劉大巍，陳啟宏

(上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，上海 200433)

0 引言

可轉(zhuǎn)債也稱為可轉(zhuǎn)換公司股票債券，是一種兼有股票期權(quán)和債券性質(zhì)的復(fù)合型金融衍生產(chǎn)品。對于可轉(zhuǎn)債的發(fā)行公司而言，由于其在不同的市場條件下，會(huì)表現(xiàn)出債券融資和股票融資兩種不同的作用形式，上市公司可以根據(jù)其需要，更加靈活的選擇其融資方式，因此，發(fā)行可轉(zhuǎn)債已成為上市公司一種重要的融資渠道。同時(shí)，為了避免可轉(zhuǎn)債的償付方式單純的依賴于市場因素，增加公司的融資風(fēng)險(xiǎn)，發(fā)行公司還會(huì)根據(jù)其需要，對可轉(zhuǎn)債的償付方式加以控制，而其最主要的調(diào)控方式就是可轉(zhuǎn)債中設(shè)定的附加條款。

由于可轉(zhuǎn)債中的期權(quán)和債券相互嵌套，使得其定價(jià)模型較為復(fù)雜，尤其是在我國的債券市場上，絕大多數(shù)可轉(zhuǎn)債都同時(shí)含有所有的附加條款，使得對可轉(zhuǎn)債的定價(jià)非常困難。

截至2008年底，我國共有61支可轉(zhuǎn)債上市，其中的5只轉(zhuǎn)債含有強(qiáng)制性特別向下修正條款，這些轉(zhuǎn)債定價(jià)模型中的修正條款和回售條款所對應(yīng)的條件是不能合并的，定價(jià)模型中的邊界條件和終值條件，都會(huì)有所變化。本文將詳細(xì)討論這些轉(zhuǎn)債的定價(jià)問題，并利用最小二乘蒙特卡羅方法計(jì)算其數(shù)值結(jié)果，將所得結(jié)果同市場數(shù)據(jù)進(jìn)行比較分析。

1 定價(jià)模型

1.1 信用風(fēng)險(xiǎn)

由于市場上的公司債券利率往往高于同期的無風(fēng)險(xiǎn)利率水平，本文引入信用風(fēng)險(xiǎn)模型來解釋這一市場現(xiàn)象。可轉(zhuǎn)債債權(quán)部分的價(jià)值會(huì)受到發(fā)行公司信用風(fēng)險(xiǎn)的影響，而股權(quán)部分的價(jià)值受信用風(fēng)險(xiǎn)的影響則相對較小。因此本文中采用Tsiveriotis和Fernande(1998)[6]的信用風(fēng)險(xiǎn)模型。在此模型中，作者將可轉(zhuǎn)債價(jià)值分為相互作用的股權(quán)部分和現(xiàn)金部分，其中，股權(quán)部分不受信用風(fēng)險(xiǎn)的影響，因此其價(jià)值為未來的現(xiàn)金流以無風(fēng)險(xiǎn)利率折現(xiàn)的結(jié)果，而現(xiàn)金部分則會(huì)受到信用風(fēng)險(xiǎn)的影響，其價(jià)值為未來現(xiàn)金流以調(diào)整后的折現(xiàn)率(無風(fēng)險(xiǎn)利率加信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià))折現(xiàn)后的結(jié)果，如果假定可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSt=μStdt+σStdWt，可轉(zhuǎn)債的價(jià)值應(yīng)滿足微分方程

其中，V為可轉(zhuǎn)債價(jià)值，B為轉(zhuǎn)債中的現(xiàn)金部分的價(jià)值，S為標(biāo)的股票的價(jià)格，σ為股票價(jià)格的波動(dòng)率，r為無風(fēng)險(xiǎn)利率，rc為信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)，f(t)為債券的利息支付。

1.2 終值條件

我國帶有強(qiáng)制性特別向下修正條款的5只轉(zhuǎn)債中的特別向下修正條款的規(guī)定都為：當(dāng)可轉(zhuǎn)債的標(biāo)的股價(jià)達(dá)到或低于當(dāng)前轉(zhuǎn)股價(jià)的某一比例時(shí)時(shí)，債券發(fā)行公司必須立即向下修正轉(zhuǎn)股價(jià)格，并且其修正幅度不得低于當(dāng)前轉(zhuǎn)股價(jià)的一定比例，其修正次數(shù)不受限制。根據(jù)陳盛業(yè)、王義克(2007)[2]的討論，由于向下修正轉(zhuǎn)股價(jià)格相當(dāng)于增加了未來可能的現(xiàn)金支付，也就是增大了轉(zhuǎn)債的價(jià)值，對于轉(zhuǎn)債發(fā)行公司而言，在未觸發(fā)回售條款的情況下修正轉(zhuǎn)股價(jià)格是不明智的，而且修正幅度越大，其未來要支付的現(xiàn)金流就越多。因此，在強(qiáng)制性特別向下修正條款的約束下，轉(zhuǎn)債發(fā)行公司必須向下修正轉(zhuǎn)股價(jià)，但修正幅度應(yīng)為其修正義務(wù)下的最低值。

我國的可轉(zhuǎn)債在轉(zhuǎn)股期內(nèi)都可以隨時(shí)轉(zhuǎn)股，持有債券直到債券期日的投資者將會(huì)根據(jù)當(dāng)前的轉(zhuǎn)股價(jià)格和標(biāo)的股價(jià)來決策是否轉(zhuǎn)股，而到期日的轉(zhuǎn)股價(jià)格是由標(biāo)的股價(jià)的路徑?jīng)Q定的，因此，帶有強(qiáng)制性特別向下修正條款的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型中含有亞式期權(quán)的性質(zhì)，是一種強(qiáng)路徑依賴期權(quán)。

由于轉(zhuǎn)股價(jià)的修正次數(shù)不受限制，只要標(biāo)的股價(jià)達(dá)到修正觸發(fā)條件，轉(zhuǎn)股價(jià)格就會(huì)修正為原轉(zhuǎn)股價(jià)的特定比例，所以轉(zhuǎn)債在到期日T的轉(zhuǎn)股價(jià)格KT取決于標(biāo)的股價(jià)之前所達(dá)到的最低值，只要其最低值不低于每股凈資產(chǎn)價(jià)值。將其表示為函數(shù)形式為：

其中，F(xiàn)為轉(zhuǎn)債面值，mT=ST/KT。也就是說，如果在到期日的標(biāo)的股價(jià)低于當(dāng)時(shí)的轉(zhuǎn)股價(jià)格，則不執(zhí)行轉(zhuǎn)股，債券持有者會(huì)選擇收回本息；而如果標(biāo)的股價(jià)高于當(dāng)時(shí)的轉(zhuǎn)股價(jià)格，則持有者會(huì)選擇以當(dāng)前轉(zhuǎn)股價(jià)格進(jìn)行轉(zhuǎn)股。

1.3 邊值條件

在轉(zhuǎn)股期的每一時(shí)刻t，可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股價(jià)格Kt與之前的股價(jià)路徑有關(guān)，用函數(shù)可以表示為：轉(zhuǎn)債持有者的最優(yōu)策略為當(dāng)執(zhí)行轉(zhuǎn)股所得支付大于或等于轉(zhuǎn)債價(jià)值時(shí)，立即轉(zhuǎn)股，也就是應(yīng)有

當(dāng)轉(zhuǎn)債的標(biāo)的股價(jià)達(dá)到或低于回售觸發(fā)股價(jià)時(shí)，債券持有者可以將轉(zhuǎn)債以約定價(jià)格回售給發(fā)行方，此時(shí)應(yīng)有

其中Pp為回售價(jià)格。

當(dāng)轉(zhuǎn)債的標(biāo)的股價(jià)達(dá)到或高于贖回觸發(fā)股價(jià)時(shí)，債券發(fā)行方可以將轉(zhuǎn)債以約定價(jià)格將轉(zhuǎn)債贖回，但此時(shí)債券持有者可以選擇轉(zhuǎn)股，因此有 V(t,St)≤max{StF/Kt，Pc}，其中 Pc為贖回價(jià)格。而由于在我國的可轉(zhuǎn)債贖回觸發(fā)股價(jià)下一般都會(huì)滿足StF/Kt≤Pc，可將此邊界條件簡化為

1.4 數(shù)值方法

通過求解微分方程(1)-(6)就可以得到可轉(zhuǎn)債的理論價(jià)格。但由于上述帶有強(qiáng)制性特別向下修正條款的可轉(zhuǎn)債中嵌入了亞式期權(quán)的性質(zhì)，且其依賴于標(biāo)的股價(jià)路徑的支付函數(shù)較為復(fù)雜，同時(shí)還附有各種附加條款，使得其數(shù)值方法較為繁瑣。

本文采用Longstaff和Schwartz(2001)[3]提出的最小二乘蒙特卡羅模擬方法對上述模型進(jìn)行求解。傳統(tǒng)蒙特卡羅方法的優(yōu)點(diǎn)是對邊界條件的判斷較為方便，缺點(diǎn)是對于路徑依賴期權(quán)價(jià)值的計(jì)算比較困難，最小二乘蒙特卡羅方法則克服了這個(gè)缺陷。其主要步驟為：

（1）首先在當(dāng)前的標(biāo)的股價(jià)條件下，用離散的時(shí)間點(diǎn)模擬出直到到期日的若干條股價(jià)路徑；

（2）在每個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)處，以各條路徑上的當(dāng)前股價(jià)作為解釋變量，以各條路徑上前一節(jié)點(diǎn)的支付貼現(xiàn)值作為被解釋變量，利用最小二乘方法估計(jì)在當(dāng)前股價(jià)下持有轉(zhuǎn)債可以得到的未來支付的貼現(xiàn)值；

（3）將此估計(jì)值代入到邊界條件中，判斷當(dāng)前節(jié)點(diǎn)處債券持有者是否應(yīng)當(dāng)轉(zhuǎn)股或是執(zhí)行回售條款、發(fā)行方是否已向下修正轉(zhuǎn)股價(jià)格或是執(zhí)行贖回條款，從而得到當(dāng)前支付值，并將其貼現(xiàn)到前一節(jié)點(diǎn)；

（4）按照上述步驟，采用倒推的方法得到初始節(jié)點(diǎn)處的支付，最終取所有路徑的初始支付均值，即為初始時(shí)刻的轉(zhuǎn)債價(jià)格。

這種方法大大簡化了算法的復(fù)雜程度并提高了其效率。本文同時(shí)采用了對偶變數(shù)法，即使用對稱的隨機(jī)數(shù)來模擬轉(zhuǎn)債標(biāo)的股價(jià)的路徑，以消除一些極端模擬路徑對計(jì)算結(jié)果的過大影響，從而提高運(yùn)算精度。

2 實(shí)證分析

2.1 樣本選取及參數(shù)估計(jì)

我國目前共有5只帶有強(qiáng)制性特別向下修正條款的轉(zhuǎn)債，其中1只為時(shí)點(diǎn)修正，本文利用上述模型對另外四只轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價(jià)，其發(fā)行數(shù)據(jù)見表1。

四只轉(zhuǎn)債與邊界條件相關(guān)的附加條款見表2，其中的觸發(fā)比例和調(diào)整比例都是與當(dāng)前轉(zhuǎn)股價(jià)格的比值，r為當(dāng)年債券利息。

2.2 實(shí)證結(jié)果及分析

當(dāng)標(biāo)的股票有派發(fā)股息行為時(shí)，股票價(jià)格的波動(dòng)方程應(yīng)為 dSt=(μ-D)Stdt+σStdWt，其中D為連續(xù)化的股息分紅，但一般的可轉(zhuǎn)債發(fā)行時(shí)都附有相應(yīng)的轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整條款，即在派發(fā)股息時(shí)，將以一定的方式向下調(diào)整轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)股價(jià)格，以抵消股息分紅對轉(zhuǎn)債的影響。因此，本文有理由近似的認(rèn)為可轉(zhuǎn)債標(biāo)的股票派發(fā)紅利和轉(zhuǎn)股價(jià)格調(diào)整對轉(zhuǎn)股概率的影響會(huì)相互抵消，因此，仍然假定股價(jià)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)dSt=μStdt+σStdWt，同時(shí)，將可轉(zhuǎn)債的當(dāng)前轉(zhuǎn)股價(jià)格作為最終的轉(zhuǎn)股價(jià)格。

本文將可轉(zhuǎn)債的定價(jià)時(shí)刻到到期日的時(shí)間間隔劃分為200個(gè)時(shí)間段，即每條模擬路徑有201個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)，同時(shí)模擬出標(biāo)的股票價(jià)格的10000條路徑 (5000條初始路徑加5000條對偶路徑)。最終得到的四支轉(zhuǎn)債在發(fā)行一年后的理論價(jià)格與其相應(yīng)的市場價(jià)格(當(dāng)日開盤價(jià))的比較見表4。

由上述表4結(jié)果可以看出采用最小二乘蒙特卡羅方法計(jì)算出的轉(zhuǎn)債價(jià)格是較為準(zhǔn)確的，且所有數(shù)值結(jié)果均處于當(dāng)天的可轉(zhuǎn)債交易的最高價(jià)格與最低價(jià)格區(qū)間內(nèi)，定價(jià)結(jié)果較為理想。其中，當(dāng)標(biāo)的股價(jià)相對轉(zhuǎn)股價(jià)格比較接近時(shí)，市場上的轉(zhuǎn)債價(jià)格與理論價(jià)格相差很小，但當(dāng)標(biāo)的股價(jià)偏離轉(zhuǎn)股價(jià)格較多時(shí)，則誤差較大。筆者認(rèn)為出現(xiàn)這種現(xiàn)象的原因除了參數(shù)估計(jì)產(chǎn)生的誤差外，主要原因在于，當(dāng)轉(zhuǎn)債處于深度實(shí)值或虛值狀態(tài)時(shí)，轉(zhuǎn)債持有者會(huì)對股價(jià)運(yùn)動(dòng)方向產(chǎn)生較強(qiáng)的預(yù)期，偏離其理論波動(dòng)路徑，使得誤差增大。

表1 可轉(zhuǎn)債樣本數(shù)據(jù)

表2 可轉(zhuǎn)債樣本附加條款數(shù)據(jù)

表3 可轉(zhuǎn)債樣本年利率數(shù)據(jù)

表4 可轉(zhuǎn)債樣本理論價(jià)格與市場價(jià)格比較

3 結(jié)束語

我國市場上帶有強(qiáng)制性特別向下修正條款的可轉(zhuǎn)債中嵌套的期權(quán)具有亞式期權(quán)的性質(zhì)，其定價(jià)模型中的終值條件和邊界條件與普通的可轉(zhuǎn)債定價(jià)模型有很大差別，模型的求解也更為困難。本文按照亞式期權(quán)的模型對其定價(jià)方法進(jìn)行了詳細(xì)的分析，并利用最小二乘蒙特卡羅模擬方法對此模型進(jìn)行了求解，從最終的數(shù)值結(jié)果可以看出，定價(jià)結(jié)果十分理想，我國此類轉(zhuǎn)債的市場價(jià)格與理論價(jià)格非常吻合。

[1]陳盛業(yè)，王義克.奇異期權(quán)與中國可轉(zhuǎn)債定價(jià)[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2007，47(6).

[2]Tsiveriotis K,Fernandes C.Valuing Convertible Bonds with Credit Risk[J].Journal of Fixed Income,1998,8(2).

[3]Longstaff F,Schwartz E.Valuing American Options by Simulation:A Simple Least-squares Approach[J].The Review of Financial Studies,2001,14(1).