梁 策 齊 華,2 盧建康 黃華平

(1.西南交通大學(xué)信息科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,四川成都 610031；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院,四川成都 610031；3.中鐵二院工程集團有限責(zé)任公司測繪分院,四川成都 610031)

道路橫斷面是道路走向法線方向地形變化趨勢的反映,一般通過野外實測得到。但野外測量任務(wù)量大、周期長。隨著機載LiDAR技術(shù)的推廣應(yīng)用,自動提取高精度橫斷面成為可能。

移動曲面擬合法具有計算方法簡單、分塊靈活等優(yōu)點,但地面采樣點較稀或分布不均勻是影響其精度的主要因素[1]。機載LiDAR測量得到的地面采樣點數(shù)據(jù)具有海量、高密度和高精度等特性,若提供給用戶使用的地面采樣點在平面上呈格網(wǎng)狀或接近格網(wǎng)狀分布(見圖1),對于移動曲面擬合法剛好可以揚長避短。

1 內(nèi)插函數(shù)模型選擇

移動曲面擬合法是以內(nèi)插點為中心,確定一個鄰域范圍,根據(jù)落在鄰域范圍內(nèi)的全部或部分采樣點個數(shù)選擇擬合函數(shù),從而展鋪成一張數(shù)學(xué)曲面計算內(nèi)插點的高程值[2]。

離散狀分布的地面采樣點適宜用移動曲面擬合法內(nèi)插高程[3]。由采樣點個數(shù)n選擇擬合函數(shù),當n≥8時,函數(shù)選用z=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2；當n=6或7時,舍去xy項；當n=4或5時,舍去平方項；當n=3時,僅用線性項[3-4]。格網(wǎng)狀分布的地面采樣點,常采用雙線性多項式內(nèi)插,即選取4個最靠近內(nèi)插點的采樣點,函數(shù)選用z=a0+a1x+a2y+a3xy[3]。針對呈格網(wǎng)狀或接近格網(wǎng)狀分布的高密度地面采樣點,試驗表明宜采用的函數(shù)為

當采樣點個數(shù)大于待求系數(shù)個數(shù)時,式(1)中系數(shù)ai可根據(jù)誤差方程式V=MX-Z,按間接平差最小二乘原理求解,有VTPV=min[5],權(quán)值取采樣點到內(nèi)插點距離的倒數(shù)。

2 規(guī)則格網(wǎng)索引LiDAR地面采樣點

首先,利用規(guī)則格網(wǎng)對LiDAR地面采樣點建立索引(見圖1)[4]。本文中規(guī)則格網(wǎng)尺寸選用20 m ×20 m。內(nèi)插時用內(nèi)插點平面坐標定位格網(wǎng),并從相應(yīng)格網(wǎng)中選擇參與擬合的采樣點,進而完成內(nèi)插計算。

圖1 采樣點分布及規(guī)則格網(wǎng)索引

3 利用分級扇形區(qū)域選擇采樣點

移動曲面擬合法選擇采樣點一般考慮三個因素。范圍：即選用多大鄰域范圍內(nèi)的采樣點；點數(shù)：即選擇多少采樣點參加計算[2]；分布[3-4]：即采樣點的分布是否包圍內(nèi)插點。

3.1 自適應(yīng)確定鄰域半徑

設(shè)第一級鄰域含有6個采樣點；以式(2)計算鄰域半徑R1；設(shè)第二級鄰域8個方位各增加一個點,即含有14個采樣點,以式(3)計算鄰域半徑R2；第三級半徑取1.25倍格網(wǎng)尺寸,即R3=25 m。

式(2)(3)[4]中,A為格網(wǎng)面積,n為內(nèi)插點所在格網(wǎng)包含的采樣點個數(shù),k是鄰域含有的采樣點個數(shù),n1為內(nèi)插點周圍共9個格網(wǎng)(即3×3格網(wǎng))包含的采樣點個數(shù)。

針對覆蓋區(qū)域地面采樣點總體稀稠不均的情況,本方法將根據(jù)內(nèi)插點所處的局部采樣點密度確定鄰域范圍,準確度相對會提高。

3.2 分級扇形區(qū)域

以內(nèi)插點為中心,設(shè)采樣點基于內(nèi)插點的坐標偏移量為 Δx、Δy,建立8 方位劃分(見圖2),以式(4)計算方位編號q。

設(shè)采樣點到內(nèi)插點的距離為d,建立3個分級,以式(5)計算級別編號 p。

圖2 8方位劃分

3個分級和8方位構(gòu)成24個分級扇形區(qū)域,[p,q]是扇形區(qū)域下標(見圖3)。

圖3 24個分級扇形區(qū)域

分級扇形區(qū)域收集采樣點的方法：每個方位只保留一個距內(nèi)插點最近的采樣點；根據(jù)采樣點與內(nèi)插點的距離d和坐標偏移量 Δx、Δy,計算扇形區(qū)域下標,并將采樣點收集到該區(qū)域。

3.3 判斷采樣點包圍內(nèi)插點

設(shè) θi(i=0～7)用于標記各個方位是否含有采樣點,含有則為真(如圖4所示)。

表1 采樣點空間分布及判斷條件

滿足表1分布條件的采樣點必然能包圍內(nèi)插點。

3.4 選擇格網(wǎng)并遍歷

圖4 采樣點空間分布

格網(wǎng)位置是固定的,而內(nèi)插點是移動的。隨著內(nèi)插點位置的變化,鄰域可能覆蓋到內(nèi)插點所在格網(wǎng)的8個相鄰格網(wǎng)。選擇采樣點的簡單辦法是先遍歷這9個格網(wǎng)內(nèi)的所有采樣點,對屬于鄰域的采樣點再選擇參與擬合的采樣點,這將增加額外的計算量。

本文采用的方法是先遍歷內(nèi)插點所在格網(wǎng)中的采樣點,用分級扇形區(qū)域收集采樣點；若p=0級中的采樣點不包圍內(nèi)插點,則從8個相鄰格網(wǎng)中選擇格網(wǎng)并遍歷,從而收集采樣點。

選擇格網(wǎng)的方法及實現(xiàn)：

(1)數(shù)組下標從0到7對應(yīng)8個方位編號(見圖2)和8個相鄰格網(wǎng)的編號(見圖5(a))；

(2)每個數(shù)組成員對應(yīng)一個格網(wǎng),且存儲其索引下標,初始狀態(tài)全為F；

(3)依據(jù)表2的對應(yīng)關(guān)系,將缺少采樣點的方位相應(yīng)數(shù)組成員的狀態(tài)改為T；

(4)數(shù)組中狀態(tài)為T的成員,其對應(yīng)的格網(wǎng)即選定的格網(wǎng)。

表2 方位與數(shù)組下標對應(yīng)關(guān)系

例如當3、4、5、6方位中已經(jīng)收集到采樣點時,只需遍歷0 、1 、2 、3、7 格網(wǎng),(見圖 5)。

3.5 選擇參與擬合的采樣點

用分級扇形區(qū)域收集采樣點后,從其中選擇采樣點(即參考樣點)進行擬合的步驟為：

(1)取p=0級中的采樣點,若采樣點包圍內(nèi)插點,則跳至(4)；

(2)增加p=1級中的采樣點,若采樣點包圍內(nèi)插點,則跳至(4)；

(3)增加p=2級中的采樣點,若采樣點不包圍內(nèi)插點,則退出；

(4)取到的采樣點為參與擬合的采樣點。

圖5 選擇格網(wǎng)

有效鄰域范圍R即參與擬合的采樣點到內(nèi)插點的最大距離。

4 道路橫斷面內(nèi)插

4.1 內(nèi)插中兩種特殊情況處理

若采樣點距內(nèi)插點不足0.2 m,以采樣點高程作為內(nèi)插高程值[6]。

若矩陣不可逆或采樣點無法包圍內(nèi)插點,則標注內(nèi)插失敗,該內(nèi)插地形點不記入橫斷面。

4.2 自定義等間距內(nèi)插

地形特征點距中樁的距離是未知的,為了能得到比較準確的地形特征點,內(nèi)插間距需要盡量小些,用戶可以根據(jù)實際地形情況自行設(shè)置內(nèi)插間距l(xiāng)。

實現(xiàn)方法為：已知中樁高程及橫斷面的中樁和邊樁平面坐標；從邊樁開始,每次向中樁靠近l距離內(nèi)插地形點的高程；首個內(nèi)插成功的地形點作為實際邊樁,記載內(nèi)插成功的地形點,直到中樁為止。地形點只標記其與中樁的高差和平距(左側(cè)為負,右側(cè)為正)；中樁視為高差和平距均為零的地形點。

4.3 D-P算法提取地形特征點

等間距內(nèi)插得到的地形點未必都是地形特征點,需要進一步提取,從而在一定高程精度約束下降低數(shù)據(jù)冗余。目前最為穩(wěn)定和實用的是Douglas-Peucker(簡稱 D-P)法[7]。

算法思想：給定閾值 δ；連接曲線首、末兩點,依次計算中間點到該線段的距離；找出最大距離點,并判斷該距離是否小于 δ,若是,則舍去該曲線的所有中間點；否則,保留該點,并以該點為界,將曲線分為兩部分,對這兩部分重復(fù)進行上述操作[7]。以中樁為界分別對橫斷面左右兩側(cè)進行D-P算法處理。

5 試驗

本試驗數(shù)據(jù)是丘陵區(qū)1136 m ×370 m范圍內(nèi),呈格網(wǎng)狀及接近格網(wǎng)狀分布的365 974個LiDAR地面采樣點,平均密度為0.87個/m2。以呈離散狀分布的534個實測地面采樣點作為內(nèi)插對象,以實測采樣點的平面坐標為內(nèi)插點。內(nèi)插高程與實測高程比較后統(tǒng)計精度如表3所示。選擇參與擬合的采樣點時,分級扇形區(qū)域增加到的級別,其出現(xiàn)次數(shù)統(tǒng)計如表4所示。

表3 誤差及參與擬合的平均采樣點個數(shù)

表4 分級扇形區(qū)域選擇采樣點增加到的級別使用次數(shù)

以該區(qū)域采樣點建立TIN,并提取出73個橫斷面,共計7 956個地形點。為了與TIN中內(nèi)插到的地形點做比較,利用73個橫斷面中的平距換算地形點平面坐標,應(yīng)用移動曲面擬合法內(nèi)插,計算內(nèi)插值與TIN中對應(yīng)地形點的誤差,統(tǒng)計精度如表5所示。

表5 擬合法內(nèi)插值與TIN中地形點的誤差統(tǒng)計

從表3和表5可以看出,內(nèi)插精度優(yōu)于0.1 m；從表4可以看出,自適應(yīng)確定鄰域半徑,絕大部分情況下R1和R2兩級鄰域可以提供滿足分布要求的采樣點,R3可以作為補充。與TIN中提取的橫斷面比較(見圖6),可以看出移動曲面擬合法的結(jié)果在反映地形趨勢方面是一致的。經(jīng)D-P算法提取地形特征點后,地形趨勢得以保留,冗余數(shù)據(jù)量顯著減少。

圖6 橫斷面

6 結(jié)論

利用分級扇形區(qū)域選擇參與擬合的采樣點,可以在確定內(nèi)插鄰域中兼顧范圍、采樣點個數(shù)及其空間分布三方面影響精度的因素,這對于保證內(nèi)插的可靠性及精度是有利的；此外,對3×3規(guī)則格網(wǎng)有選擇性的遍歷,縮小了搜索空間,從而提高了選擇采樣點的時間效率。本文的方法對于從呈格網(wǎng)狀及接近格網(wǎng)狀分布的地面采樣點中提取道路橫斷面具有一定的參考價值。

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