蔣小軍 宋占峰 吳清華

(中南大學(xué)土木建筑學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410004)

1 概述

城市道路是城市社會(huì)活動(dòng)、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)的紐帶和動(dòng)脈,是城市綜合功能的重要組成部分,也是城市建設(shè)水平的集中體現(xiàn)。最近幾年,我國(guó)的城市化發(fā)展突飛猛進(jìn),城市基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)力度加大,城市道路的建設(shè)迎來(lái)了黃金時(shí)期,給城市道路的設(shè)計(jì)工作者既帶來(lái)了機(jī)遇,也提出了更新、更高的要求。傳統(tǒng)的城市道路設(shè)計(jì)理念或設(shè)計(jì)流程存在幾個(gè)方面的局限性：①線路設(shè)計(jì)在二維的地形圖上進(jìn)行,地形地物的判別不直觀；②地形圖的范圍有限,設(shè)計(jì)人員的視野較窄,難以綜觀全局；③二維地形圖提供的信息有限,難以疊加區(qū)域三維建筑物、地質(zhì)等重要信息。

近年來(lái),隨著數(shù)字?jǐn)z影測(cè)量技術(shù)、GIS技術(shù)、虛擬現(xiàn)實(shí)等高新技術(shù)發(fā)展,數(shù)字地球技術(shù)取得重要突破,以GoogleEarth為代表的數(shù)字地球軟件先后推出,為上述問(wèn)題的解決提供了較好的途徑。GoogleEarth是擁有全球范圍豐富衛(wèi)星影像和地形數(shù)據(jù)的三維數(shù)字地球平臺(tái)。這些衛(wèi)星影像分辨率較高,現(xiàn)勢(shì)性較好,對(duì)道路規(guī)劃、方案評(píng)審、環(huán)境評(píng)估具有重要意義。

在城市道路工程的設(shè)計(jì)中,所使用的地形資料大多是在地方獨(dú)立坐標(biāo)系下獲得的。為了將外業(yè)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在GoogleEarth上進(jìn)行三維表示,就必須實(shí)現(xiàn)地方獨(dú)立坐標(biāo)與WGS-84之間的轉(zhuǎn)換,而地方獨(dú)立坐標(biāo)系大都基于北京54坐標(biāo)系建立的,所以一般以北京54坐標(biāo)系為過(guò)渡坐標(biāo)系,即地方獨(dú)立坐標(biāo)系?北京54坐標(biāo)系?WGS-84坐標(biāo)系,三類坐標(biāo)的橢球參數(shù)都不盡相同,必須使用相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換。

2 橢球參數(shù)簡(jiǎn)介

(1)WGS-84的橢球參數(shù)

橢球長(zhǎng)半徑a=(6378137±2)m；

地球(含大氣層)引力常數(shù) GM=(3 986 005×108±0.6 ×108)m3/s2；

正常二階帶諧系數(shù) C2.0=-484.166 85×10±0.6 ×10-6；

地球自轉(zhuǎn)角速度 ω=(7292115×10-11±0.15×10-11)rad/s；

利用以上四個(gè)參數(shù)可以求出WGS-84橢球扁率f=1/298.257 223 563。

(2)北京54參考橢球(克拉索夫斯基橢球)

橢球長(zhǎng)半徑a=6 378 245 m；

橢球扁率f=1/298.3；

地方參考橢球一般選擇與當(dāng)?shù)仄骄叱滔鄬?duì)應(yīng)的參考橢球,該橢球的中心、軸向和扁率與北京54參考橢球相同,其橢球長(zhǎng)半徑則有一改正量 Δa,如圖1所示。

圖1 地方參考橢球與北京54參考橢球的區(qū)別

3 坐標(biāo)轉(zhuǎn)換步驟及模型

坐標(biāo)轉(zhuǎn)換流程如圖2所示。

3.1 同一參考系下的平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型

式中 ΔX、ΔY——x和y方向上平移系數(shù)；k、α——比例系數(shù)和旋轉(zhuǎn)角度。

3.2 布爾莎(Bursa)模型

式中,Δx,Δy,Δz,k,rx,ry,rz為七參數(shù)。

考慮坐標(biāo)數(shù)據(jù)的有效位數(shù)(32位操作系統(tǒng)上,C++語(yǔ)言的最高示數(shù)精度一般為15～16位),布爾莎模型在使用最小二乘法計(jì)算七參數(shù)的過(guò)程中將損失精度,故不能使用該模型直接計(jì)算七參數(shù),但可用于確定七參數(shù)之后的回代計(jì)算。

圖2 地方獨(dú)立坐標(biāo)系與WGS-84坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換流程示意

3.3 三維坐標(biāo)差轉(zhuǎn)換模型

該模型是由布爾莎模型推導(dǎo)而來(lái),假設(shè)有n(n≥3)個(gè)公共點(diǎn),那么第 i(0 ＜i≤n,i≠j)個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為(xi,yi,zi),第j(0 ＜j≤n,j≠i)個(gè)公共點(diǎn)坐標(biāo)為(xj,yj,zj),設(shè) Δxij=xj-xi,Δyij=yj-yi,Δzij=zj-zi,則三維坐標(biāo)差轉(zhuǎn)換模型

或

寫成矩陣形式為

故求解該七參數(shù)可歸結(jié)為線性代數(shù)方程組的求解,對(duì)于這樣一類問(wèn)題有多種求解方法,用的最多的是Gauss-Jordan消去法、正規(guī)方程組等。

在計(jì)算過(guò)程中,至少有兩個(gè)附加的因素會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算上的錯(cuò)誤：

①雖然有些方程并非彼此精確的線性組合,但它們可能很接近線性相關(guān),而在求解過(guò)程的某個(gè)階段,機(jī)器的舍入誤差使它們成為線性相關(guān),這時(shí)計(jì)算程序?qū)⑹　?/p>

②求解過(guò)程中,舍入誤差的積累也會(huì)使結(jié)果與真實(shí)解之間相差甚遠(yuǎn)。這個(gè)問(wèn)題在矩陣維數(shù)很大時(shí)特別容易發(fā)生,但計(jì)算進(jìn)程在算法上并無(wú)錯(cuò)誤。然而將結(jié)果直接回代到原來(lái)的方程就會(huì)發(fā)現(xiàn),由它計(jì)算出來(lái)的x解集卻是錯(cuò)誤的。由于求解過(guò)程中會(huì)不斷發(fā)生相近抵消,方程組越接近奇異,這種情況越易發(fā)生。事實(shí)上所計(jì)算的項(xiàng)可視為有效數(shù)字被全部舍去的特殊情況。

針對(duì)以上兩種數(shù)值計(jì)算錯(cuò)誤,Gauss-Jordan消去法、正規(guī)方程組都是不穩(wěn)定的。為了獲得高精度的七參數(shù)值,最好采用奇異值分解法。相比其他算法,奇異值分解的不足在于需要用額外的內(nèi)存來(lái)存儲(chǔ)設(shè)計(jì)矩陣,且運(yùn)算速度明顯要慢。但它最大的優(yōu)點(diǎn)是：在理論上,它始終會(huì)得出有效的解集。

4 實(shí)例分析

以長(zhǎng)沙市雨花路為例。長(zhǎng)沙獨(dú)立坐標(biāo)系的建立仍采用克拉索夫斯基橢球,中央子午線定在城市中央,為112°50′00.0000 ″E 。公共點(diǎn)坐標(biāo)見(jiàn)表 1 。

表1 公共點(diǎn)坐標(biāo)

4.1 四參數(shù)計(jì)算

長(zhǎng)沙平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)北京54的四參數(shù)值為

x向平移：Δx=3 021 287.8529 m

y向平移：Δy=465 391.082 3 m

比例系數(shù) ：k=1.0 ×10-6

旋轉(zhuǎn)角度：α=-1975.224 3″

上述參數(shù)值由GPS測(cè)量提供,也可使用最小二乘法擬合公共點(diǎn)得出。

4.2 七參數(shù)計(jì)算

由于北京54坐標(biāo)系下的大地高往往不能精確得出,同時(shí)實(shí)驗(yàn)證明高程誤差對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響較小,故使用長(zhǎng)沙獨(dú)立坐標(biāo)系正常高代替北京54的大地高來(lái)解算七參數(shù),從而得出七參數(shù)值(如表2所示)。

表2 轉(zhuǎn)換七參數(shù)

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

該算例中,AutoCAD圖形文件中房屋建筑所在坐標(biāo)系統(tǒng)為長(zhǎng)沙獨(dú)立坐標(biāo)系,使用Google Earth二次開(kāi)發(fā)技術(shù),將長(zhǎng)沙市雨花路數(shù)字地形圖轉(zhuǎn)換到Google Earth上,通過(guò)與Google Earth原有影像地形圖進(jìn)行對(duì)比,所繪制的三維房屋建筑位置能夠很好的吻合已有的地形數(shù)據(jù)(如圖3所示)。

使用上述七參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)換,在Google Earth中繪制三維建筑與線路(如圖4)。

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)地方獨(dú)立坐標(biāo)系與WGS-84坐標(biāo)轉(zhuǎn)換算法的介紹以及實(shí)例分析,可得出以下結(jié)論：

①地方坐標(biāo)系下的高程異常一般無(wú)法準(zhǔn)確獲得,同時(shí)高程誤差主要表現(xiàn)為對(duì)高程轉(zhuǎn)換精度的影響,而對(duì)平面坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度影響較小。所以在解算七參數(shù)時(shí),通常使用地方正常高代替北京54坐標(biāo)系下的大地高,進(jìn)行最小二乘擬合。

②從參數(shù)求解過(guò)程中及已知點(diǎn)回代誤差統(tǒng)計(jì)中可以發(fā)現(xiàn),在已知點(diǎn)中存在個(gè)別粗差點(diǎn),會(huì)扭曲與降低轉(zhuǎn)換參數(shù)的確定精度,所以最好將粗差點(diǎn)剔除后重新計(jì)算,以獲得更高精度的轉(zhuǎn)換參數(shù)。

圖3 長(zhǎng)沙市雨花路AutoCAD數(shù)字地形

圖4 長(zhǎng)沙市雨花路Google Earth三維地形

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