王鷺萍

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整值多項(xiàng)式的若干問題研究及其應(yīng)用

王鷺萍

(福建體育職業(yè)技術(shù)學(xué)院，福建 福州 350003)

探討整值多項(xiàng)式及其恒因子，并給出費(fèi)馬小定理的一種證明方法．

整值多項(xiàng)式；費(fèi)馬小定理；恒因子

1 引言與預(yù)備知識

費(fèi)馬小定理是數(shù)論、近世代數(shù)等學(xué)科的奠基性定理之一．在文[6]中，王志蘭給出了費(fèi)馬小定理的五種證明方法，文[7]給出了該定理的幾何意義，文[8]討論了函數(shù)周期點(diǎn)數(shù)的計(jì)算，并得出了費(fèi)馬-歐拉定理．就費(fèi)馬小定理的提出至今，引起了諸多數(shù)學(xué)工作者的關(guān)注，并致力于對該定理的證明．為此，本文通過對整值多項(xiàng)式的研究，給出其新的證明．

在文[1]中，P．Cahen和J．Chaber就Noetherian定義域的Elasticity作了探究，證明了整值多項(xiàng)式環(huán)的Elasticity是無限的．V．Laohakosol將整值多項(xiàng)式的研究推廣至Galois域．文[3]、[4]、[6]就整值多項(xiàng)式得性質(zhì)及其判定條件做了若干研究．

受文章[1]-[6]的啟發(fā)，本文主要研究整值多項(xiàng)式的若干性質(zhì)，首先給出了費(fèi)馬小定理的一種新證明．進(jìn)一步地，就多項(xiàng)式的恒因子進(jìn)行考察，給出了恒因子的兩種等價(jià)定義，最后舉例說明恒因子的尋求方法．

為了討論方便起見，我們先給出整值多項(xiàng)式的一條等價(jià)定義．

2 費(fèi)馬小定理的新證明與恒因子

費(fèi)馬小定理給出的是任意整數(shù)的素?cái)?shù)方冪與該整數(shù)的同余關(guān)系．試問：能否運(yùn)用整值多項(xiàng)式，給出費(fèi)馬小定理的一種新的證明方法？

下面，我們給出費(fèi)馬小定理的新證明．

解決了費(fèi)馬小定理的證明后，我們再來思考這樣的一個(gè)問題．

3 整值多項(xiàng)式的幾點(diǎn)應(yīng)用

根據(jù)前一節(jié)討論的結(jié)果，我們舉例說明如何尋求整值多項(xiàng)式的恒因子及最大恒因子．

綜述：本文主要介紹整值多項(xiàng)式，對整值多項(xiàng)式的等價(jià)定義，描述及表示進(jìn)行探究．并應(yīng)用整值多項(xiàng)式給出了費(fèi)馬小定理的一種證明方法．對整值多項(xiàng)式的恒因子的探究給出了恒因子的兩種等價(jià)定義，并舉例說明如何尋找恒因子．文章中在尋找恒因子的探究中，計(jì)算量比較大，特別是第二種方法．所以希望可以尋求更簡單的求法．有興趣的讀者可以做進(jìn)一步的探索．

[1] Paul-Jean Cahen,Jean-Luc Chabert．Elasticity for integral-valued polynomials[J]．J．Pure Appl．Algebra，1995，103(3)：303－311.

[2] V．Laohakosol．[J]．ACTA ARITHMETICA，1998，LXXXVII．(1)：13－26.

[3] 楊繼明．關(guān)于整值多項(xiàng)式的若干特征及其判別法[J]．玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào)，1986(3)：97－101.

[4] 李瑞林．整值多項(xiàng)式判定定理及其應(yīng)用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué),1983(01)：31－32.

[5] 陳永林．整值多項(xiàng)式的判定定理[J]．中學(xué)數(shù)學(xué)教 學(xué),1982(02)：13－15.

[6] 王志蘭．費(fèi)馬小定理的幾種證法及應(yīng)用[J]．廊坊師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2009，9(6)：11－13.

[7] 吳延?xùn)|．費(fèi)馬小定理的幾何意義[J]．淮陰工學(xué)院學(xué)報(bào)，2007，16(3)：1－2.

[8] 史天勤,楊麗賢．周期點(diǎn)計(jì)數(shù)及費(fèi)馬小定理的推廣[J]．吉林工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，1996,26(2)：74－76.

Some Researches of the Integral Valued Polynomial and Its Applications

WANG Lu-ping

(Fujian sports vocational education and technical college，F(xiàn)ujian Fuzhou，350003，China)

This paper investigates the integral valued polynomial and its identity factors, also gives a new proof for Fermat's little theorem．

Integral valued polynomial; Fermat's little theorem; identity factor

2010－09－24

王鷺萍（1963－），女，河北武安人，高級講師，學(xué)士。研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

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1673-1417（2010）04-0072-04