黃昔光

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,北京 100041)

廖啟征

(北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,北京 100876)

空間 6R串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置逆解新算法

黃昔光

(北方工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,北京 100041)

廖啟征

(北京郵電大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院,北京 100876)

將倍四元數(shù)的復(fù)指數(shù)形式應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析中,提出了空間 6R(R代表轉(zhuǎn)動(dòng)副)串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解新算法.基于倍四元數(shù)建立了空間 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解的數(shù)學(xué)模型;然后,使用線性消元和 Dixon結(jié)式消元法,得到了 6×6的結(jié)式;由于采用未知轉(zhuǎn)角的復(fù)指數(shù)形式,不需要提取任何公因式,可直接獲得該機(jī)構(gòu)位置逆解的一元 16次輸入輸出方程和全部 16組封閉解.最后通過數(shù)字實(shí)例證明了該方法無增根無漏根.算例表明算法簡潔,易于程序?qū)崿F(xiàn),為串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析提供了新的理論基礎(chǔ).

串聯(lián)機(jī)構(gòu);倍四元數(shù);位置逆解

由轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副以及圓柱副組成的空間串聯(lián)機(jī)構(gòu),結(jié)構(gòu)類型有數(shù)十種之多,其運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解能否用統(tǒng)一的算法求解,一直是國內(nèi)外機(jī)構(gòu)學(xué)和機(jī)器人領(lǐng)域的研究目標(biāo).1980年,文獻(xiàn)[1]最早嘗試運(yùn)用球面三角法進(jìn)行統(tǒng)一求解,但最后剩下了 15種機(jī)構(gòu)無法解決.1986年,文獻(xiàn)[2]解決了喻為機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析中的珠穆朗瑪峰難題——7R機(jī)構(gòu)位移分析以后,理論上完成了全部串聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解,但針對(duì)不同類型的串聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí),將產(chǎn)生不同的數(shù)學(xué)模型,需要不同的消元技巧,難以實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)程序自動(dòng)求解.2006年,文獻(xiàn)[3]提出把串聯(lián)運(yùn)動(dòng)鏈拆成幾個(gè)簡單部分的組合,但該方法只適于某些解耦的特殊情況.以往用于串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解數(shù)學(xué)建模的方法主要有D-H矩陣法、球面三角法、實(shí)矩陣法、對(duì)偶數(shù)法等,得到了各不相同的逆解算法,不具有通用性.究其原因,主要是缺乏有效的數(shù)學(xué)建模方法,不能將D-H矩陣中的旋轉(zhuǎn)和平移統(tǒng)一表達(dá),難以建立串聯(lián)機(jī)構(gòu)逆解統(tǒng)一數(shù)學(xué)模型.隨著串聯(lián)機(jī)器人模塊化、可重構(gòu)技術(shù)的發(fā)展,研究 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解新方法,探索串聯(lián)機(jī)構(gòu)統(tǒng)一逆解建模及通用算法,具有重要的理論價(jià)值與實(shí)際意義.

倍四元數(shù)把剛體三維空間的旋轉(zhuǎn)和平移統(tǒng)一為四維空間的純轉(zhuǎn)動(dòng),從而減少了機(jī)構(gòu)的種類.文獻(xiàn)[4]將三維空間中位移表示為四維空間中倍四元數(shù)表示的雙旋轉(zhuǎn);文獻(xiàn)[5]將倍四元數(shù)應(yīng)用于運(yùn)動(dòng)插值中;文獻(xiàn)[6]應(yīng)用倍四元數(shù)對(duì)空間 RR機(jī)器人進(jìn)行綜合;文獻(xiàn)[7]運(yùn)用倍四元數(shù)完成了空間 6自由度串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解,但該方法在構(gòu)造Dixon結(jié)式時(shí),需要通過人工參與查找公因式來消除增根,未能實(shí)現(xiàn)該機(jī)構(gòu)位置逆解的自動(dòng)求解.

本文采用未知轉(zhuǎn)角的復(fù)指數(shù)形式,改進(jìn)了一種空間 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解新算法.基于倍四元數(shù)建立了空間 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解數(shù)學(xué)模型,構(gòu)造了 6×6的 Dixon結(jié)式,新算法不需要提取任何公因式,可直接獲得該機(jī)構(gòu)位置逆解的一元 16次方程及其全部封閉解,方法簡單實(shí)用,易于程序?qū)崿F(xiàn).

1 倍四元數(shù)形式的齊次變換矩陣

串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解數(shù)學(xué)建模通常采用 D-H矩陣法,相鄰關(guān)節(jié)兩坐標(biāo)系 i-1和 i之間的關(guān)系,可通過圖 1中各個(gè)參數(shù)來描述.

圖1 D-H相鄰坐標(biāo)變換

圖1表示坐標(biāo)系 i-1繞自身 z軸旋轉(zhuǎn) θi且沿z軸平移 si后得到一新的坐標(biāo)系;新坐標(biāo)系再繞其自身 x軸旋轉(zhuǎn) αi且沿 x軸平移 ai后得到 i坐標(biāo)系.其中,坐標(biāo)系 i-1繞自身 z軸旋轉(zhuǎn) θi且沿 z軸平移 si的齊次變換矩陣,運(yùn)用倍四元數(shù)可表示為[5]

其中

由式(1)可知,坐標(biāo)系 i-1繞自身 z軸的旋轉(zhuǎn)和平移變換,運(yùn)用倍四元數(shù)可以近似表達(dá)為四維空間中旋轉(zhuǎn)(θ+γ)角和(θ-γ)角的雙旋轉(zhuǎn),從而將 D-H矩陣中的旋轉(zhuǎn)和平移統(tǒng)一為四維空間的雙旋轉(zhuǎn).

為便于運(yùn)算,式(1)可表示為 Clifford代數(shù)形式:

同理,坐標(biāo)系繞其 x軸旋轉(zhuǎn)角 αi且沿 x軸平移 ai的齊次變換矩陣用倍四元數(shù)形式表示為

其中

式中 ρi=ai/R.參考文獻(xiàn)[5],R=L/δ1/2,其中 L為機(jī)器人手臂所能達(dá)到的空間尺寸的最大值,δ為指定的精度.

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)位置逆解

2.1 數(shù)學(xué)建模

6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解就是已知操作臂的末端空間位姿和機(jī)構(gòu)參數(shù) si,ai,αi,求各關(guān)節(jié)的輸入角 θi(i=1,2,…,6).6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)有 6個(gè)關(guān)節(jié),需要經(jīng)過 6次圖 1中的空間三維運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為

G為機(jī)器人操作末端位姿的倍四元數(shù)形式:

根據(jù) Clifford代數(shù)運(yùn)算法則[8],式(6)可以表示為

由式(7)和式 (8)得

將式(2)、式 (5)代入式 (9)、式 (10),根據(jù)四元數(shù)各元素對(duì)應(yīng)相等,得

其中,Ei為 4×16的矩陣;Di為 4×4的矩陣,其元素均為已知結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入?yún)?shù)確定;

2.2 消元過程

采用分步進(jìn)行消元.首先,對(duì)式(11)(取 i=1)進(jìn)行線性消元,消去 θ1和 θ6,并將其代入式(11)(取 i=2);然后運(yùn)用 Dixon結(jié)式消去 θ3,θ4,θ5;最后得到關(guān)于 θ2的 ±8次單變量方程.

當(dāng) i=1時(shí),將式(11)看做關(guān)于 c1c6,c1s6,s1c6,s1s6的線性方程組,得

設(shè) F0(t2,t3,t4,t5)=[f1,f2,f3,f4]T,對(duì)式(16)構(gòu)造 Dixon結(jié)式如下:

其中

展開式(17)得

其中

矩陣 D6×6為一個(gè)只含變量 t2的 6×6方陣,即 Dixon矩陣.

由線性代數(shù)知識(shí)可知,式(18)成立的條件為

矩陣 D6×6每行分子分母關(guān)于變量 t2的最高次數(shù)為 1,2,1,1,2,1,其總和為 8.根據(jù)行列式的運(yùn)算法則可知,展開式(18)后得到只含變量 t2的多項(xiàng)式分子分母最高次數(shù)不會(huì)超過 8.由式(19),不需要提取任何公因式,直接可得

其中,si是由已知參數(shù)確定的系數(shù).求解式(20)可得 t2的 16組解.

2.3 其它變量求解

將所求得的 16個(gè) t2解代入下式:

根據(jù) Cramer法測,可線性求解對(duì)應(yīng) t2的 t4和 t5.

將所求的 t2,t4和 t5代入式(16)中任一式,即可求得對(duì)應(yīng)的 t3.從而求得 θ2,θ3,θ4,θ5,由式(12)～式(15)可求得 θ1和 θ6.

3 數(shù)值算例

采用本文的算法對(duì)文獻(xiàn)[8]中的數(shù)值算例求解,其 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和位置參數(shù)如下:

表 1 數(shù)字實(shí)例的 4組實(shí)數(shù)解 (°)

4 結(jié) 論

1)將倍四元數(shù)的復(fù)指數(shù)形式應(yīng)用于串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解分析中,得出 8個(gè)約束方程,通過線性變換和 Dixon結(jié)式獲得了一元 16次方程及其及全部解析解,求解過程簡潔,易于程序?qū)崿F(xiàn),為 6R串聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解提供了新的算法.

2)倍四元數(shù)把三維空間的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)統(tǒng)一為四維空間的純轉(zhuǎn)動(dòng),因此,本文提出的算法可適用于由轉(zhuǎn)動(dòng)副、移動(dòng)副及圓柱副三種運(yùn)動(dòng)副組成的空間 6自由度串聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)位置逆解.

References)

[1]Duffy J.Analysis of mechanisms and robot manipulators[M].London:Ed wart Arnold Ltd,1980

[2]廖啟征,梁崇高,張啟先.空間 7R機(jī)構(gòu)位移分析的新研究[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),1986,22(3):1-5 Liao Qizheng,Liang Chonggao,Zhang Qixian.New research of displacement analysis of spatial 7R mechanism[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,1986,22(3):1-5(in Chinese)

[3]趙杰,王衛(wèi)忠,蔡鶴皋.可重構(gòu)機(jī)器人封閉形式的運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解計(jì)算[J].機(jī)械工程學(xué)報(bào),2006,42(8):210-214 Zhao Jie,Wang Weizhong,Cai Hegao.Generation of closed-form inverse kinematics for reconfigurable robots[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2006,42(8):210-214(in Chinese)

[4]Etzel K R,McCarthy JM.A metric for spatial displacement using biquaternions on SO(4)[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway,NJ:IEEE,1996:3185-3190

[5]Geng Q J,Varshney A,Menon JP,et al.Double quaternions for motion interpolation[C]//Proceedingsof the ASME DETC'98.Atlanta:ASME,1998:13-16

[6]McCarthy JM.Mechanismssynthesis theory and the design of robots[C]//Proceedings of IEEE International Conference on Robotics and Automation.San Francisco,CA:IEEE,2000:24-28

[7]喬曙光.6自由度串聯(lián)機(jī)械手位置逆解新方法[D].北京:北京郵電大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院,2008 Qiao Shuguang.New algorithm for inverse kinematics of 6 DOF serial manipulator[D].Beijing:School of Automation,Beijing U-niversity of Posts and Telecommunications,2008(in Chinese)

[8]Clifford W K.A prelim inary sketch of biquaternions[G]//Tucker R.Mathematical Papers.London:London Mathematical Society,1882:658

[9]于艷秋,王品,廖啟征.一般 6R機(jī)器人位置反解與運(yùn)動(dòng)仿真[J].中國機(jī)械工程,2003,14(24):2130-2132 Yu Yanqiu,Wang Pin,Liao Qizheng.Forward kinematics analysis of general 6R robot and its simulation[J].China Mechanical Engineering,2003,14(24):2130-2132(in Chinese)

(編 輯:文麗芳)

New algorithm for inverse kinematics of 6R serial robot mechanism

Huang Xiguang

(School of Mechanical and Electrical Engineering,North China University of Technology,Beijing 100041,China)

Liao Qizheng

(School of Automation,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876,China)

The theory of double quaternions and its application in the inverse kinematics of serial mechanisms was introduced.A new algorithm for the inverse kinematics of 6R mechanisms was presented based on the complex exponent form of double quaternions.Based on double quaternions,a mathematical model of 6R mechanisms was created.Then,a 6×6 resultant matrix was obtained directly by using linear elimination and Dixon resultant method,without factoring outor deriving the greatest common divisor,due to the proposed algorithm used the complex exponent form of double quaternions.A 16th degree univariate equation was achieved from the determinant of the matrix and all 16 closed-form solutions were also obtained.The proposed algorithm is comparably easy and simple to program.It was verified by a numerical example that the obtained roots satisfy the original equations.The research result provides a new method for the inverse kinematics of serial mechanisms.

serial mechanism;double quaternions;inverse kinematics

TH 112

A

1001-5965(2010)03-0295-04

2009-03-05

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(50775012);北京市屬院校人才強(qiáng)教計(jì)劃資助項(xiàng)目;北京市特色專業(yè)建設(shè)資助項(xiàng)目;北方工業(yè)大學(xué)?？蒲谢鹳Y助項(xiàng)目

黃昔光(1979-),男,湖南岳陽人,講師,huangxiguang@gmail.com.