孔憲仁，廖 俊，楊正賢，徐大富

（哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150086）

0 引言

結(jié)構(gòu)在隨機(jī)振動(dòng)試驗(yàn)時(shí)，有時(shí)會(huì)超出線彈性范圍，此時(shí)線性模型已經(jīng)不能滿足需要，為正確地研究結(jié)構(gòu)特性，需要建立非線性模型。非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的辨識(shí)通常有3個(gè)步驟：一是識(shí)別非線性的存在；二是判別非線性的性質(zhì)；三是建立系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行參數(shù)識(shí)別。目前判別非線性的存在已經(jīng)比較成熟，主要有幅值域、頻域、時(shí)域方法[1]。

定性研究包括系統(tǒng)非線性的定位、非線性類型、非線性方程幾種，本文集中研究非線性類型這部分。Feldmen 研究了時(shí)域中應(yīng)用Hilbert變換判別隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)非線性類型的方法[2]；Stasze 應(yīng)用小波變換、Franco 應(yīng)用Gabor 變換研究了系統(tǒng)非線性定性方法[3]；K.Worden[4]等研究了正弦激勵(lì)下非線性系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵(lì)量級(jí)變化而發(fā)生的變形，根據(jù)系統(tǒng)分別存在非線性阻尼和非線性剛度時(shí)變形的規(guī)律不同而由此判斷系統(tǒng)中非線性的類別，并給出了非線性定性分析的準(zhǔn)則。本文參考文獻(xiàn)[4]的準(zhǔn)則，旨在給出隨機(jī)激勵(lì)下，通過系統(tǒng)頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖隨外激勵(lì)量級(jí)的變化進(jìn)行定性分析的方法，并將系統(tǒng)擴(kuò)展到多自由度上。

本文對(duì)幾種帶有非線性因素的系統(tǒng)模型進(jìn)行了近似求解，并分別畫出了它們的等效頻響函數(shù)圖及奈奎斯特圖，得到隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)頻響函數(shù)隨外激勵(lì)量級(jí)的變化規(guī)律，從而給出了適用于隨機(jī)激勵(lì)的，通過等效頻響函數(shù)隨激勵(lì)量級(jí)變化的趨勢(shì)來判別系統(tǒng)非線性特性的方法。

1 解李雅普諾夫方程求隨機(jī)響應(yīng)方差

對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)可以寫成方程[2]

式中：sx為狀態(tài)向量；w為輸入向量；z為輸出向量；A、B、C為響應(yīng)維數(shù)的常量矩陣；下標(biāo)s、w、z表示矩陣維數(shù)。

假設(shè)輸入為白噪聲，則輸入的功率譜矩陣為對(duì)稱正定的常量矩陣Wuu。狀態(tài)變量的穩(wěn)態(tài)協(xié)方差矩陣表示為

其中Xss為協(xié)方差矩陣。

容易證明式(2)滿足李雅普諾夫方程

其中W為激勵(lì)w的功率譜矩陣乘以2π得到的矩陣。

對(duì)ssA進(jìn)行特征值分解，則得

式中：ssE為特征向量構(gòu)成的矩陣；ssΛ為特征值構(gòu)成的對(duì)角線矩陣。

經(jīng)過矩陣推導(dǎo)求得李雅普諾夫方程的解的矩陣形式為

式中：1矩陣為合適維數(shù)的矩陣元素全為1的矩陣；符號(hào)“./”表示矩陣之間對(duì)應(yīng)元素的相乘運(yùn)算。

得到輸出z的均方根（RMS）值為

這樣僅通過式(5)和式(6)矩陣運(yùn)算即可以求得所有響應(yīng)點(diǎn)均方根值（或方差）。

對(duì)于一般線性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力方程

可令

式中：Mnn、Cnn、Knn分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；I為n乘以n維的單位矩陣；Onn為元素為零的n乘以n維矩陣。

將式(8)代入式(5)、(6)即可很方便地得到隨機(jī)激勵(lì)作用下響應(yīng)的方差。采用適當(dāng)Czs矩陣可以獲得響應(yīng)的位移、應(yīng)力的方差值以及von mises屈服應(yīng)力等。令Czs=［InnOnn］，可以得到響應(yīng)位移的方差值。

上述過程也可以使用模態(tài)疊加方法進(jìn)行縮減，再采用適當(dāng)?shù)腃zs將方差值從模態(tài)坐標(biāo)返回到原坐標(biāo)下。

將式(7)通過模態(tài)變換到模態(tài)坐標(biāo)下[3]，則得

其中Mmm、Zmm、Ωmm、Φnm分別為模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)阻尼比、固有頻率和模態(tài)的矩陣。經(jīng)過推導(dǎo)可以得到模態(tài)坐標(biāo)下的李雅普諾夫方程及其解法。

可令

當(dāng)Czs=［ΦnmOnm］，通過式(4)、(5)、(6)即可解出各自由度位移響應(yīng)的方差值。

2 等效線性化方法[1,5]

從非線性隨機(jī)振動(dòng)工程分析的角度來看，如果非線性程度不是太強(qiáng)，不考慮分叉、跳躍等本質(zhì)非線性現(xiàn)象，則等效線性化法已經(jīng)取得了較大的進(jìn)展，是相對(duì)有效且簡單可行的方法，是工程實(shí)際中最具有應(yīng)用潛質(zhì)的預(yù)測(cè)非線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)的近似方法[6]。其基本思想為用有精確解的線性系統(tǒng)代替給定的非線性系統(tǒng)，并使兩方程之差在某種統(tǒng)計(jì)意義上最小。文獻(xiàn)[7]比較了以能量差為基礎(chǔ)以及以方程差為基礎(chǔ)的等效線性化方法計(jì)算的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)，認(rèn)為以能量差為等效準(zhǔn)則的方法效果要好。

考慮具有隨機(jī)激勵(lì)的單自由度非線性系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)方程為

其中： (,)gxx˙為非線性項(xiàng)，m、c、k分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼、剛度。建立等效的線性化方程

其中ce、ke為等效的阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)。以能量差最小為準(zhǔn)則可求得ce、ke分別為

以方程差為基礎(chǔ)的等效阻尼系數(shù)和剛度系數(shù)可通過下式獲得[7]：

先設(shè)定ce、ke的一個(gè)初始值，求解式(11)得到x的某統(tǒng)計(jì)值，代入式(13)或(14)求得新的等效系數(shù)。經(jīng)過反復(fù)迭代后得到所求的值。一般將式(11)的等效系數(shù)的結(jié)果化成E(x?xT)的形式或其中的元素來表示，這正是式(2)得到的解，用它來參與迭代，效率和精度將得到很大的提高。只需通過式(8)或者式(10)轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表示的運(yùn)動(dòng)方程，其協(xié)方差矩陣即可求得，并參與到等效線性化的迭代計(jì)算中，從而獲得穩(wěn)定的等效線性化的系數(shù)。本文采用能量差為準(zhǔn)則的等效線性化方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行處理。

3 幾種情況下的非線性特性研究

根據(jù)線性等效原理，等效頻響函數(shù)為

將幾種情況下的近似解分別代入式(15)即可得到存在于不同非線性特性系統(tǒng)的等效頻響函數(shù)。

3.1 單自由度情況

令m=1、c=5、k=100，功率譜S0分別為1、4、8、12，ε=1時(shí)為硬彈簧，ε=-1時(shí)為軟彈簧；則不同量級(jí)隨機(jī)激勵(lì)下的硬彈簧和軟彈簧的等效頻響函數(shù)圖與奈奎斯特圖如圖1～圖4所示。

由圖1～圖4可以看出，當(dāng)存在非線性剛度時(shí)，系統(tǒng)頻響函數(shù)隨著激勵(lì)量級(jí)增大而發(fā)生改變。當(dāng)K3＞0時(shí)，圖1中系統(tǒng)固有頻率隨激勵(lì)量級(jí)增加而增加，發(fā)生向上移頻現(xiàn)象；圖2中奈奎斯特圖向內(nèi)收縮，系統(tǒng)呈現(xiàn)典型的單自由度硬彈簧性質(zhì)[8]。由圖3、圖4可知，當(dāng)K3＜0時(shí)，圖3中系統(tǒng)固有頻率隨外加激勵(lì)量級(jí)增加而降低，發(fā)生向下移頻現(xiàn)象；圖4中奈奎斯特圖向外膨脹，呈現(xiàn)軟彈簧性質(zhì)。在隨機(jī)激勵(lì)試驗(yàn)中，可應(yīng)用不同量級(jí)的頻響函數(shù)曲線與外激勵(lì)的變化規(guī)律定性地分析系統(tǒng)中存在的非線性類型，從而指導(dǎo)系統(tǒng)建模。

圖1 不同量級(jí)隨機(jī)激勵(lì)下硬彈簧等效線性化頻響函數(shù)圖(k3＞0)Fig.1 Linearized FRF of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＞0)

圖2 不同量級(jí)隨機(jī)激勵(lì)下硬彈簧等效奈奎斯特圖(k3＞0)Fig.2 Nyquist plot of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＞0)

圖3 不同量級(jí)隨機(jī)激勵(lì)下軟彈簧等效線性化頻響函數(shù)圖(k3＜0)Fig.3 Linearized FRF of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＜0)

圖4 不同量級(jí)隨機(jī)激勵(lì)下軟彈簧等效奈奎斯特圖(k3＜0)Fig.4 Nyquist plot of a cubic stiffness model for different levels of random excitation(k3＜0)

3.2 二自由度情況

圖5為一個(gè)二自由度的系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)量塊之間存在非線性彈簧。

圖5 二自由度系統(tǒng)模型Fig.5 A 2 DOF model

3.2.1 非線性硬彈簧在兩質(zhì)量塊之間非線性硬彈簧的動(dòng)力學(xué)方程為

式中：

其中m=1，k=3 000，k3=2×108，c=20。激勵(lì)功率譜S1=S2，分別為1、1.5、2、2.5。該系統(tǒng)經(jīng)過變量替換可變換成一個(gè)線性單自由度系統(tǒng)和一個(gè)帶非線性硬剛度單自由度系統(tǒng)的疊加[4]，這在系統(tǒng)頻響函數(shù)中得到體現(xiàn)，見圖6、圖7。

圖6 不同量級(jí)二自由度H11等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.6 Linearized FRF of H11 for a 2 DOF system under different levels of random excitation

圖7 不同量級(jí)二自由度頻響函數(shù)H11等效奈奎斯特圖(k3＞0)Fig.7 Nyquist plot of H11for the 2 DOF system under different levels of random excitation (k3＞0)

圖6顯示，隨著激勵(lì)量級(jí)的增加，頻響函數(shù)在第一等效共振頻率處未發(fā)生頻率漂移，在第二等效共振頻率處頻率向上漂移；圖7顯示，隨著隨機(jī)激勵(lì)量級(jí)增大，奈奎斯特圖的小圓出現(xiàn)明顯向內(nèi)收縮。這說明在第二階模態(tài)上存在硬彈簧的非線性特征。這也證明了該方法對(duì)于非線性特性分析的正確性。對(duì)于其他3個(gè)頻響函數(shù)也有類似特征，限于篇幅不予詳述。

3.2.2 非線性硬彈簧與地面相連

將圖 5中非線性的彈簧與連接地面和質(zhì)量塊的彈簧進(jìn)行互換，其運(yùn)動(dòng)方程形式見式(16)。此時(shí)的系統(tǒng)兩個(gè)自由度的運(yùn)動(dòng)方程都包含了非線性。限于篇幅只取了4個(gè)頻響函數(shù)中的H11和H12進(jìn)行分析計(jì)算，其他情況也可采用類似方法進(jìn)行分析。式(16)中各常量的定義分別為

其中m=1，k=3 000，k3=2×108，c=20。激勵(lì)功率譜S1=S2，分別為 1、2、4、8。

分析計(jì)算結(jié)果見圖8～圖11，其中：圖8、圖9分別為頻響函數(shù)H11的幅值圖和奈奎斯特圖；圖10、圖11分別為頻響函數(shù)H12的幅值圖和奈奎斯特圖。

圖8 不同量級(jí)二自由度H11等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.8 Linearized FRF of H11 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖 9 不同量級(jí)二自由度頻響函數(shù)H11等效奈奎斯特圖Fig.9 Nyquist plot of H11 for 2 DOFs system under different levels of random excitation

圖10 不同量級(jí)二自由度H12等效線性化頻響函數(shù)圖Fig.10 Linearized FRF of H12 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖11 不同量級(jí)二自由度頻響函數(shù)H12等效奈奎斯特圖Fig.11 Nyquist plot of H12 for the 2 DOF system under different levels of random excitation

圖8和圖10顯示，在兩個(gè)自由度上，隨著激勵(lì)量級(jí)的增大，都有固有頻率向上移動(dòng)，這與硬彈簧的特性相同；隨著激勵(lì)量級(jí)的增大，圖9中的小圓是向外擴(kuò)張的，圖11中的兩個(gè)圓都有向外擴(kuò)張的現(xiàn)象，這是單自由度情況下軟彈簧的特點(diǎn)?？梢?，多自由度因?yàn)榇嬖谀B(tài)之間的能量傳遞，使得其非線性特性有了自身的特點(diǎn)，不能簡單用單自由度的方法來分析。

4 結(jié)論

本文采用隨機(jī)激勵(lì)源，應(yīng)用求解李雅普諾夫方程與等效線性化法對(duì)非線性特性進(jìn)行了定性的研究。分別對(duì)單自由度與二自由度振動(dòng)系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下的非線性特性進(jìn)行了分析，并給出了等效頻響函數(shù)及奈奎斯特圖隨激勵(lì)量級(jí)變化的規(guī)律，根據(jù)變化規(guī)律的不同給出隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)非線性定性研究的方法，對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的定性研究及建模有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。

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