邵 瑞,張昌凡,黃宜山,戴 璐

(湖南工業(yè)大學 電氣信息工程學院 ,湖南 株洲 412008）

倒立擺系統(tǒng)作為典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定系統(tǒng),一直是控制理論與應用的熱點問題,不但是驗證現(xiàn)代控制理論的典型實驗裝置,而且其控制方法和思路對處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途.又因其與火箭飛行器及單足機器人有很大的相似之處,引起國內(nèi)外學者的廣泛關注.其控制方法在軍工、航天、機器人領域和一般工業(yè)過程中都有著廣泛的用途.如機器人行走過程中的平衡控制,火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等均涉及到倒置問題,對倒立擺系統(tǒng)的研究在理論和方法論上均有著深遠意義.

目前對倒立擺理論方面的研究已經(jīng)比較成熟,包括系統(tǒng)控制器的設計、自動起擺策略的研究及魯棒性的探討.典型的控制器設計理論有:PID控制、根軌跡以及頻率響應法、狀態(tài)空間法、最優(yōu)控制理論、模糊控制理論、神經(jīng)網(wǎng)絡控制、擬人智能控制、魯棒控制方法、自適應控制等以及這些控制理論的相互組合組成更強大的算法[1-5].起擺策略主要是基于能量的控制策略等[6-8].而這些方法的研究都是以狀態(tài)變量全部可測為前提的,然而,實際系統(tǒng)的狀態(tài)通常是未知或僅為部分可知的.如果僅靠儀器儀表或傳感器等測量手段來獲取控制系統(tǒng)所需要狀態(tài)變量、系統(tǒng)參數(shù)等信息,不但要增大系統(tǒng)開支,也增加了硬件的復雜性,更何況有的信息本身就不便于或是無法通過物理測量獲取.觀測器可以根據(jù)系統(tǒng)模型從部分可測狀態(tài)變量著手,重構出其它不可測的狀態(tài)變量,因而采用觀測器方法,可以在降低測量系統(tǒng)復雜性的基礎上實現(xiàn)高性能控制器的設計,因此,狀態(tài)觀測器的設計是實現(xiàn)高精度控制的關鍵.

在此,應用拉格朗日方程方法建立了環(huán)形一級倒立擺的非線性數(shù)學模型,在應用控制理論分析的基礎上,采用狀態(tài)反饋的極點配置法為倒立擺系統(tǒng)建立了一種合適的控制方案,利用滑?？刂朴嘘P理論設計了滑模狀態(tài)觀測器,并在實際的倒立擺系統(tǒng)中通過運動控制器實現(xiàn)了實時控制,取得了較好的控制效果.

1 系統(tǒng)描述

在忽略了空氣流動,各種摩擦之后,可將倒立擺系統(tǒng)抽象成兩個勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng),如圖1所示.其中,m1代表連桿的質(zhì)量;m2代表擺桿的質(zhì)量;m3代表質(zhì)量塊的質(zhì)量;l1代表連桿長度;l2代表擺桿轉動中心到桿質(zhì)心的距離;θ1代表連桿與水平 x軸的夾角(順時針為正);θ2代表擺桿與垂直向上方向的夾角(順時針為正).

關于倒立擺運動方程的建立和分析,很多文獻都有介紹,主要有牛頓-歐拉方法和拉格朗日方法.這里采用文獻 [9]中介紹的利用拉格朗日方程推導環(huán)形倒立擺運動學方程的方法得到系統(tǒng)的運動方程.

式中:K 12=3g/(4l2),K15=3l1/(4l2).采用角加速度作為輸入,得到方程

圖1 環(huán)形倒立擺系統(tǒng)示意圖Fig.1 The sketch map of the circular inverted pendulum system

2 控制器的設計

由于倒立擺系統(tǒng)是一個單輸入多輸出的非線性絕對不穩(wěn)定系統(tǒng),采用經(jīng)典控制方法的 PID和根軌跡等方法無法滿足同時控制多個輸出量的要求.故這里用 LQR的極點配置法設計控制器[10].

系統(tǒng)實際參數(shù)為 m1=0.234 kg,l1=0.221m,m2=0.13 kg,l2=0.197 5m,m3=0.178 kg,重力加速度取 g=9.8m/s2.代入式 (1)求 K12,K15得 K12=37.215 2,K 15=0.839 2.求出矩陣 A的特征值為0,0,6.100 4和 -6.100 4,有一個特征值大于 0,說明系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定.由 rank([B A*B A^2*B

A^3*B])=4及 rank([C*B C*A*B C*A^2*B C*A^3*B D])=2可知系統(tǒng)可控可觀,故可以對系統(tǒng)進行控制器設計,使系統(tǒng)穩(wěn)定,同時可以設計狀態(tài)觀測器來求取系統(tǒng)中沒有直接測量的速度變量.

在設計此控制器時,控制量 u=-K x,K為線性最優(yōu)反饋增益矩陣.由系統(tǒng)可控,根據(jù)設計經(jīng)驗把極點配置在 p1=-3+2 j;p2=-3-2j;p3=-10;p 4=-20.用 Achermann算法配置閉環(huán)極點[11],調(diào)用 acker()函數(shù),求得 K值為 K=[-69.863 9 595.899 8 -42.724 5 93.809 0].

實際中連桿和擺桿的角度是通過角度編碼器采集數(shù)據(jù)實現(xiàn)測量,相應速度量可以通過加速度傳感器來實現(xiàn)測量,也可以通過采用角度量的差分來近似速度量,因為光電碼器的信號較為可靠.然而應用速度傳感器增加了硬件設備,對角度量的微分不能避免噪聲的干擾,使系統(tǒng)不穩(wěn)定,因此考慮用滑模觀測器來實現(xiàn)對未知變量即速度量的觀測,這樣既簡化了系統(tǒng)硬件設備,又能避免系統(tǒng)噪聲的干擾.

3 滑模觀測器的設計

近年來,滑模變結構控制理論在解決復雜的非線性系統(tǒng)的綜合問題時,取得了突出的進展.國內(nèi)外對滑模變結構在狀態(tài)觀測器的應用已有一定的研究基礎,相關方法相繼被提出[12-15],本文采用文獻 [14]所提滑模變結構觀測器設計方法設計倒立擺系統(tǒng)中的觀測器.

這里所設計的狀態(tài)觀測器,只需已知兩個狀態(tài)變量 x1,x2即可實現(xiàn)對其它兩個狀態(tài)變量 x3,x4的觀測,因而在所研究的實際倒立擺系統(tǒng)中,僅需兩個角度編碼器可完成對系統(tǒng)數(shù)據(jù)的采集,而不需要測量速度的速度傳感器,簡化了系統(tǒng)的硬件需要.

4 系統(tǒng)實現(xiàn)及實驗結果

4.1 倒立擺系統(tǒng)在 Matlab中的仿真

圖2 Simulink仿真結果Fig.2 The results of sim ulation

通過對倒立擺系統(tǒng)控制器和觀測器的仿真,驗證了所提方法的有效性.并對倒立擺系統(tǒng)的非線性等特性有了比較深刻的理解,為進一步的實際試驗奠定了基礎.

4.2 倒立擺實時控制

環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖如圖3所示.

系統(tǒng)包括計算機、運動控制卡、伺服機構、電控箱、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分,組成了一個閉環(huán)系統(tǒng).光電碼盤 1將連桿的角度、角速度信號反饋給伺服驅動器和運動控制卡,擺桿的角度、角速度信號由光電碼盤 2反饋回控制卡.計算機從運動控制卡中讀取實時數(shù)據(jù),確定控制決策,并由運動控制卡來實現(xiàn)該控制決策,產(chǎn)生相應的控制量,驅動電機轉動,帶動連桿運動,保持擺桿的平衡.

環(huán)形倒立擺本體由基座、伺服機構、連桿、一級擺桿、二級擺桿、角度編碼器等組成.其中伺服機構采用的是具有增量式編碼器的交流松下伺服電機.控制伺服電機時,控制器輸出 + /-10 V模擬電壓控制信號.電機型號是 MSMD022P1U,功率 0.2 kW,轉速3 000 r/min.電控箱內(nèi)安裝有交流伺服驅動器、I/O接口板、開關電源、開關和指示燈等電氣元件.

圖4 實際倒立擺系統(tǒng)組成Fig.4 The real circular inverted pendulum system

控制平臺主要組成部分:與 IBM PC,AT機兼容的 PC機、GT-400-SV PCI運動控制卡、運動控制卡用戶接口軟件.這里運動控制卡核心由 ADSP2181數(shù)字信號處理器和 FPGA組成,可以實現(xiàn)高性能的控制計算.GT系列運動控制器提供 C語言函數(shù)庫和W indows動態(tài)鏈接庫,實現(xiàn)復雜的控制功能.并具有可編程事件中斷;可設置跟隨誤差極限、加速度極限、控制輸出極限等,保證控制安全可靠及硬件捕獲原點開關和編碼器 Index信號,實現(xiàn)高精度機器原點位置鎖存.倒立擺實際系統(tǒng)組成如圖4所示.

圖5 環(huán)形倒立擺系統(tǒng)實時控制程序圖Fig.5 The real-time control program of the circular inverted pendulum

圖6 實時控制子系統(tǒng)程序圖Fig.6 The Real control subsystem program

實際控制時,通過把 Matlab 7.1中 Simu link程序編譯到 RTW(Real-TimeW orkshop 6.3)實現(xiàn)對系統(tǒng)的實時控制[16].同時利用 VC++ 語言作為編譯和運行的環(huán)境.利用 Simulink建立的倒立擺系統(tǒng)模型主界面如圖5所示,Real Control子系統(tǒng)程序框圖如圖6所示,其中 Pendulum為倒立擺實際控制對象;observer為滑模觀測器子系統(tǒng),程序如圖7所示.

圖7 觀測器子系統(tǒng)程序圖Fig.7 The observer subsystem p rog ram

圖8 系統(tǒng)實際控制輸出結果Fig.8 The results of real-tim e control system

編譯程序下載到運動控制卡中,采樣周期設置為 0.005 s,這里運動控制卡采用的是深圳固高科技有限公司的 GT系列的 GT-400-SV-PCI板卡,然后運行程序使系統(tǒng)達到穩(wěn)定,利用 x PC Target for Scope獲取實驗輸出波形如圖8所示.由圖8(a),8(b)可知程序執(zhí)行前 6 s是基于能量控制的自動起擺過程,6～9 s是自動起擺到穩(wěn)擺控制的過渡過程.第 7 s左右是程序從自動起擺到穩(wěn)擺控制的切換運行.從圖8(c)和 8(d)中可看出第 9 s時系統(tǒng)到達穩(wěn)定狀態(tài),連桿穩(wěn)定在相對參考位置的 -0.025 rad的位置,擺桿處于動態(tài)平衡狀態(tài),穩(wěn)定到相對參考位置 3.14 rad的位置.同時狀態(tài)變量x3實現(xiàn)了很好的跟蹤.

由以上倒立擺系統(tǒng)的仿真和實際控制結果可以看出,仿真中各加速度變量的觀測值收斂到零,實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制.在實際的倒立擺控制系統(tǒng)中,連桿和擺桿的角度能實現(xiàn)動態(tài)的穩(wěn)定,其各自的加速度量也穩(wěn)定在零點附近.其中連桿的加速度觀測值能跟蹤上實際值.

5 結 語

本文針對環(huán)形倒立擺系統(tǒng)的控制,分別基于最優(yōu)控制理論和滑?？刂评碚撛O計系統(tǒng)的控制器和狀態(tài)觀測器.在保證控制器實現(xiàn)對系統(tǒng)控制的情況下,引入滑模狀態(tài)觀測器實現(xiàn)對未知變量的觀測,簡化了系統(tǒng)硬件,減少了系統(tǒng)對外界噪聲的影響.仿真表明了該觀測器方法的可行性,實際倒立擺控制驗證了該方法的實用性和有效性.

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