羅 汀 田新國(guó)

(北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院,北京 100191)

考慮土漸近狀態(tài)特性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

羅 汀 田新國(guó)

(北京航空航天大學(xué) 交通科學(xué)與工程學(xué)院,北京 100191)

在經(jīng)典彈塑性理論框架下,根據(jù) SMP(Spatially Mobilized Plane)破壞準(zhǔn)則并結(jié)合變換應(yīng)力方法,通過(guò)引入準(zhǔn)彈性體積模量的概念,建立了用增量法表示的考慮土漸近狀態(tài)特性的三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式.針對(duì)三軸壓縮應(yīng)力條件,給出了相應(yīng)的簡(jiǎn)化應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽烤仃?以三軸壓縮試驗(yàn)中的常規(guī)三軸壓縮、不排水剪切和控制應(yīng)變?cè)隽勘鹊?3種應(yīng)力路徑為例,推導(dǎo)出了便于應(yīng)用的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系式.最后,利用文中的公式進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析和試驗(yàn)對(duì)比,結(jié)果表明:新推導(dǎo)的公式能方便地預(yù)測(cè)考慮漸近狀態(tài)特性下土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,并能合理描述試驗(yàn)結(jié)果.

土;漸近狀態(tài);彈塑性;應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系

地基中飽和土通常是在某種約束下受力變形的,這種變形約束會(huì)影響到土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,即對(duì)于同一種土,不同的變形約束條件會(huì)對(duì)應(yīng)著不同的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律.而且在變形約束下的剪切受力極限應(yīng)力比有時(shí)會(huì)比峰值破壞應(yīng)力比低很多.作者等在土的統(tǒng)一硬化模型[1]的基礎(chǔ)上,采用耦合硬化和非耦合硬化相結(jié)合的思路提出了一個(gè)能反映飽和砂土漸近狀態(tài)特性的本構(gòu)模型[2],該模型能夠合理預(yù)測(cè)各種復(fù)雜應(yīng)力路徑下的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律,也包括合理預(yù)測(cè)各種路徑下的極限應(yīng)力比.

地基中的應(yīng)力狀態(tài)一般是三維的,如果不對(duì)已經(jīng)提出的反映漸近狀態(tài)特性的本構(gòu)模型合理三維化,在三軸壓縮以外應(yīng)力狀態(tài)的土的應(yīng)力應(yīng)變特性還是得不到合理描述.本文在經(jīng)典彈塑性理論的框架下,建立了用增量法表示的考慮漸近狀態(tài)特性的土應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式,合理考慮了非耦合部分塑性應(yīng)變?cè)隽康挠?jì)算.對(duì)于三維應(yīng)力狀態(tài),給出了結(jié)合變換應(yīng)力方法的三維應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽烤仃?也即彈塑性本構(gòu)張量.針對(duì)土工試驗(yàn)中常見(jiàn)的各種應(yīng)力路徑,推導(dǎo)出便于應(yīng)用的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式.此外還應(yīng)用文中的應(yīng)力應(yīng)變公式進(jìn)行了預(yù)測(cè)分析.

1 漸進(jìn)狀態(tài)模型

考慮到不同約束條件下砂土具有不同的峰值強(qiáng)度,為了能夠合理地表示不同約束條件的影響,把硬化參量 H分解為耦合硬化參量 Hc和非耦合硬化參量 Hunc兩部分,硬化參量的耦合部分表示塑性體積應(yīng)變與平均正應(yīng)力 p和廣義剪應(yīng)力 q均相關(guān),硬化參量的非耦合部分表示塑性體積應(yīng)變只由平均正應(yīng)力 p引起,與廣義剪應(yīng)力 q無(wú)關(guān),其中定義的耦合參量 μ可以由峰值應(yīng)力比 Mf和特征狀態(tài)應(yīng)力比 M求出.

漸近狀態(tài)模型中體積應(yīng)變?cè)隽亢蛷V義剪切應(yīng)變?cè)隽慷x為

式中,＜μ＞表示彈塑性區(qū) ＜μ＞=μ,彈性區(qū)＜μ＞=0;cp=(λ-κ)/(1+e0);e0為初始孔隙比;λ和 κ分別是根據(jù)等向固結(jié)試驗(yàn)得出的壓縮和回彈參數(shù).設(shè)

式(1)還可以表示為

式(4)中的彈性部分因?yàn)榧尤肓朔邱詈喜糠值挠绊?所以稱為準(zhǔn)彈性部分.有了式(4),就可以用類(lèi)似于普通彈塑性理論建立應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系那樣建立增量公式.

漸進(jìn)狀態(tài)模型中的耦合塑性應(yīng)變部分仍由常規(guī)的彈塑性理論方法導(dǎo)出.

2 三維化方法

在通常情況下,彈塑性模型三維化是通過(guò)假設(shè)其屈服面在 π平面上為圓形來(lái)實(shí)現(xiàn)的,模型的剪切屈服和剪切破壞均采用擴(kuò)展 Mises準(zhǔn)則.而土材料三軸壓縮和三軸拉伸的強(qiáng)度明顯不同,SMP(Spatially Mobilized Plane)破壞準(zhǔn)則[3]能合理表示這種情況.

為了能夠合理地描述不同情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,可以采用變換應(yīng)力的方法把 SMP外凸三角形變換為圓形,在變換應(yīng)力空間建立本構(gòu)模型就可以反映三維應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系特點(diǎn).變換應(yīng)力計(jì)算公式[4]為

式中 ,當(dāng) i=j時(shí) δij=1,當(dāng) i≠j時(shí) δij=0;qc是 SMP線在三軸壓縮條件下的對(duì)應(yīng)值為

式中,I1,I2,I3為應(yīng)力不變量.在變換應(yīng)力空間平均正應(yīng)力和廣義剪應(yīng)力分別為

在變換應(yīng)力空間屈服函數(shù)為

若取η=q/p,硬化參數(shù) Hc為

塑性勢(shì)函數(shù)為

式中,px為塑性勢(shì)面與p軸的交點(diǎn).

3 基于彈塑性理論的增量公式

由一般的彈塑性理論可知,應(yīng)力增量與應(yīng)變?cè)隽繌椝苄员緲?gòu)張量[5]可寫(xiě)為

考慮非耦合塑性應(yīng)變后:

其中準(zhǔn)彈性本構(gòu)張量可表示為

式中,L*和 G稱為拉梅常數(shù):

把等向固結(jié)試驗(yàn)結(jié)果在 e-ln p坐標(biāo)系中進(jìn)行整理,其關(guān)系為線性關(guān)系的土材料,彈性模量可寫(xiě)為E=3(1-2ν)(1+e0)p/κ,ν是泊松比,K*是考慮非耦合塑性應(yīng)變后的準(zhǔn)彈性體積模量.

下面推求 K*,若應(yīng)力和應(yīng)變分別用 p,q,εv,εd表示,根據(jù)彈性理論,彈性應(yīng)變?cè)隽颗c應(yīng)力增量的關(guān)系為

式中,體積模量 K=E/[3(1-2ν)];De是彈性剛度矩陣,把式(2),式(16)代入式(3)可得

由式(17)可得

所以

根據(jù)彈塑性本構(gòu)理論,經(jīng)推導(dǎo)得

由屈服函數(shù)式(8)求得

式中,Im=I1,I2,I3.

由塑性勢(shì)函數(shù)式(10)求得

把式(21),式(22)代入到式(20),即可得到考慮了土的三維化的漸進(jìn)狀態(tài)模型應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽繌埩?對(duì)于三軸壓縮情況,p=p,q=q,此時(shí)式(20)中的彈塑性本構(gòu)張量可以較為簡(jiǎn)捷地表示出來(lái).

4 三軸壓縮情況

4.1 基本公式

對(duì)于實(shí)驗(yàn)室常用的三軸壓縮情況,式(20)可簡(jiǎn)化為二維形式,用矩陣表示為

經(jīng)推導(dǎo),可得彈塑性剛度矩陣 Dep中的 4個(gè)系數(shù)分別為

由屈服函數(shù)式(8)可知,當(dāng)耦合參數(shù)μ=0,并且 Mf=M時(shí),就是修正 Cam-clay模型,因此在彈塑性剛度矩陣系數(shù)式(24)中,取 μ=0,和 Mf=M(β=1),就可以得到修正 Cam-clay模型的彈塑性剛度矩陣 Dep.

4.2 特殊應(yīng)力路徑下的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽抗?/h3>

在三軸壓縮試驗(yàn)中常見(jiàn)的應(yīng)力路徑有固結(jié)不排水應(yīng)力路徑,σ3=c路徑等,可以根據(jù)式(23)、式(24)預(yù)測(cè)不同應(yīng)力路徑下考慮漸進(jìn)狀態(tài)特性的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.試驗(yàn)中一般體積應(yīng)變?cè)隽亢图魬?yīng)變?cè)隽坎粫?huì)直接給出,而垂直應(yīng)變?cè)隽?dε1在試驗(yàn)中是可以控制的.預(yù)測(cè)時(shí)模擬試驗(yàn)過(guò)程,給出垂直方向的應(yīng)變?cè)隽?dε1,求出水平方向的應(yīng)變?cè)隽?、?yīng)力增量 dε3,dσ1,dσ3分別與 dε1的關(guān)系,其它的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系就很容易得到.

在三軸壓縮條件下

根據(jù)不同的應(yīng)力路徑條件和式(23)～式(26)可以分別求出不同應(yīng)力路徑時(shí)徑向應(yīng)變?cè)隽亢椭鲬?yīng)力增量.

1)固結(jié)不排水剪切路徑.

固結(jié)不排水試驗(yàn)是在某設(shè)定的圍壓下固結(jié),然后在不排水條件下剪切至破壞.把剪切過(guò)程中的條件 dεv=0和式(25)、式 (26)代入式(23)得

整理上式得

2)路徑 σ3=c.

這是實(shí)驗(yàn)室常用的圍壓為常數(shù)的試驗(yàn),把試驗(yàn)條件 dσ3=0和式 (25)、式 (26)代入式 (23)整理得

對(duì)于其他的應(yīng)力路徑也可以參照上述方法得出相應(yīng)的計(jì)算公式.

5 模型預(yù)測(cè)

取土性參數(shù)為[6]ν=0.3,M=1.00,Mf=1.57,λ=0.0048,κ=0.002 8,e0=0.614,根據(jù)漸進(jìn)狀態(tài)模型可求得 M0=1.33,μ=0.54.圖 1是預(yù)測(cè)與實(shí)際的比較,圖 1a是應(yīng)力路徑,圖 1b是應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系.①號(hào)線是不排水剪切試驗(yàn)及預(yù)測(cè)結(jié)果;②號(hào)線是控制應(yīng)變比 n=-0.43的試驗(yàn)及預(yù)測(cè)結(jié)果.由圖可知,不同的變形約束條件對(duì)應(yīng)著不同的應(yīng)力應(yīng)變規(guī)律,預(yù)測(cè)結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合較好.

圖1 漸進(jìn)狀態(tài)模型預(yù)測(cè)與實(shí)測(cè)比較

6 結(jié) 論

1)考慮漸進(jìn)狀態(tài)特性的本構(gòu)模型,實(shí)質(zhì)就是考慮復(fù)雜應(yīng)力路徑影響的本構(gòu)模型,本文建立了考慮漸近狀態(tài)特性土的三維應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)張量.

2)對(duì)于常見(jiàn)的三軸試驗(yàn)應(yīng)力路徑,推導(dǎo)出了便于應(yīng)用的應(yīng)力應(yīng)變?cè)隽筷P(guān)系,修正 Cam-clay模型是其特例.通過(guò)實(shí)例表明,本文的方法能方便地預(yù)測(cè)考慮漸近狀態(tài)特性下土的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系,并能合理描述試驗(yàn)結(jié)果.

References)

[1]Yao Y P,Sun D A,Matsuoka H.A unified constitutive model for both c lay and sand with hardening parameter independent on stress path[J].Computers and Geotechnics,2008,35:210-222

[2]Luo Ting,Yao Yangping,Chu Jian.Asymptotic state behaviour and its modeling for saturated sand[J].Science in China(Ser E),2009,52(8):2350-2358

[3]Matsuoka H,Nakai T.Stress-deformation and strength characteristics of soil under three different principal stresses[J].JSCE Proceedings of the Japan Society of Civil Engineers,1974,232:59-70

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[5]松岡元.地盤(pán)工學(xué)の新しいアプローチ[M].日本:京都大學(xué)學(xué)術(shù)出版會(huì),2003 Matsuoka H.A newmethod for geotechnique[M].Japan:Kyoto University Press,2003(in Japanese)

[6]Chu J,Lo SCR.Asymptotic behaviour of a granular soil in strain path testing[J].Geotechnique,1994,44(1):65-82

(編 輯 :張 嶸)

Stress-strain incremental law in asymptotic state for soils

Luo Ting Tian Xinguo

(School of Transportation Science and Engineering,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)

Based on the classicalelasto-plastic theory,the transformed stress space deduced from the spatially mobilized plane(SMP)criterion and a new concept of similar elastic volume modulus,the stress-strain incremental equations of soils for the asymptotic state constitutive model were established.A simple stress strain incremental matrix under triaxial compression condition was formulated,in which the modified Cam-clay model was a special case.The stress-strain incremental equations were then proposed to simulate the stress strain relationships in some triaxial stress path tests as the triaxial compression,the consolidated undrained and the strain incremental ratio controlled.The proposed equations were used to simulate and compare the triaxial test results.They show that the equations proposed can be used easily and the asymptote state model can describe the stress-strain and strength behaviors of soils reasonably.

soils;asymptotic state;elastop lastic;stress-strain relationship

TU 431

A

1001-5965(2010)03-0315-04

2009-01-01

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50879001,10872016,90815024)

羅 汀(19 57-),福建長(zhǎng)汀人,女,副教授,tluo@buaa.edu.cn.