劉世清， 蘇 超

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 前 言

大功率超聲振動系統(tǒng)中常使用聚能器來進行振幅放大和阻抗變換，以獲得高振動的能量輸出.目前工程應用中大多使用桿形聚能器，如指數(shù)型、階梯型[1-2]等.變截面桿形聚能器能獲得較高的前后振速比，在超聲精密加工、超聲振動切削等大功率超聲技術領域應用廣泛[3-5].

環(huán)形超聲聚能器能在徑向產(chǎn)生均勻振動，在大功率超聲冷拔絲、拉管等工程技術領域具有廣泛的應用前景[6].文獻[7]對任意剖面薄圓盤振子的徑向振動進行了研究；文獻[8]研究了指數(shù)形等幾種變厚度圓盤及圓環(huán)的軸對稱平面徑向及扭轉(zhuǎn)振動問題；文獻[9-11]對錐形及指數(shù)形剖面等厚圓板的軸對稱三維振動進行了分析和研究.研究方法主要為解析法或有限元法等.在超聲工程領域，聚能器通常與壓電陶瓷等元件構成復雜的機電耦合振動系統(tǒng)，因而常采用機電類比等效電路進行分析與設計.特別對由多級聚能器級聯(lián)而成的復合超聲振動系統(tǒng)，等效電路法很便利.

本文以環(huán)形超聲聚能器為研究對象，對剖面形狀沿徑向按冪函數(shù)變化的環(huán)形超聲聚能器軸對稱徑向振動特性進行了研究;依據(jù)機電類比原理，導出其位移振幅放大系數(shù)、位移節(jié)圓方程，并建立其徑向振動機電類比等效電路與頻率方程.對環(huán)形聚能器的基頻及第二階徑向振動特性進行了分析和探討，并通過有限元仿真進行了驗證.

1 n次冪剖面環(huán)形聚能器徑向振動分析

圖1 冪函數(shù)剖面環(huán)形超聲聚能器示意圖

如圖1所示的環(huán)形聚能器，其平均厚度大大小于其直徑，即為薄圓環(huán).并且其內(nèi)緣厚度小于外緣厚度，構成由外向內(nèi)的聚能器，可獲得較大內(nèi)外表面位移振幅比.設環(huán)形聚能器厚度隨半徑變化的函數(shù)為h(r)=h0rn，h0為常數(shù)，r為環(huán)半徑.對于徑厚比較大的薄圓盤，其厚度方向振動可忽略，而只認為其做平面徑向振動.任意變厚度剖面薄圓盤軸對稱運動微分方程為[1]

(1)

式(1)中:ξr為徑向振動位移分量;ρ為材料密度;σ為材料泊松比;ω為圓頻率;E為材料彈性模量.環(huán)中徑向正應力為

將h(r)=h0rn代入式(1)得

ξr(r,t)=[C1f(r)+C2g(r)]ejωt.

(4)

v(r,t)=jω[C1f(r)+C2g(r)]ejωt.

(5)

2 位移振幅放大系數(shù)

位移節(jié)面(位移為零的面)及振幅放大倍數(shù)是聚能器設計的兩大重要參數(shù).設rn形剖面聚能器內(nèi)、外側(cè)面處質(zhì)點位移振幅分別為ξb，ξa.利用自由邊界條件

ξr(r)|r=b=ξb,Tr(r)|r=b=0

(6)

及式(4)得C1,C2的表達式為:

(7)

(8)

式(7)～式(8)中：

(9)

(10)

將待定系數(shù)C1，C2的表達式代入式(4)，得徑向位移分布函數(shù)為

(11)

對于振動位移節(jié)圓，其位移為零，即ξr(r)=0，由式(11)得節(jié)圓方程為

G(b)f(r)=F(b)g(r).

(12)

求出圓環(huán)的徑向共振頻率，即可由式(12)確定環(huán)形聚能器中位移節(jié)圓的位置，該位置可用于支撐或固定聚能器.定義位移振幅放大系數(shù)M為內(nèi)、外側(cè)面質(zhì)點位移振幅之比，由式(11)得位移振幅放大系數(shù)的表達式為

(13)

3 機電等效電路及頻率方程

以Fa,Fb,Va,vb分別表示聚能器內(nèi)外輻射面處外力與質(zhì)點振速，一般邊界條件為：當r=b時,v=vb；r=a時，v=-va.由此可得待定系數(shù)C1,C2的表達式為:

(14)

(15)

將式(14)及式(15)代入式(2),得到

(16)

由一般力學邊界條件Fr|r=a=Tr|r=a·Sa=-Fa,Fr|r=b=Tr|r=b·Sb=-Fb, 可得出圓環(huán)內(nèi)外表面力和質(zhì)點振動速度之間的關系為:

(17)

(18)

式(17)～式(18)中,Sa=2πaha,Sb=2πbhb分別為薄圓盤外表面和內(nèi)表面的輻射面積.式(17)及式(18)可進一步整理為如下形式:

(19)

(20)

式(19)～式(20)中:

(21)

(22)

式(21)～式(22)中:Z0a=ρcrSa,Z0b=ρcrSb分別為薄圓環(huán)內(nèi)、外表面的特性力阻抗.由四端網(wǎng)絡理論知，式(19)及式(20)可用如圖2所示的T型等效電路來描述.圖2中各臂等效機械阻抗為

(23)

(24)

(25)

對自由振動薄圓環(huán)聚能器，機械端短路.由等效電路圖2可得其外側(cè)面機械端輸入阻抗為

(26)

將式(23)～(25)代入式(26)，并由機械共振條件得聚能器共振頻率方程為

F(a)G(b)=F(b)G(a).

(27)

圖2 冪函數(shù)剖面環(huán)形聚能器機電等效圖

共振頻率方程式(27)為一含非整數(shù)階第一類和第二類Bessel函數(shù)超越方程，借助數(shù)值分析軟件可精確求出相應共振頻率的數(shù)值解.其共振頻率決定于振子的幾何參數(shù)、材料特性以及相應的振動階次.

4 數(shù)值計算及分析

以常用的45號鋼材料環(huán)形聚能器為例進行數(shù)值計算.取剖面變化函數(shù)為h(r)=6rn,n=1,2,3，材料特性參數(shù)為ρ=7 800 kg/m3，σ=0.28,E=209 GPa.聚能器外徑為2a=100 mm，外緣厚度為15 mm，并保持不變，改變內(nèi)半徑b的值.計算中引入半徑比λ=b/a，并且對n=2的拋物型剖面環(huán)形聚能器位移振幅放大系數(shù)及第一和第二階徑向共振頻率進行了有限元仿真計算.理論與有限元仿真數(shù)值計算結(jié)果如圖3～圖8所示.

圖3、圖4分別為冪次n=2的聚能器第一與第二階徑向共振模態(tài)仿真圖.圖5、圖6分別為冪次n=1，2，3的3種剖面環(huán)形聚能器的基頻與第二階徑向共振位移振幅放大系數(shù)M與其內(nèi)外半徑比的關系.從圖3～圖6可以看出，振幅放大系數(shù)存在一極大值.該極大值對應的半徑比與n有關.n越大，振幅比極大值對應的半徑比越小.另外，位移振幅比極大值隨n增大而增大，而第二階共振位移放大系數(shù)顯著大于基頻.作為聚能器，總希望有較大的位移振幅放大系數(shù).因此，就振幅放大系數(shù)而言，第二階振動模式甚優(yōu)于基頻模式.此外，從圖3還可以看出，對較低冪次的變厚度環(huán)形聚能器的基頻振動模式，當其內(nèi)外半徑比小于一定值時，振幅放大系數(shù)小于1，即不構成由外向內(nèi)的聚能器.如對n=2的拋物型剖面環(huán)形聚能器，此半徑比值約為0.2.換言之，此情況下可作為由內(nèi)向外的聚能器應用.理論與有限元數(shù)值仿真計算結(jié)果相一致.

圖3 聚能器基頻徑向共振模態(tài)(n=2)

圖4 聚能器第二階徑向共振模態(tài)(n=2)

圖5 基頻共振位移振幅放大系數(shù)與半徑比關系

圖6 第二階共振位移振幅放大系數(shù)與半徑比關系

圖7、圖8分別為冪指數(shù)n=1，2，3三種剖面環(huán)形聚能器的第一和第二階徑向共振頻率與其內(nèi)外半徑比的關系.從圖7可以看出:環(huán)形聚能器的基頻徑向共振頻率隨其半徑比增大而單調(diào)下降;對第二階徑向共振模式，隨著半徑比的增大，共振頻率開始略有下降;當半徑比大于一定值時，共振頻率隨半徑比的增大而單調(diào)上升，特別當聚能器半徑比趨于1，即趨于薄壁圓環(huán)極限情況，其第二階徑向共振頻率趨于無窮大.因此，薄壁圓環(huán)彈性振子只存在徑向共振基頻，而無徑向高階諧頻.理論與有限元結(jié)果一致.從圖7～圖8還可看出，冪次n越高，環(huán)形聚能器的徑向共振基頻越低，而其第二階徑向共振頻率卻隨n增大而升高.

圖7 基頻徑向共振頻率與半徑比關系

圖8 第二階徑向共振頻率與半徑比關系

5 結(jié) 論

1)建立了厚度按n次冪函數(shù)變化的環(huán)形超聲聚能器徑向振動機電類比等效電路，從等效電路導出了徑向振動頻率方程，并得出了聚能器的位移振幅放大系數(shù)計算式.

2)剖面厚度冪次因子n越高，環(huán)形聚能器的內(nèi)外振幅比越大；第二階徑向共振模式比基頻具有更大的振幅放大系數(shù).此外，環(huán)形聚能器振幅放大系數(shù)隨其半徑比的變化存在極大值，因此，要獲得較大的徑向位移振幅比，應選擇合適的幾何尺寸.理論與有限元數(shù)值仿真結(jié)果吻合.

3)當內(nèi)外半徑趨于相等時，環(huán)形聚能器只存在徑向諧振基頻，無二階以上徑向振動高次諧頻.此結(jié)論可推廣到其他剖面形狀的環(huán)形聚能器.

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