)系[13]。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)提出了模板理論、原型理論、特征理論、拓?fù)鋵W(xué)理論等幾種關(guān)于模式識(shí)別理論模型[14]。

3 數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的影響因素

影響數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的因素很多,既有個(gè)體內(nèi)部因素,又有外部因素。其中個(gè)體內(nèi)部因素既包括認(rèn)知因素,又有非認(rèn)知因素。個(gè)體內(nèi)部因素主要有知識(shí)基礎(chǔ)、解題策略、認(rèn)知方式、認(rèn)知能力、元認(rèn)知、非認(rèn)知因素等方面。

3.1 知識(shí)基礎(chǔ)

知識(shí)基礎(chǔ)就是個(gè)體的先前知識(shí)及其表征。邁耶（R.E.Mayer）認(rèn)為,解題時(shí)所需的知識(shí)分為五個(gè)范疇:語言知識(shí)、語意知識(shí)、圖式知識(shí)、策略性知識(shí)和程序性知識(shí)。喻平[14]從 CPFS結(jié)構(gòu)理論出發(fā)、李明振[13]從數(shù)學(xué)建模的角度進(jìn)行研究,均表明學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決有顯著影響。

近年來學(xué)者們對(duì)于圖式知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的影響尤為關(guān)注。數(shù)學(xué)應(yīng)用問題圖式是關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題類型和每類應(yīng)用問題的數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)特點(diǎn)等方面的知識(shí),依數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的事實(shí)內(nèi)容分類稱為情節(jié)結(jié)構(gòu)圖式,而依數(shù)量關(guān)系結(jié)構(gòu)分類稱為數(shù)學(xué)模型圖式[13]。數(shù)學(xué)應(yīng)用問題圖式知識(shí)有助于問題的深層次加工。研究表明[13],學(xué)生確實(shí)擁有典型數(shù)學(xué)應(yīng)用問題圖式（如:常用的代數(shù)應(yīng)用題四種圖式類型[15]:模版圖式、家族圖式、概念圖式、類別圖式）,其成功解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題與掌握數(shù)學(xué)應(yīng)用問題類型的適當(dāng)?shù)膱D式密切相關(guān),專家（優(yōu)生）擁有比新手（差生）更有用的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題圖式。

3.2 解題策略

數(shù)學(xué)問題解決策略是區(qū)別于數(shù)學(xué)解題方法與具體技巧的、具有普適性的、最高層次的信息處理方法[13]。在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決過程中的每一個(gè)階段都需要相應(yīng)的策略。問題解決的認(rèn)知策略通常有隨機(jī)式策略、算法式策略、啟發(fā)式策略。學(xué)者們主要關(guān)注在數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決中的啟發(fā)式策略研究。

鮑曼等[11]研究認(rèn)為,根據(jù)問題的性質(zhì)內(nèi)容以及問題解決者的認(rèn)知結(jié)構(gòu),將高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)解決策略劃分為4種不同類型:盲目搜索策略、情境推理策略、原理統(tǒng)率策略和數(shù)學(xué)模型策略是適當(dāng)?shù)摹?duì)于高中學(xué)生成功地解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題而言,原理統(tǒng)率策略明顯優(yōu)于情境推理策略。

路海東[16]依據(jù)意大利學(xué)者Daniela Lucangeli理論,通過對(duì)小學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的研究后認(rèn)為:問題情境理解、問題表征、問題歸類、解題計(jì)劃和對(duì)列式的自我評(píng)價(jià)是小學(xué)生在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題過程中的不同階段相繼采取的一系列認(rèn)知策略,它們共同構(gòu)成了小學(xué)生解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的整體策略。

陳英和等[17]闡述了數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的兩種不同表征策略:直接轉(zhuǎn)換策略、問題模型策略,并分析了其對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的不同影響。路海東[16]通過對(duì)小學(xué)生對(duì)和差應(yīng)用題的研究發(fā)現(xiàn):不成功的解題者在表征和差應(yīng)用題時(shí)傾向于運(yùn)用直譯策略,而成功組的解題者更傾向于運(yùn)用問題模型策略,這導(dǎo)致了成功者與不成功者在列式上的差異,特別是在不一致題型上表現(xiàn)得更明顯。

3.3 認(rèn)知方式

所謂認(rèn)知方式指?jìng)€(gè)體偏愛的加工信息的方式,表現(xiàn)在個(gè)體對(duì)外界信息的感知、注意、思維、記憶和解決問題的方式上（皮連生,《教育心理學(xué)》,2004）。認(rèn)知風(fēng)格類型可以歸結(jié)為兩個(gè)基本的維度:整體-分析（Wholist-Analytic）維度（如場(chǎng)獨(dú)立性與場(chǎng)依存性）和言語-表象（Verbal-Imagery）維度。

贠麗萍、游旭群[18]通過對(duì)小學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題研究發(fā)現(xiàn),場(chǎng)認(rèn)知方式與數(shù)學(xué)問題解決關(guān)系密切,學(xué)生場(chǎng)獨(dú)立性越強(qiáng),數(shù)學(xué)解題水平越高。不同場(chǎng)認(rèn)知方式被試受不同問題呈現(xiàn)方式的影響也有所不同,在有視覺提示的呈現(xiàn)方式下,場(chǎng)依存型被試數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平提高程度較場(chǎng)獨(dú)立型被試大,其中低空間能力-場(chǎng)依存型被試在圖形提示的呈現(xiàn)方式下解題水平提高程度最大。鮑曼等[11]研究也表明,在解基本數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生和場(chǎng)依存性學(xué)生差異不顯著;在解難度較大的創(chuàng)變數(shù)學(xué)應(yīng)用問題時(shí)場(chǎng)獨(dú)立性學(xué)生占明顯優(yōu)勢(shì)。

澳大利亞學(xué)者Lowrie和 Kay[19]通過對(duì)采用視覺化和非視覺化表征方式解決應(yīng)用題的小學(xué)生進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn),任務(wù)難度對(duì)于小學(xué)生采用何種方式表征應(yīng)用題有重要的影響:對(duì)于難題和新穎的問題通常傾向于采用視覺化的表征方式,而對(duì)于較易的數(shù)學(xué)應(yīng)用題則傾向于采用非視覺化的方式來表征。游旭群等研究表明[20],圖形表征方式和圖式表征方式下小學(xué)生的解題水平均高于文字表征方式下小學(xué)生的解題水平,這表明視覺提示有助于小學(xué)生應(yīng)用題解題水平的提高。并且問題表征方式對(duì)不同年級(jí)被試解題水平具有不同的影響,隨著年級(jí)的升高,圖式表征對(duì)小學(xué)生問題解決的促進(jìn)作用增強(qiáng)。

3.4 元認(rèn)知

所謂元認(rèn)知,就是對(duì)認(rèn)知的認(rèn)知,是“反映或調(diào)節(jié)認(rèn)知的任一方面的知識(shí)或者認(rèn)知活動(dòng)”。元認(rèn)知對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的影響是全過程的,在數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)中,尤其是解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的活動(dòng)中,需要各種認(rèn)知因素的參與,而在這個(gè)過程中,需要主體不斷地對(duì)認(rèn)知活動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控、管理、選取策略以及調(diào)整思路等,這些調(diào)控都離不開元認(rèn)知的參與[7]。楊光偉[21]根據(jù)前人的研究成果,對(duì)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解題活動(dòng)前、解題活動(dòng)中、解題活動(dòng)后元認(rèn)知的影響作用作了深入的探討。游旭群[20]、李明振[13]通過大學(xué)生自我監(jiān)控能力對(duì)其數(shù)學(xué)建模成績(jī)的影響研究發(fā)現(xiàn),自我監(jiān)控能力直接影響數(shù)學(xué)建模成績(jī)。

3.5 認(rèn)知能力

認(rèn)知能力是指人腦加工、儲(chǔ)存和提取信息的能力,個(gè)體的認(rèn)知能力是影響數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決重要因素。近年來學(xué)者們關(guān)注的有視空間能力、工作記憶等因素。

視空間能力是人類智能結(jié)構(gòu)中的重要組成部分,高空間能力學(xué)生的數(shù)學(xué)解題水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于低空間能力學(xué)生。贠麗萍、游旭群等通過對(duì)小學(xué)生解數(shù)學(xué)應(yīng)用問題研究發(fā)現(xiàn)[18],視空間能力是影響數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的重要因素之一,空間能力越高,數(shù)學(xué)解題水平也越高,不同問題呈現(xiàn)方式是影響小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題水平的重要因素之一。

工作記憶是容量有限的加工資源,其在儲(chǔ)存信息的同時(shí),還要對(duì)該信息或其它信息進(jìn)行即時(shí)加工（這和短時(shí)記憶概念僅強(qiáng)調(diào)儲(chǔ)存功能是不同的）[7]。在應(yīng)用題情境表征中,非常重要的推論過程是在中央執(zhí)行的監(jiān)控和調(diào)節(jié)下,在語音環(huán)路和視空間模板的參與下進(jìn)行的,所以工作記憶容量越大,個(gè)體就越多使用情境信息來進(jìn)行因果推理[19]。

3.6 非認(rèn)知因素

研究表明,學(xué)生的數(shù)學(xué)信念、動(dòng)機(jī)、態(tài)度等多種非認(rèn)知因素既可以增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的能力,也可以削弱數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的能力[20]。

4 問題與展望

數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的研究著述浩繁,成果豐碩。但筆者認(rèn)為,還可以在以下幾個(gè)方面作進(jìn)一步的深化研究。

從生態(tài)學(xué)的角度看,數(shù)學(xué)問題解決活動(dòng)是學(xué)生不斷與外界環(huán)境進(jìn)行能量、信息交換的動(dòng)態(tài)和開放系統(tǒng)[22]。因此關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的內(nèi)在認(rèn)知機(jī)制與外界環(huán)境的關(guān)系方面可以再進(jìn)行深入的研究。

國外學(xué)者關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決能力訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)研究很多,國內(nèi)學(xué)者也進(jìn)行了卓有成效的研究:姚飛、張大均[23]的應(yīng)用題結(jié)構(gòu)分析訓(xùn)練;路海東[16]的問題情境理解訓(xùn)練、畫圖表征策略訓(xùn)練以及整體模型策略訓(xùn)練等。但是真正非常有效的操作性很強(qiáng)的訓(xùn)練實(shí)驗(yàn),特別是大范圍的實(shí)驗(yàn)研究還需要學(xué)者們作出進(jìn)一步共同努力。

關(guān)于數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決研究對(duì)象一般都集中在中小學(xué)的層次,特別是集中在小學(xué)的層次。在大學(xué)層次,特別是在應(yīng)用性特點(diǎn)非常顯著的應(yīng)用性本科和高職?？茖哟蔚臄?shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的研究偏少,這方面應(yīng)該加強(qiáng)。

[1]廖運(yùn)章.數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決認(rèn)知心理的實(shí)證研究[D].桂林:廣西師范大學(xué)（碩士學(xué)位論文）,2000.

[2]張慶林.當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用[M].重慶:西南師范大學(xué)出版社,1995.

[3]梁好翠.論數(shù)學(xué)應(yīng)用問題解決的認(rèn)知過程模式[J].欽州學(xué)院學(xué)報(bào),2008,23（6）:107-111.

[4]苗天志,苗天慧.數(shù)學(xué)問題解決的心理分析[J].上饒師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,26（3）:84-87.

[5]于萍,左夢(mèng)蘭.三—六年級(jí)小學(xué)生數(shù)學(xué)能力及認(rèn)知結(jié)構(gòu)的發(fā)展[J].心理發(fā)展與教育,1996,12（1）:29-32.

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The Summary of Mathematics Application Question Solution Cognition Research

SUN Yong

（L u’an Vocational and Technical College,L u’an237158,China）

The research for mathematical application problem solving is the central issue of mathematical problem study.In this paper,the author makes an overview of the recent cognitive studies on the theoretical basis,cognitive process and influential factors involved in mathematical application problem solving in China and abroad.

Mathematical application problem;Mathematical application problem solving;summary of research

O29

A

1009-9735（2010）02-0007-04

2010-03-02

安徽省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目“高職院校學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力發(fā)展水平與表現(xiàn)特征研究”（2008jyxm659）。

孫勇（1963-）,男,安徽六安人,副教授,碩士,研究方向:數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。