鄭 永 鄭方燕 高忠華 陳自然 董 淳

（①合肥工業(yè)大學(xué)儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，安徽 合肥 230009；②重慶理工大學(xué)機械檢測技術(shù)與裝備教育部工程研究中心，重慶 400054）

FMT［1-3］系統(tǒng)是“全微機化傳動誤差檢測分析系統(tǒng)”的簡稱，在原有計數(shù)法測量傳動誤差基礎(chǔ)上開創(chuàng)采用了新式的脈沖細分方法，使測量精度得到提高。它摒棄了傳統(tǒng)儀器中復(fù)雜的電器箱部分，只保留傳感器部分，所有的信息處理全由計算機完成，使得全套系統(tǒng)因結(jié)構(gòu)大大簡化而成本降低、故障率低、環(huán)節(jié)誤差少，同時測量精度高、分析功能強、操作簡便。FMT 系統(tǒng)在國防和機床、齒輪行業(yè)應(yīng)用效果突出，于1995 年獲國家教委科技進步二等獎，1996 年被國家科委列為“國家級科技成果重點推廣計劃項目”。由于FMT 系統(tǒng)自身性能優(yōu)越，測試可靠，在陜西第二機床廠等十多個國內(nèi)主要齒輪和齒輪機床生產(chǎn)廠家得到應(yīng)用，深受用戶廠家的歡迎。筆者采用基于諧波分析的修正技術(shù)對低精度機床進行精化改造，將普通滾齒機精化成為高精度蝸輪加工機床，實現(xiàn)了高精度蝸輪加工的低成本化。

1 機床傳動鏈誤差諧波分析法

在有關(guān)電信號處理的理論體系中，除了電磁波等少數(shù)領(lǐng)域涉及的物理量外，大多為時域或頻域，自變量為時間，即可認為電信號的變化與空間無關(guān)，只與時間有關(guān)。常見的表達式為

式中，T 為信號交變的時間周期。

正如電信號總是與時間相關(guān)，機械信息則總是與空間相關(guān)。典型的例子就是旋轉(zhuǎn)機械運動，以一個圓周W=360°為空間周期，其函數(shù)表達式為

即信息是隨空間位置x 的變化周期性地改變。只是由于機械一旦運動起來，同時也就成為時間的函數(shù)，而人們又習(xí)慣于時域的思維方式和成熟的理論體系，因此較少有人采用式（2）反映的“空間域”或空域的概念去分析問題。但是針對一些具體問題，采用空域分析將更為方便［4］。

在機床的齒輪傳動鏈中，每個齒輪的轉(zhuǎn)速不同，均有各自的軸頻（每轉(zhuǎn)變化一次）誤差和齒頻（每齒變化一次）誤差，所有的誤差疊加在一起，構(gòu)成了機床總的傳動誤差。

傳動鏈中每個回轉(zhuǎn)傳動件傳動誤差的主要部分，均為其轉(zhuǎn)角的正弦（或余弦）函數(shù)，如式（2）。研究表明，對于這種以式（2）反映的數(shù)學(xué)模型為其變化規(guī)律的誤差信息，采用等空間間隔采樣的測試效果，要遠遠好于按等時間間隔采樣的測試效果。只要在機床傳動鏈的兩端各安裝一個按空間均勻分度的柵式傳感器（如光柵），以其中一個為基準(zhǔn)，每到一個脈沖（每過一段同樣的空間間隔）進行一次采樣，由此得到的一條實測曲線。顯然這是一條空域曲線，它的橫坐標(biāo)是空間間隔，與時間、運動速度無關(guān)。

由于機械轉(zhuǎn)動的速度很難保持恒定，因此基于時域（等時間間隔）的數(shù)據(jù)采集很難保證空間數(shù)據(jù)的整周期性。但空域即等空間間隔的數(shù)據(jù)采集則容易做到，通常取旋轉(zhuǎn)一周的采樣數(shù)據(jù)點為N=2n，其中n 為整數(shù)，最有利于FFT。N 取多少取決于研究者欲觀測的最高諧波次數(shù)m，按采樣定理，N≥2m。據(jù)此測得空域離散數(shù)據(jù)x（i）（i=1，2，…，N-1），x（i）的具體物理含義可以是轉(zhuǎn)矩、轉(zhuǎn)速、加速度、傳動誤差等。對其進行與FFT 相似的空間傅里葉變換（SFFT），則有：

式中：X（k）為序號k 對應(yīng)的諧波分量幅值；k 為頻譜中位置序號，即諧波次數(shù)。空域FFT 和時域FFT 的算法相似，但物理意義和譜位置計算不同?？沼蚯€表征了被測動態(tài)參數(shù)隨角位移變化的情況，其傅里葉結(jié)果表征了該參數(shù)隨空間頻率的分布情況。

傳動鏈中每個傳動件傳動誤差的傳遞，符合卡拉希尼柯夫誤差傳遞理論，該理論運用在機床齒輪傳動中，可歸結(jié)為誤差按傳動比傳遞［5］。可以表達為

式中：Ai絕為i 傳動件絕對傳動誤差模值；Nk為k 傳動件轉(zhuǎn)速；Ni為i 傳動件轉(zhuǎn)速；Ai為傳動誤差曲線中Ni/Nk次諧波對應(yīng)幅值；Ii為i 傳動件對于k 的傳動比。

因此，對傳動誤差曲線進行SFFT，就能獲取傳動鏈中任一環(huán)節(jié)的誤差，然后根據(jù)這一誤差進行修正。

2 傳動誤差測量及分析

機床傳動鏈傳動誤差動態(tài)測量采用FMT 系統(tǒng)進行測量。本項目中采用德國海德漢886 型光柵（36000 線，±1″精度）作為低速端（工作臺）傳感器，高速端（刀桿軸）采用長春宇衡ZKT -58A 型傳感器。利用FMT 系統(tǒng)對Y3180H 滾齒機進行精化?，F(xiàn)場測試如圖1。

圖2 是Y3180H 滾齒機的傳動鏈圖。該機床最大加工直徑為800 mm，最大模數(shù)為10，加工等級6 級。將滾齒機的傳動鏈調(diào)節(jié)成（通過調(diào)節(jié)分齒掛輪組a、b、c、d、e、f 來實現(xiàn)）刀桿和工作臺轉(zhuǎn)速比為100:1，也就是加工蝸輪頭數(shù)為1，齒數(shù)為100 的工作狀態(tài)。

安裝調(diào)整好傳感器后，啟動滾齒機，使其處于正常工作狀態(tài)，這時開啟FMT 系統(tǒng)進行測試。測試的原始誤差曲線和頻譜如圖3 所示。

由圖3 可知該機床傳動誤差為24.96″，累積誤差為15.92″，周期誤差為9.16″，其誤差主要的諧波頻次為1、96、400，幅值分別為7.07″，3.19″，1.14″。結(jié)合圖2，經(jīng)過分析可以得出1 次諧波是由于工作臺蝸輪誤差引入；96 次諧波是由工作臺蝸桿誤差引入；因為傳動比為100，而錐齒輪轉(zhuǎn)速剛好是刀桿軸的4 倍，所以400 次諧波是由錐齒輪誤差引入的。因此機床的三個主要誤差環(huán)節(jié)是工作臺蝸輪、工作臺蝸桿和錐齒輪。傳動鏈中的各個傳動環(huán)節(jié)誤差，按照傳動誤差傳遞規(guī)律、依照傳動比分別折算到傳動鏈末端（工作臺），最后合成了圖3 的誤差曲線。工作臺蝸輪、工作臺蝸桿都處于傳動鏈的尾端，其折算系數(shù)（傳動比）小，特別是蝸輪，是按照1:1 進行誤差傳遞的。錐齒輪誤差主要是由于其自身的制造誤差以及熱處理工藝等引起的變形帶來的，盡管其處于傳動鏈的前端，但是折算后的誤差依然很大。下面即著手對這3 個主要的誤差源進行精化修正。

3 對錐齒輪和蝸桿誤差的修正

對錐齒輪和蝸桿誤差的修正方法類似，就是附加一個人造已知誤差與原有誤差進行合成，合成后的誤差為零。結(jié)合到對錐齒輪和蝸桿誤差的修正則是在它們相連的傳動鏈環(huán)節(jié)中加入偏心人造誤差，誤差值與它們自身產(chǎn)生的誤差值相同，然后調(diào)整相位，最終使人造誤差和原有誤差相互抵消，從而起到對錐齒輪和蝸桿誤差的修正。

首先是對錐齒輪誤差的修正。由圖3b 可知400次諧波的幅值為1.14″，因此錐齒輪自身帶來的絕對誤差幅值由式（4）可得：

因此需要將差動包前級的e 輪增加一個偏心量e1，使其產(chǎn)生的誤差剛好是456″。假設(shè)e 輪分度圓半徑為d，那么e1計算公式為

式中的e1單位同d 的單位。將齒輪e 的分度圓直徑代入得出e1=159 μm，重新加工一個齒輪e，并將中心孔做一個159 μm 的偏心。

安裝上偏心齒輪e，然后調(diào)整其安裝角度，當(dāng)400次諧波幅值最小時即為最佳位置，這時，測出的傳動誤差曲線和頻譜圖如圖4 所示。

對比這兩次測量曲線的頻譜圖可以得知，經(jīng)過錐齒輪誤差修正后，錐齒輪的誤差基本上消失，在頻譜上主要有1 次和96 次諧波誤差。

下面將對蝸桿環(huán)節(jié)誤差進行修正，方法類似上面對錐齒輪誤差的修正。在圖2 所示的d 齒輪加入一個偏心量，計算方法同上。有圖4b 可知蝸桿誤差分量（即96 次諧波）的幅值為3.20″，首先計算A96絕=3.20×96=307″，然后將其和d 齒輪的分度圓直徑代入式（5），得到d 齒輪的偏心量e2=149 μm，將重新加工好的帶e2偏心的齒輪d 裝好，然后調(diào)節(jié)安裝角度，當(dāng)96次諧波幅值最小時即為最佳位置。這時，測出的傳動誤差曲線和頻譜圖如圖5 所示。

從圖5b 可以看出，經(jīng)過錐齒輪和蝸桿誤差修正后，只剩下傳動誤差曲線中1 次諧波誤差特別突出，而其它高頻誤差幅值比較小。

圖6 帶偏心的e 和d 齒輪后的實物圖，圖中齒輪中間的接盤是為了調(diào)節(jié)安裝角度的裝置。

4 對蝸輪環(huán)節(jié)的修正

對于蝸輪的修正要比前面兩個的修正過程要復(fù)雜一些，因為蝸輪引入的誤差不是單純的正弦規(guī)律，即使是正弦規(guī)律，由于它是傳動鏈的末端，無法使用加偏心的方法進行修正。蝸輪引入的誤差比較復(fù)雜，這是由于蝸輪加工工藝等原因引入的，因此對于這種復(fù)雜的誤差必須采用另外的方法進行修正。

滾齒機加工斜齒輪時需要兩個運動，一個是產(chǎn)生漸開線的展成運動，這個運動與加工直齒輪時相同，即滾刀旋轉(zhuǎn)和工件旋轉(zhuǎn)的運動；另一個是產(chǎn)生螺旋線的成形運動，它也可分解為兩部分，即刀架的直線運動和工件的附加轉(zhuǎn)動。由于形成漸開線要求工件轉(zhuǎn)動，差動傳動鏈也要求工件附加轉(zhuǎn)動，但是這兩個運動如果同時傳給工件，會使工件發(fā)生干涉。因此需要一個運動合成裝置，差動裝置是根據(jù)行星齒輪的原理來設(shè)計的，它的作用是將兩個輸入合成一個輸出。因此，可以利用差動裝置來對蝸輪的誤差進行修正，讓差動鏈的附加運動產(chǎn)生的誤差剛好和蝸輪產(chǎn)生的誤差相互抵消，從而達到修正蝸輪誤差的目的。滾齒機蝸輪修正原理圖如圖7 所示。

如圖7 所示，a′～d′4 個齒輪是差動掛輪組。此處a′換成凸輪，b′上安裝擺桿，c′、d′作為放大比調(diào)整齒輪（這里采用1：1）。用彈簧來保證擺桿與凸輪單向貼緊，凸輪半徑的變化將通過擺桿使b′軸增加一個回轉(zhuǎn)運動，該運動通過c′，d′，差動機構(gòu)將會給工作臺帶來一個附加的運動。a″～f″為進給掛輪組，為了達到修正蝸輪誤差的目的，一定要使凸輪和工作臺同步轉(zhuǎn)動，也就是a′軸與工作臺的傳動比為1:1，才能保證凸輪正好能夠修復(fù)蝸輪一周的誤差。

接著就是確定凸輪半徑變化方向和誤差曲線的關(guān)系。經(jīng)過實測，凸輪半徑增加時，誤差曲線會向下偏移，也就是說將原始誤差曲線做成凸輪半徑正變化，這時附加運動產(chǎn)生的誤差曲線應(yīng)和原始誤差曲線相反，也就是起到了修正誤差的目的。

下面工作重點就是對圖5a 誤差曲線進行分離［6-8］并提取出蝸輪誤差曲線，然后根據(jù)這一誤差曲線設(shè)計一個合適的差動鏈補償系統(tǒng)將其修正。對曲線進行誤差分離，分離成兩條曲線，如圖8 所示。圖8b是此誤差曲線對應(yīng)的長周期（累積誤差）曲線，圖8c是對應(yīng)的短周期曲線。圖8b 中的曲線代表蝸輪運動一周的誤差變化，利用這條曲線制作一個凸輪，凸輪一周的半徑變化規(guī)律與曲線變化規(guī)律一致。讓這個凸輪和機床的蝸輪同步轉(zhuǎn)動，則凸輪引起的附加運動與圖8b 中的曲線代表的誤差相抵消。

為了將圖8b 中曲線各點數(shù)據(jù)變成凸輪半徑的變化，需要計算誤差曲線上1″誤差對應(yīng)擺桿末端偏移的距離（凸輪半徑的變化量），也就是折算系數(shù)。設(shè)擺桿長度為R擺，b′軸對工作臺的傳動比為I擺，那么折算系數(shù)k 為

由式（6）可以看出，為了使計算方便，設(shè)計擺桿R擺=206 mm 將會簡化公式，當(dāng)Ai=1″時，折算系數(shù)k=I擺。由圖7 中的傳動鏈可以得出I擺=288，因此折算系數(shù)k=288，單位為mm/（″）。算出折算系數(shù)后，就可以根據(jù)圖7b 中的曲線數(shù)據(jù)計算凸輪的半徑偏移量。設(shè)曲線中第i 個點的數(shù)值為Di（單位為（″）），那個i 點對應(yīng)的半徑Δri為

設(shè)r 為凸輪沒有半徑變化時的半徑（也就是凸輪初始時是個圓），凸輪第i 點的半徑r凸i（單位為mm）為

凸輪半徑數(shù)據(jù)計算出來后，要對得出的數(shù)據(jù)進行適當(dāng)?shù)奶幚?，使其可以在線切割機床中加工出來。AutoCAD 中可以使用命令窗口輸入命令，由于傳動誤差曲線每周的采樣點數(shù)為1000，每個點對應(yīng)的角度值為360/1000=0.36°，因此設(shè)計一個等差數(shù)列，從0°開始，依次增加0.36°，一直增加到360°，第i 個角度值對應(yīng)的半徑為r凸i，然后以極坐標(biāo)命令形式畫出凸輪。將畫好的圖紙導(dǎo)出成線切割可以辨識的文件格式，導(dǎo)入線切割機床主控系統(tǒng)后就可以加工凸輪了。安裝后的凸輪如圖9 所示。

凸輪安裝完后測試，得到最終的傳動誤差曲線及頻譜如圖10 所示。測試數(shù)據(jù)為：傳動誤差7.55″，周期誤差4.23″，累積誤差3.41″。

5 結(jié)果分析與總結(jié)

國標(biāo)GB10089 -88 中蝸輪副傳動切向綜合誤差ΔF′ic（可理解為傳動誤差），傳動一齒切向綜合誤差Δf′ic（可理解為周期誤差），可根據(jù)國標(biāo)中給出的公式和數(shù)據(jù)表進行計算得出。對照這兩項指標(biāo)，以精度較低的等級為準(zhǔn)，表明本機床已從出廠規(guī)定的6 級加工精度，提高到1 級或2 級精度。其效果是非常明顯的。而實際加工精度還要取決于刀具、裝夾和操作等因素。

此外還可看出，經(jīng)過三次誤差修正后，傳動誤差曲線基本上是一條比較直的曲線，基于諧波分析修正技術(shù)行之有效。下一步采取兩條途徑可以進一步改進測量效果，一條是增大采樣點數(shù)，使傳動誤差曲線更能反映真實的誤差情況；另一條是采用新的方法加工凸輪，使凸輪的精度進一步提高。計劃采用時柵空心轉(zhuǎn)臺（提高凸輪的分度精度）和帶鉬絲直徑補償系統(tǒng)的線切割機床加工凸輪。這個新式的線切割機床將另文介紹。第三就是在軸承、機床剛性等環(huán)節(jié)再下功夫，有可能將高頻誤差進一步縮小。

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