張秋爽

習(xí)題在很大程度上承載著評價的任務(wù)：知識點是否清楚，數(shù)學(xué)思想方法是否掌握，是否會應(yīng)用和拓展，能否遷移到新情景等等。下面這道習(xí)題我用列表給學(xué)生講了很多年，自己倒是輕車熟路，但這樣的重復(fù)對于學(xué)生和自身發(fā)展有益嗎?仍舊在老路上行走、徘徊的滋味時時侵蝕著我。如何對習(xí)題進(jìn)行恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)，并不斷變換新情景，對題目進(jìn)行合理的創(chuàng)造，既讓學(xué)生經(jīng)歷過程、體驗方法，又領(lǐng)悟思想?如何找到學(xué)生舊知識中的生長點，將其延伸到其他的領(lǐng)域，讓學(xué)生體會到舉一反三的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值?下面是我對這道習(xí)題處理的三次嘗試和思考。

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[習(xí)題]兩個數(shù)的和是10，這兩個數(shù)的積最大是多少?

[第一次嘗試]

三年級的學(xué)生拿到這個題目，有些學(xué)生覺得無從下手，有的學(xué)生經(jīng)過一段時間嘗試后能夠得出：這兩個數(shù)的積最大是25。

如何呈現(xiàn)學(xué)生的思考過程，讓所有學(xué)生都明白呢?

師：兩個數(shù)的和是10，這兩個數(shù)分別是幾?

生1：這兩個數(shù)不確定，有很多的可能性。

師：可能是什么?

生2：可能是3和7，可能是2和8，可能是4和6，可能是1和9，還可能是5和5。

師：這么多的可能性，也記不住呀!誰能讓大家記住這些可能性?

生3：這兩個數(shù)可能是1和9，可能是2和8，可能是3和7，可能是4和6，還可能是5和5。

師：這樣的有序表達(dá)能讓大家記住，其實這就是有序思考的價值。

生4：這就是我們很小的時候?qū)W習(xí)的10的分解與組合。

師：你真會聯(lián)系!數(shù)學(xué)就需要這種聯(lián)系的方法來解決問題。那我們怎樣寫出來更清楚呢?

生5：我們列表吧，可以把這些答案一一呈現(xiàn)在眼前。

這樣的題目，從學(xué)生已有的知識出發(fā)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識之間是有聯(lián)系的，舊知識是新知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，要學(xué)會有序思考，這樣才能不遺漏、不重復(fù)；學(xué)會了思考還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，更要學(xué)會表達(dá)，讓別人看清楚自己思考的過程。嘗試列表是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，為提升學(xué)生解決問題的能力提供了新的思路

[第二次嘗試]

上面的解答讓我欣喜過，在解題過程有學(xué)生對“有序思考”的詮釋，有對舊知識的關(guān)注。難道這樣的解答就能讓所有的學(xué)生明白嗎?學(xué)生的已有認(rèn)知中只有“10的分解與組合”支撐他們對這道題的學(xué)習(xí)嗎?

于是，我進(jìn)行了第二次嘗試，在學(xué)生理解題意的基礎(chǔ)上。找出兩個加數(shù)的可能性，讓學(xué)生列表寫出思考過程，找出了最大的積是25后，我又給學(xué)生呈現(xiàn)了《乘法口訣表》進(jìn)行教學(xué)：

師：請你找出符合此題答案的乘法算式，說說這些算式有什么特點?

生1：這些算式有1×9=9、2×8=16、3×7=21、4×6=24和5×5=25。

生2：這些算式的積越來越大。

生3：一個因數(shù)越來越大，另一個越來越小，它們相加得10。

師：同樣是相加得10的兩個數(shù)，乘積有大有小。你們能判斷出什么時候乘積比較大，什么時候乘積比較小嗎?

總結(jié)：和一定，差小積大。

下面大家先看一個圖，你看到了什么?

生4：我看到一個長方形的長是9，寬是1，面積是9；還看到一個正方形邊長是5，面積是25。

師：你是從面積的角度來觀察的。

生5：我看到長方形和正方形的周長相等，都是20，但是正方形的面積大。

師：所以“兩個數(shù)的和是10，這兩個數(shù)的積最大是多少?”這道題隨著新知識的學(xué)習(xí)，又可以換成“兩個周長相等的長方形和正方形，哪個圖形的面積比較大?”其實，我們今天的這道題還可以轉(zhuǎn)化為“周長都是20的長方形和正方形，哪個圖形的面積比較大?”

在學(xué)生完成題目的解答之后，教師并沒有停留在答案本身，而是從學(xué)生已有的知識中進(jìn)行合理的建構(gòu)——把學(xué)生倒背如流的乘法口訣進(jìn)一步進(jìn)行開掘，作為學(xué)生對這個結(jié)論理解的另一扇窗戶，這樣不僅溝通了知識間的內(nèi)在聯(lián)系，而且讓學(xué)生覺得許多知識萬變不離其宗。除此之外，學(xué)生思維的憑借有三種：一種是基于形象的思維，一種是基于動作的思維，一種是基于符號和邏輯的思維。這里考慮了學(xué)生思維的特點，運用數(shù)形結(jié)合的思想幫助學(xué)生對所學(xué)知識的理解，符合學(xué)生的認(rèn)知特點。最令人欣喜的是教師能夠挑出數(shù)論中的習(xí)題，和空間與圖形領(lǐng)域巧妙結(jié)合，在變中求不變，從而幫助學(xué)生建立模型。

[第三次嘗試]

學(xué)生會列表了，也能從原有認(rèn)知中找到乘法口訣這個舊知識點作為進(jìn)一步學(xué)習(xí)的支撐，在此基礎(chǔ)上還運用了數(shù)形結(jié)合的思想讓學(xué)生遷移到另一類有關(guān)周長一定、面積大小比較的問題。這些都是在教師引導(dǎo)下完成的。能不能讓學(xué)生自己探究此類習(xí)題呢?

首先讓學(xué)生獨立思考，嘗試用舊知識解決新問題，接著在小組內(nèi)討論。最后在全班交流。

有的學(xué)生真能想到用乘法口訣作為例證，說明“和一定，差小積大”；有的學(xué)生能列表枚舉出所有的答案，還有的學(xué)生能用數(shù)形結(jié)合的方法畫圖來說明：當(dāng)兩個加數(shù)差最小時，積最大，當(dāng)兩個加數(shù)差最大時，積最小。

我們既然可以用二維(面積圖)來詮釋“和一定，差小積大”，能不能用一維的數(shù)直線來表示呢?

數(shù)直線雖然是一維，沒有數(shù)形結(jié)合的形象直觀，但是，數(shù)直線中這種對稱的美讓學(xué)生感受到也是不易的。沒有這樣的工具，學(xué)生根本體會不到。數(shù)學(xué)的本質(zhì)是對數(shù)學(xué)美的追求，其中對稱是數(shù)學(xué)美的核心。由此看來，這三次嘗試，每次都有價值，每次都有拓展和新的視角，這對于學(xué)生來說是必要的。

做完題后：我們并沒有滿足學(xué)生會做這一道題，而是向這一類習(xí)題擴(kuò)展和遷移。這是學(xué)數(shù)學(xué)的價值所在。于是我進(jìn)行了又一次延伸的嘗試：

師：“和一定，差小積大”這個規(guī)律只適用于表內(nèi)乘法嗎?你還能找出這樣的一個算式來說明這個規(guī)律嗎?

生1：11×9和12×8，這兩個算式中因數(shù)的和都是20，因為11-9=2，12-8=4根據(jù)“和一定，差小積大”的規(guī)律，所以11×9>12×8。

師：這個例子舉得好!會舉例說明規(guī)律是理解規(guī)律或概念最重要的方法。我們的規(guī)律真的適合較大數(shù)相乘的大小比較嗎?

生2：老師，肯定適合。這兩個算式，我都口算過，11×9=99，12×8=96，和我們的規(guī)律是吻合的。我還能舉出更大的數(shù)，如113×7和114×6。這兩個算式中因數(shù)的和都是120，而113-7=106，114-6=108，所以113×7>114×6

生3：我還舉了兩位數(shù)乘兩位數(shù)的例子。如23×57和24×56，這兩個算式中因數(shù)的和相等，都是80，因為57-23=34，56--24=22根據(jù)“和一定。差小積大”的規(guī)律，所以23×57<24×56。

通過復(fù)習(xí)乘法口訣表，對筆算乘法進(jìn)行了梳理溝通，并在乘法口訣表中發(fā)現(xiàn)新問題，提煉新方法，提升學(xué)生從不同的角度看問題的意識。由此可見，不斷地嘗試和探索，讓教師不在習(xí)慣中行走，每一天都有新的想法，每種做法都有其獨特的價值。

責(zé)任編輯：陳國慶