尹曉峰

(安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230039)

物理教學(xué)中涉及到的幾種熵及其拓展簡介

尹曉峰

(安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院,安徽合肥 230039)

本文著重介紹了物理教學(xué)中涉及到的克勞修斯熵、玻爾茲曼熵和信息熵的概念,詳細(xì)闡述了它們的物理意義。另外本文還簡單介紹了熵在其它科學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用。

信息熵;統(tǒng)計力學(xué)熵;玻爾茲曼熵;熱力學(xué)熵;克勞修斯熵

熵是反映物質(zhì)內(nèi)部狀態(tài)的一個物理量。它不能直接測量,只能推算出來。隨著科學(xué)的發(fā)展,它幾乎在每一個學(xué)科中都產(chǎn)生了新的變種,很難說清楚其全部成員。熵定律存在于我們生活的每一方面,正逐步成為我們用來解釋自然現(xiàn)象、社會現(xiàn)象的科學(xué)理論。愛因斯坦曾說過“熵理論,對于整個科學(xué)來說是第一法則”。那么熵的物理意義究竟是什么呢?本文對物理教學(xué)中涉及到的幾種熵(即克勞修斯熵、玻爾茲曼熵、信息熵)的概念作了詳細(xì)地介紹,同時闡述了它們的物理意義。另外,還對熵在其它科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用作了點簡單地介紹。文章試圖使初學(xué)者對熵有較全面的了解,對物理學(xué)中涉及到的幾種熵則有較深刻的認(rèn)識。

1 熵的定義

熱力學(xué)第二定律是獨立于熱力學(xué)第一定律的另一個基本規(guī)律,它要解決的是與熱現(xiàn)象有關(guān)的能量傳遞和轉(zhuǎn)化過程的方向性和不可逆性問題。熱力學(xué)第二定律有多種不同的表述形式,在物理化學(xué)中最常用的是下面兩種說法:

克勞修斯(Clausius)的說法(1850年):不可能把熱從低溫物體傳到高溫物體而不留下任何其它變化。

開爾文(Kelvin)的說法(1851年):不可能從單一熱源吸熱并使之全部轉(zhuǎn)變?yōu)楣Χ涣粝氯魏纹渌兓?/p>

為了能定量描述熱力學(xué)第二定律,1854年德國科學(xué)家克勞修斯提出了一個新的態(tài)函數(shù)——熵 S,1865年又將熱力學(xué)第二定律用不等式ΔS≥0定量來描述。考慮到S的物理意義與“能”相近,在字形上也應(yīng)盡可能的相似,克勞修斯把它稱為“entropy”,“entropy”在希臘語中的源意為“內(nèi)向”,亦即“一個系統(tǒng)不受外部干擾時往內(nèi)部最穩(wěn)定態(tài)發(fā)展的特性”。中文“嫡”,是由我國物理學(xué)家胡剛復(fù)先生于1923年5月25日,為普朗克在南京的講演做翻譯時所創(chuàng)?！癳ntropy”這個概念很復(fù)雜,胡先生想了一個簡單的方法,根據(jù)公式認(rèn)為 S為熱量與溫度之商,而且此概念與火有關(guān),構(gòu)成一個新字“熵”?！办亍毕喈?dāng)貼切,又形象地表達(dá)了態(tài)函數(shù)“entropy”的物理概念,因此被廣泛采用[1]。

2 熱力學(xué)熵分析

1865年克勞修斯在《關(guān)于機(jī)械熱理論主要方程的各種應(yīng)用的簡便形式》論文中,給出了一般的循環(huán)過程:等號對應(yīng)可逆過程,不等號對應(yīng)于不可逆過程。由此熵S的定義為當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)歷絕熱過程或系統(tǒng)是孤立的時候,dQ=0,此時dS≥0,即熵增原理:孤立系統(tǒng)或絕熱過程熵總是增加的。由此定義的熵稱克勞修斯熵,或熱力學(xué)熵[2]。克勞修斯首先考察自行發(fā)生的“正過程”和必須在外界干預(yù)或補償?shù)臈l件下才能實現(xiàn)的“逆過程”,尋找到一個“轉(zhuǎn)變含量”S把不同形式的轉(zhuǎn)變過程相互比較,從而使熱力學(xué)第二定律定量化,最終得以有熵的誕生。熵在宏觀意義上也可以作為能量在空間分布的均勻度的量度,能量分布越不均勻,有序度越高,則熵就越小,能量轉(zhuǎn)化為功的效率越高。若能量分布已完全均勻,熵達(dá)到最大,這時不可能再發(fā)生宏觀流,也就不能獲得功。當(dāng)能量從一個較高的集中程度轉(zhuǎn)化到一個較低的集中程度(或由較高溫度變?yōu)檩^低溫度)時,它就做了功。每一次能量從一個水平轉(zhuǎn)化到另一個水平,都意味著下一次能再做功的能量就減少了。比如河水越過水壩流入湖泊。當(dāng)河水下落時,它可被用來發(fā)電,驅(qū)動水輪,或做其他形式的功。然而水一旦落到壩底,就處于不能再做功的狀態(tài)了。所以,熵可作為能量不可用程度的量度。根據(jù)卡諾熱機(jī)的效率公式也可得同樣結(jié)論:η=W/Q=(T-T0)/T ＞η1=(T1-T0)/T 。其中,T＞ T1＞ T0,所以,T1比 T更接近于T0,相同的熱量傳遞卻只能做更少的功。

孤立系統(tǒng)中自發(fā)過程會使系統(tǒng)的熵增大,其物理實質(zhì)何在?在一定條件下,系統(tǒng)有從非平衡態(tài)自發(fā)過渡到平衡態(tài)的傾向,這種傾向在宏觀上為什么總是單向的?有沒有可能自動出現(xiàn)相反的傾向?為什么與熱相聯(lián)系的一切宏觀過程都是不可逆的?對這一系列問題,熱力學(xué)都不能給予本質(zhì)的回答。需要采用微觀統(tǒng)計的方法來探討關(guān)于過程不可逆性及熵函數(shù)的微觀意義,也只有這樣才能更深刻地認(rèn)識熱力學(xué)第二定律的本質(zhì),并使第二定律的應(yīng)用從熱力學(xué)的范疇擴(kuò)展到自然科學(xué)的其他分支。

3 統(tǒng)計力學(xué)熵分析

在維也納中央公墓,玻爾茲曼的墓碑上沒有墓志銘,僅僅銘刻著:S=klnW,后人評價,在簡潔與深邃之間,整個物理學(xué)史上,能與之媲美的僅有牛頓的→F=m→a和愛因斯坦的 E=m c2[3]。玻爾茲曼公式適用于系統(tǒng)所有微觀態(tài)等概率出現(xiàn)的假設(shè)平衡態(tài)體系,式中k是波爾茲曼常數(shù),W為該宏觀狀態(tài)的熱力學(xué)概率。該公式所定義的熵也被科學(xué)家們稱為統(tǒng)計力學(xué)熵,玻爾茲曼熵。

平衡態(tài)體系內(nèi)微觀粒子無規(guī)則運動與非平衡態(tài)粒子運動相比混亂度更大,即當(dāng)粒子無規(guī)則運動最亂、最無序時,才能使體系內(nèi)部各處的溫度、密度等性質(zhì)達(dá)到均勻一致,以致最后趨向于平衡態(tài)。根據(jù)公式:S=klnW可知,過程總是從熱力學(xué)幾率小的狀態(tài)向熱力學(xué)幾率大的狀態(tài)過渡。所以熵增加的過程,即孤立系統(tǒng)由非平衡態(tài)趨向平衡態(tài)的過程,正是體系內(nèi)微觀粒子無規(guī)則運動由不太亂變得更加亂的過程。由此可見,熵的物理意義在微觀上正是粒子無規(guī)則運動混亂程度(或無序程度)的量度。熵增加就是從有序向無序發(fā)展的過程。

統(tǒng)計熵指出,孤立系統(tǒng)必然要從包含微觀態(tài)數(shù)目少的宏觀狀態(tài)向包含微觀態(tài)數(shù)目多的宏觀狀態(tài)演化;必然要從各微觀態(tài)概率分布不均勻的狀態(tài)向各微觀態(tài)概率分布均勻的狀態(tài)演化。比如,在孤立系統(tǒng)中,氣體總是從高壓流向低壓,直到壓力相等為止;熱從高溫流向低溫直到溫度相等為止;兩種氣體相互混合,便相互擴(kuò)散達(dá)到均勻狀態(tài)為止等,都是從熵小的狀態(tài)向熵大的狀態(tài)轉(zhuǎn)變。

克勞修斯熵只對系統(tǒng)的平衡狀態(tài)才有意義,因為平衡態(tài)的熵有最大值,可以說克勞修斯熵是玻爾茲曼熵的最大值。此外,玻爾茲曼的統(tǒng)計熵與克勞修斯熵相比還有有三個方面的優(yōu)點:其一是它能對體系自身的熵值進(jìn)行度量,而克勞修斯熵只度量了體系的熵變的量,這造成了對體系熵變的度量便是相對的而非絕對的;其二是它把體系的熵的大小直接與體系微觀態(tài)的數(shù)目及其各自的發(fā)生概率關(guān)聯(lián)起來,而克勞修斯熵是通過熱量的變化和對體系影響的中間環(huán)節(jié)來間接地測度體系熵的變化,這造成了對體系熵變的度量模糊不清;其三,玻爾茲曼熵內(nèi)在包含著對熱量之外的因素所規(guī)定的體系熵值的度量,而克勞修斯熵只對由熱能的增減這一單一因素的影響所引起的體系熵變量進(jìn)行了度量,至于由其他因素所可能引起的體系熵變則是此公式所無法說明的,從公式的形式來看,這一點也是很明白的,這就是公式的結(jié)果只和δQ(熱能的改變量)和 T(體系的溫度)相關(guān),這造成了對體系熵變的度量便是狹隘的。由于存在這三方面的優(yōu)勢,玻爾茲曼熵便很容易被拓展為廣義熵。

4 信息熵分析

1948年,C.E.Shannon將統(tǒng)計熵概念擴(kuò)展到了信息論的研究之中,給熵以新的意義,這樣熵不僅是物理學(xué)中極為重要的物理概念,而且在數(shù)學(xué),化學(xué),宇宙學(xué)、生物學(xué)、信息論、控制論、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會學(xué)及各種工程科學(xué)等領(lǐng)域顯露頭角。

申農(nóng)把信息熵和統(tǒng)計力學(xué)熵概念相聯(lián)系,認(rèn)為它作為信息、選擇和不確定性的度量,與統(tǒng)計力學(xué)中熵的公式是一樣的。物理熵和信息熵,兩者的主要特性相同,后者可看成是前者的推廣,而其差異則可互為補充,從而有可能統(tǒng)一成為一種應(yīng)用廣泛的統(tǒng)計熵。關(guān)于信息熵的詳細(xì)數(shù)學(xué)性質(zhì),請參閱文獻(xiàn)[4,5]。他將所有事件組成的整體作為一個系統(tǒng),每個事件為一個子系統(tǒng),所有子系統(tǒng)等概念出現(xiàn),即最均勻分布,此時熵最大。例如:以紡織行業(yè)為系統(tǒng),以每個紡織廠為子系統(tǒng),計算棉紗產(chǎn)量的信息熵的大小,不僅可以反映出這些工廠產(chǎn)量的分布是比較平均(熵值較大),還是比較集中(熵值較小);而且還可以得出系統(tǒng)在外界影響下的行為:系統(tǒng)熵大時,系統(tǒng)的抗“災(zāi)害”能力較強,不論哪一個工廠產(chǎn)量受損失,整個系統(tǒng)的產(chǎn)量損失都不大;反之,生產(chǎn)比較集中,一旦受損失將對整個系統(tǒng)產(chǎn)生很大影響。信息熵的不確定性與子系統(tǒng)的平均程度同向變化。

顯然,在熱力學(xué)中熵作為不可用能的度量、在統(tǒng)計物理學(xué)中熵是系統(tǒng)無序程度的度量、在信息論中熵是系統(tǒng)不確定程度的度量。這些定義都根據(jù)不同的研究領(lǐng)域、不同的熵計算公式所解釋的。據(jù)不完全統(tǒng)計,目前至少有70～80種熵分別應(yīng)用于生命科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、哲學(xué)、文學(xué)、藝術(shù)、歷史學(xué)、語言學(xué)、宗教學(xué)等各個領(lǐng)域中。在不同的學(xué)科中,產(chǎn)生了許多的新的熵概念:地理熵、氣象熵、生命系統(tǒng)熵、農(nóng)業(yè)系統(tǒng)熵、社會熵、經(jīng)濟(jì)熵、文化熵、人體熵、精神熵、思維熵、心熵、環(huán)境熵[6]等等。在這些場合中,有些只是用作“無序程度”的代名詞,描述過程的發(fā)展方向,用法是熵的本來意義的延伸。21世紀(jì),隨著熵理論應(yīng)用趨于普遍,也需要一個更為一般的定義。

[1] 馮端,馮少彤.溯源探幽:熵的世界[M].北京:科學(xué)出版社,2005:28-35.

[2] 李鶴齡.信息熵、波爾茲曼熵以及克勞修斯熵之間的關(guān)系[J].大學(xué)物理,2004,12:37-40.

[3] 馮端,馮少彤.溯源探幽:熵的世界[M].北京:科學(xué)出版社,2005:50-55.

[4] Shannon C E.A mathematical theory of communication[J].Bell Sys Tech J,1948,27:379-433.

[5] Shannon C E.A mathematical theory of communication[J].Bell Sys Tech J,1948,27:623-659.

[6] Rifkin J,Howard T.熵:一種新的世界觀[M].上海:譯文出版社,1987.

Entropies in Physics Teaching and Brief Introduction about Their Extensions

YIN Xiao-feng(School of Physics&M aterial Science,Anhui University,Hefei 230039,China)

In this paper the concep tionsof the Clausius entropy and the Biltzmann entropy aswell as the information entropy confronted in physics teaching are amp ly described.Their physicalmeaningsare expatiated.Moreover,the concise introduction of their extensions in other science fields is also offered.

Clausius entropy;Thermodynam ic entropy;Biltzmann entropy;statistical entropy;Info rmation entropy

G642.0

B

1674-2273(2010)06-0045-03

2010-03-25

尹曉峰(1971-),女,安徽大學(xué)物理與材料科學(xué)學(xué)院教師,研究方向:電磁場理論。