許滌非

理論的相對(duì)一致性

許滌非

證明理論的一致性有兩種基本方法:一是直接給出滿足理論的語(yǔ)義結(jié)構(gòu);二是從一種理論的一致性得到要證理論的一致性。相對(duì)化的方法屬于第二種方法,它可以從弱系統(tǒng)的一致性證明強(qiáng)系統(tǒng)的一致性。相對(duì)化證明理論的一致性實(shí)質(zhì)上是以某個(gè)理論為中介,間接地給出滿足理論 T的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)。相對(duì)化的本質(zhì)是“保守性”的翻譯,而“保守性”翻譯恰是從弱系統(tǒng)證明強(qiáng)系統(tǒng)的關(guān)鍵。

理論;相對(duì)化;保守性;一致性

兩個(gè)一階理論T與T′的一致性可以有某種聯(lián)系。如果 T是不比 T′弱的理論(也就是從 T′可推出的東西都可以由 T推出),那么,T′如果能夠推出矛盾,則 T也能夠推出矛盾。所以,從較強(qiáng)的理論的一致性能夠得到較弱理論的一致性。本文的主要目的就是討論一種證明公式集一致性的方法——相對(duì)化,重點(diǎn)說(shuō)明它背后的思想、證明思路以及應(yīng)用。

一、“一致性”概念

一致性是一個(gè)相對(duì)概念,都是相對(duì)某個(gè)系統(tǒng)而言的。常見(jiàn)的一致性有三種,分別是古典一致性、語(yǔ)法一致性和語(yǔ)義一致性。下面是其定義。

定義1.1 古典一致。如果在系統(tǒng)S中,從公式集推不出矛盾,則稱公式集Γ相對(duì)于 S是古典一致的,即:如果不存在公式α使得Γ├Sα且Γ├Sα,則稱Γ相對(duì)于S是古典一致的。

定義1.2 語(yǔ)法不一致,語(yǔ)法一致。如果公式集Γ在系統(tǒng)S中可以推出一切公式,則稱公式集Γ相對(duì)于S是語(yǔ)法不一致的。如果公式集Γ相對(duì)系統(tǒng)S不是語(yǔ)法不一致的,則稱公式集Γ相對(duì)系統(tǒng) S是語(yǔ)法一致的,即:如果存在α,使得并非Γ├Sα,則稱公式集Γ相對(duì)系統(tǒng)S是語(yǔ)法一致的。

定義1.3 語(yǔ)義一致。如果有滿足公式集Γ模型或者解釋,則稱公式集Γ是語(yǔ)義一致的。公式集Γ相對(duì)于系統(tǒng)S是語(yǔ)義一致的,也就是:存在S所屬語(yǔ)言的模型,使得任給Γ中的任意公式α都有M╞α。

需要注意的是,這里的“語(yǔ)義一致”與“廣義語(yǔ)義一致”是不同的。

定義1.4 廣義語(yǔ)義一致。在系統(tǒng)S中,對(duì)于任意公式集Γ,如果Γ├Sα,則Γ╞α,稱該系統(tǒng)廣義語(yǔ)義一致。

廣義語(yǔ)義一致是就某個(gè)邏輯系統(tǒng)而言的,是說(shuō)任何公式集Γ的語(yǔ)法后承都是語(yǔ)義后承。語(yǔ)義一致是就某個(gè)公式集Γ而言的,說(shuō)的是存在滿足某個(gè)公式集Γ的模型。一個(gè)邏輯系統(tǒng)是廣義語(yǔ)義一致的,不一定任一公式集Γ相對(duì)于該系統(tǒng)語(yǔ)義一致。如果這個(gè)公式集包含一對(duì)矛盾的公式,則自然不可滿足,但是此時(shí)仍然有:如果Γ├Sα,則Γ╞α。這就說(shuō)明廣義語(yǔ)義一致與語(yǔ)義一致是不同的概念。

對(duì)于一階邏輯,古典一致性、語(yǔ)法一致性、語(yǔ)義一致性是等價(jià)的。下面是這個(gè)結(jié)果的說(shuō)明。

結(jié)論1.5 古典一致性?語(yǔ)法一致性。

如果Γ語(yǔ)法不一致,則對(duì)任一公式α,Γ├Sα,即存在公式α,使得Γ├Sα且Γ├Sα,即Γ古典不一致;如果Γ古典不一致,則存在公式α,Γ├Sα且Γ├Sα,又由一階邏輯定理Γ├Sα→ α→β,得Γ├Sβ,由β的任意性 ,得Γ語(yǔ)法不一致。

結(jié)論1.6 古典一致性?語(yǔ)義一致性。

如果古典一致,則由一階邏輯的完全性,?？蓾M足,即Γ語(yǔ)義一致。

如果Γ古典不一致,則存在公式α使得Γ├Sα,且Γ├Sα,由一階邏輯的廣義一致性,得Γ╞α且Γ╞α,即不存在滿足Γ的模型,即Γ語(yǔ)義不一致。

結(jié)論1.7 古典一致性?語(yǔ)法一致性?語(yǔ)義一致性。

在不引起歧義的情況下,公式集相對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)S的古典一致性或語(yǔ)法一致性也稱為公式集的古典一致性或語(yǔ)法一致性。實(shí)際上,證明一個(gè)公式集的古典一致性或者語(yǔ)法一致性要?dú)w結(jié)到證明一個(gè)公式的不可證,例如證明公式集的古典一致性,就是證明并非Γ├Sα? α,證明其語(yǔ)法一致性就是證明存在一個(gè)公式α,并非Γ├Sα。但是,要證明一個(gè)公式不能由某個(gè)公式集推出,僅用推演的方法,或者說(shuō)僅從語(yǔ)法的角度是很有難度的。系統(tǒng)的一致性在系統(tǒng)所屬的語(yǔ)言下能否表示、如何表示,是比較復(fù)雜的。這里不討論這個(gè)問(wèn)題。證明公式集是一致的,常用的方法就是利用語(yǔ)義一致性來(lái)證明,也就是找到或者說(shuō)構(gòu)造出滿足公式集的模型,以此說(shuō)明這個(gè)公式集是語(yǔ)義一致的,再由三種一致性的等價(jià)性,可以得到這個(gè)公式集就是古典一致的或者語(yǔ)法一致的。利用語(yǔ)義一致性來(lái)斷言公式集的古典一致性或者語(yǔ)法一致性,是用模型的辦法,而模型是系統(tǒng)外的考察,也就是在系統(tǒng)外給出一個(gè)公式集的模型,而不是在系統(tǒng)內(nèi)去說(shuō)這個(gè)公式集有模型。

相對(duì)化在邏輯研究中是一種重要的方法,特別是對(duì)于證明一階理論的一致性很重要。相對(duì)化本質(zhì)上就是給出一階理論的模型,或者說(shuō)就是證明理論的語(yǔ)義一致性。只不過(guò)這個(gè)模型的存在是通過(guò)另一個(gè)一致一階理論可以描述這個(gè)理論的模型得到的。

二、一階理論

定義2.1 一階理論。設(shè)L是一階語(yǔ)言,T是L語(yǔ)言下的句子集,如果 T的語(yǔ)義后承都在公式集 T中,則稱 T是一階理論。

一階理論是一個(gè)語(yǔ)義后承封閉的句子集(句子是不含自由變?cè)墓?。在一階邏輯中,如果 T├α(α是Γ的語(yǔ)法后承),則有 T╞α(α是Γ的語(yǔ)義后承)。此時(shí)的T可以是任意公式集,所以對(duì)于句子集也會(huì)有這樣的結(jié)果。由于一階理論對(duì)于語(yǔ)義后承封閉,如果 T╞α,則α εT,所以 T├α。因此,一階理論都是有廣義完全性和廣義一致性的,或者說(shuō)一階理論的語(yǔ)義后承與語(yǔ)法后承等價(jià)。需要注意的是,一階理論的廣義一致性(T├α?T╞α)并不意味著T的語(yǔ)義一致性,即不意味著有滿足 T的模型。如果T是一個(gè)不一致的句子集,則任何公式都是它的語(yǔ)義后承。如果句子集 T包括所有L的句子,那么,這個(gè)句子集 T也是一個(gè)一階理論,只不過(guò)是一個(gè)不一致的理論。

現(xiàn)在討論利用相對(duì)化怎樣從一個(gè)理論的一致性得到另一個(gè)理論的一致性。

三、相對(duì)化

定義3.1 公式ψ的φ相對(duì)化ψφ。設(shè)φ是一階語(yǔ)言L的公式,它至多只有一個(gè)自由變?cè)獀1,下面的規(guī)則定義了任意L公式ψ的φ相對(duì)化ψφ:

(1)對(duì)原子公式ψ,ψφ=ψ;

(2)( ψ)φ= ψφ;

(3)(ψ1→ψ2)φ=ψ1φ→ψ2φ;

(4)(?xψ)φ= ?x(φ′[x/v1]→ψφ)(其中ψ′是φ的一個(gè)合適易字,使得x對(duì)v1在φ′代入自由)。

從這個(gè)定義可以看出,公式關(guān)于φ的相對(duì)化主要是改變公式的量詞,也就是規(guī)則(4)的內(nèi)容。它把全稱公式修改為一個(gè)蘊(yùn)涵式,直觀上的意思是:修改論域,“對(duì)所有x,…”改成了“對(duì)所有滿足公式φ的x,…”。

在規(guī)則(4)中,雖然φ′可有多種選擇,但可以約定約束變?cè)鬃謺r(shí)所選用的順序,這樣就可以唯一地確定φ′。以下約定,在做公式的φ′相對(duì)化時(shí),都已做過(guò)了適當(dāng)?shù)囊鬃?,所以規(guī)則(4)一般可以直接寫(xiě)成(?xψ)φ= ?x(φ→ψφ)。

下面定義一個(gè)到一階理論中的相對(duì)化。

定義3.2 φ可定義一個(gè)到 T中的相對(duì)化。設(shè) T是語(yǔ)言L的一階理論,φ是至多只含一個(gè)變?cè)獀1的L公式,如果T與φ滿足以下條件,則稱φ可定義一個(gè)到 T中的相對(duì)化:

(1)T├?v1φ;

(2)對(duì)L的每個(gè)常量符號(hào)c,都有 T├φ[c/v1];

(3)對(duì)每個(gè)n元函數(shù)符號(hào)f,都有 T├?x1…?xn(φ[x1/v1]→ …→φ[xn/v1]→φ[fx1…xn/v1])。

直觀上說(shuō),φ可定義一個(gè)到 T的相對(duì)化,實(shí)際上是用T和φ描述了一個(gè)語(yǔ)言L的結(jié)構(gòu)。我們知道,結(jié)構(gòu)包括論域和語(yǔ)言中非邏輯符號(hào)在論域上解釋,結(jié)構(gòu)的論域要求非空。這個(gè)定義描述的結(jié)構(gòu)是這樣的:條件(1)是用公式φ來(lái)規(guī)定論域非空;(2)和(3)直觀上是說(shuō),常量符號(hào)和函數(shù)符號(hào)的解釋分別是論域上的個(gè)體和論域上的函數(shù)。

這里給出的相對(duì)化解釋在于說(shuō)明這種語(yǔ)法的直觀意義,后面將詳細(xì)討論相對(duì)化的語(yǔ)義。但是公式ψ的φ相對(duì)化ψφ以及φ可定義一個(gè)到 T中的相對(duì)化都是語(yǔ)法定義,不涉及語(yǔ)義。第一個(gè)定義規(guī)定了一種符號(hào)串的變形規(guī)則;第二個(gè)定義規(guī)定了某種特殊的語(yǔ)法推出。

相對(duì)化有一個(gè)重要的結(jié)果,它揭示了兩個(gè)一階理論一致性的關(guān)系。依據(jù)這個(gè)關(guān)系,可以由一個(gè)理論的一致性得到另一個(gè)理論的一致性。

定義3.3 設(shè) T是語(yǔ)言L的理論,L的公式φ可定義一個(gè)到 T中的相對(duì)化,再設(shè)Ψ是L的句子集,使得對(duì)每個(gè)ψ ε Ψ ,都有 T ├ψφ,則

(1)對(duì) L 語(yǔ)句θ,如果Ψ├θ,則 T ├θφ;

(2)如果 T一致,則 Th(Ψ)一致。[1](P195)

如果 T′可以有窮公理化,即 T′=Th(Ψ),其中Ψ是有窮的句子集,那么,上述公理的條件保證了可以從 T的一致性得到 T′的一致性。

前面曾談到涉及相對(duì)化的兩個(gè)定義都是語(yǔ)法定義,從T的一致性到 Th(Ψ)的一致性,利用的是語(yǔ)法證明。公式φ的相對(duì)化ψφ,實(shí)際上是公式變形的函數(shù)(此時(shí)約束變?cè)鬃炙玫淖冊(cè)谴_定的,這一點(diǎn)容易做到)。[2](P53)對(duì)于任何公式ψ,它唯一地指定了ψφ。但是,并不是任何相對(duì)化都能達(dá)到證明一致性的結(jié)果,這里要求φ可以定義一個(gè) T中的相對(duì)化,也就是滿足第二個(gè)定義的語(yǔ)法推出條件。有了這些條件,還要求每個(gè)ψ中的句子ψ,都有T├ψφ。只有這三個(gè)條件都滿足了,才可以用相對(duì)化證明Th(Ψ)一致 。

相對(duì)化證明系統(tǒng)的一致性是一種語(yǔ)法證明方法。除了相對(duì)性,利用其他語(yǔ)法方法證明理論的一致性在現(xiàn)代邏輯中有很多。比如證明一階謂詞邏輯(不含等詞、函數(shù)符號(hào))系統(tǒng)的一致性,就可以從語(yǔ)法的角度,通過(guò)經(jīng)典命題邏輯的一致性得到證明。[3](P95)關(guān)鍵是通過(guò)公式變形函數(shù)f,它規(guī)定了每一個(gè)一階謂詞邏輯公式都唯一對(duì)應(yīng)于一個(gè)命題邏輯公式(f變形實(shí)際上把原子公式與全稱公式都處理成命題變?cè)?,然后證明每一個(gè)一階邏輯定理的f變形都是命題邏輯系統(tǒng)的定理。這樣,如果謂詞邏輯系統(tǒng)是不一致的,則有兩個(gè)相互矛盾的命題都是謂詞邏輯系統(tǒng)的定理。它們所對(duì)應(yīng)的f變形公式也是相互矛盾的,所以f變形后的兩個(gè)相互矛盾的命題邏輯公式也都是命題邏輯的定理,而這是不可能的。再比如,在模態(tài)邏輯系統(tǒng)中證明一些正規(guī)的模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)的一致性也可以用這樣的語(yǔ)法方法,從經(jīng)典的命題邏輯系統(tǒng)的一致性得到這些正規(guī)的模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)的一致性。[4](P95)首先規(guī)定一個(gè)公式變形的函數(shù)P,它規(guī)定了如何把任意的模態(tài)命題公式唯一地對(duì)應(yīng)到一個(gè)命題邏輯公式。P變形就是消去模態(tài)命題邏輯公式的所有模態(tài)詞。然后證明所有的模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)的定理的P變形都是命題邏輯系統(tǒng)的定理。這樣,就可以從經(jīng)典命題邏輯系統(tǒng)的一致性得到正規(guī)模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)的一致性。

這兩個(gè)例子很有代表性。第一個(gè)例子是把謂詞邏輯的語(yǔ)言翻譯成命題邏輯的語(yǔ)言,第二個(gè)例子是在同一種語(yǔ)言下做的公式翻譯。這說(shuō)明可以在同一種語(yǔ)言下利用語(yǔ)法證明系統(tǒng)的一致性,也可以在不同語(yǔ)言下利用語(yǔ)法證明系統(tǒng)的一致性。上述討論的相對(duì)化是在同一種語(yǔ)言下證明系統(tǒng)的一致性,這種相對(duì)化實(shí)質(zhì)上與這兩個(gè)例子沒(méi)有不同,它也是通過(guò)公式變形,然后證明 Th(Ψ)中的公式變形都可以由 T得到,從 T的一致性得到 Th(Ψ)的一致性。

相對(duì)化證明系統(tǒng)的一致性也可以擴(kuò)展到不同語(yǔ)言。

定義3.4 解釋。設(shè)L和L′是兩個(gè)一階語(yǔ)言,T是L的一個(gè)理論,語(yǔ)言L′到理論 T中的解釋?duì)?由下列組成:

(1)指定L的一個(gè)一元謂詞D,使得 T├ExDx,D稱作解釋的域;

(2)對(duì)L′的每個(gè)常量符號(hào)c,δ指定L的一個(gè)常量符號(hào) cδ ,使得 T ├Dcδ;

(3)對(duì)L′的每個(gè)n元函數(shù)符號(hào)f(n≥1),δ指定L的一個(gè)n元函數(shù)符號(hào)fδ,使得 T├?vl…?vn(D vl→…→Dvn →Dfδ(vl…vn));

(4)對(duì)L′的每個(gè)n元謂詞符號(hào)G(n≥1),δ指定L的一個(gè)n元函數(shù)符號(hào) Gδ。

“解釋”一詞很形象。我們知道對(duì)于一階邏輯語(yǔ)言的非邏輯符號(hào)是通過(guò)語(yǔ)義結(jié)構(gòu)給出解釋的,上述“解釋”的定義本質(zhì)上就是通過(guò)理論 T來(lái)描述L′語(yǔ)言的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)。(1)的意思是 T描述了語(yǔ)言L′的一個(gè)語(yǔ)義結(jié)構(gòu)的論域;(2)的意思是 T描述的結(jié)構(gòu)把L′的常量符號(hào)解釋為這個(gè)論域的個(gè)體;(3)的意思是 T描述的結(jié)構(gòu)把L′的函數(shù)符號(hào)解釋為這個(gè)結(jié)構(gòu)論域上的函數(shù);(4)的意思是 T描述的L′的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)如何解釋謂詞。那么,這個(gè)解釋怎樣確定L′句子的真假呢?

首先把L′句子Ψ′中的非邏輯符號(hào)按照δ先換成L中的非邏輯符號(hào)。這樣每一個(gè)Ψ′句子都變形為L(zhǎng)公式Ψ。再通過(guò)Ψ′的Dx相對(duì)化,得到Ψ′Dx。如果 T├ΨDx,則L′公式Ψ′在 T所描述的這個(gè)語(yǔ)義結(jié)構(gòu)中真。當(dāng)然,T應(yīng)該是一個(gè)一致的理論,否則它所描述的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)就是一個(gè)矛盾結(jié)構(gòu),這與我們對(duì)語(yǔ)義結(jié)構(gòu)的要求相悖。因此,一致的理論可以描述一個(gè)語(yǔ)言的語(yǔ)義結(jié)構(gòu)。這里,L和L′并不一定不相同,如果兩種語(yǔ)言相同,那實(shí)際上就是 T通過(guò)Dx描述了 T所屬語(yǔ)言的語(yǔ)義結(jié)構(gòu),也就是Dx定義了一個(gè)到 T中的相對(duì)化。

有關(guān)“解釋”有一個(gè)很重要的結(jié)果。限于篇幅,這里只把結(jié)果列出,而不給證明過(guò)程。[5](P202)

定義3.5 設(shè)δ語(yǔ)言L′到L理論 T中的解釋,Ψ是L′的一個(gè)句子集 ,使得對(duì)任意ψ ε Ψ ,都有 T ├ψDx,則

(1)對(duì)任意L′語(yǔ)句ψ,如果Ψ├ψDx,則 T├ψDx;

(2)如果 T一致,則 Th(Ψ)也是一致的。

四、相對(duì)一致性的應(yīng)用

首先,在同一語(yǔ)言下可以證明兩個(gè)理論 T和 T′=Th(Ψ)之間的相對(duì)一致性。

T和 T′=Th(Ψ)(Ψ是L的句子集)是同一語(yǔ)言L下的兩個(gè)理論,如果φ可定義一個(gè)到 T中的相對(duì)化,使得對(duì)每個(gè)ψ ε Ψ ,都有 T ├Ψφ,則由定義 3.3 可知 T 的一致性蘊(yùn)涵T的一致性。這個(gè)結(jié)果的一個(gè)簡(jiǎn)單應(yīng)用就是利用群論的一致性得到交換群理論的一致性。群論和交換群是同一個(gè)一階語(yǔ)言下的兩個(gè)理論,群論比交換群理論弱,但由于可以找到一個(gè)公式φ,它可以定義一個(gè)到T中的相對(duì)化,并且交換群的公理(這些公理都是閉公式,所以都是句子集)φ的相對(duì)化都可以由群論得到,所以群論的一致性蘊(yùn)涵交換群的一致性。

其次,在不同語(yǔ)言下可以證明理論的相對(duì)一致性。

例如,向量標(biāo)量理論 TVS和標(biāo)量理論 TS是兩個(gè)不同語(yǔ)言下的理論,向量標(biāo)量理論VS的語(yǔ)言是標(biāo)量理論語(yǔ)言的擴(kuò)張,向量標(biāo)量理論是標(biāo)量理論的擴(kuò)張。但是,可以構(gòu)造出向量標(biāo)量語(yǔ)言在標(biāo)量理論 T中的解釋。注意:標(biāo)量語(yǔ)言的非邏輯符號(hào)中只有一個(gè)一元的謂詞F和二元函數(shù)符號(hào)+。F的直觀意義是“標(biāo)量”。標(biāo)量的公理只有兩個(gè):(1)?xFx;(2)?x?y?z(x+y)+z=x+(y+z)。向量標(biāo)量理論的非邏輯符號(hào)除了 F和+外還有一元謂詞V、二元函數(shù)符號(hào)°,＊。可以構(gòu)造向量標(biāo)量理論的語(yǔ)言到標(biāo)量理論中的解釋。這個(gè)解釋的Dx就是Fx。把V指定為F,把°,＊都指定為+。這樣,向量標(biāo)量的公理都還原為向量的公理。利用定義3.5就可以從標(biāo)量理論的一致性得到向量標(biāo)量理論的一致性。這里的兩個(gè)例子都很簡(jiǎn)單。實(shí)際上,相對(duì)一致性在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究中還有許多復(fù)雜的應(yīng)用。

比較相對(duì)化的兩條定理不難發(fā)現(xiàn),這兩條定理有一個(gè)基本的相同點(diǎn)——保守性。這兩條定理實(shí)質(zhì)上是把一些公式翻譯為另一些公式。如果這些公式可以從Ψ推出,那么它們的翻譯也可以從 T中推出。如果把保守性看做是相對(duì)化的本質(zhì),那么它與其他的語(yǔ)法翻譯的保守性證明一致性就沒(méi)有實(shí)質(zhì)的區(qū)別。比如,謂詞邏輯語(yǔ)言可以翻譯為命題邏輯語(yǔ)言,正規(guī)模態(tài)命題邏輯語(yǔ)言可以翻譯為命題邏輯語(yǔ)言,而且這種翻譯具有保守性,所以利用命題邏輯系統(tǒng)的一致性可以證明謂詞邏輯系統(tǒng)的一致性,利用命題邏輯系統(tǒng)的一致性可以證明正規(guī)模態(tài)邏輯系統(tǒng)的一致性。

五、結(jié)語(yǔ)

證明理論的一致性有兩種基本方法:一種是直接給出滿足理論的語(yǔ)義結(jié)構(gòu),另一種是通過(guò)一個(gè)理論的一致性得到要證理論的一致性。第一種方法最直接。一般來(lái)說(shuō),每一個(gè)語(yǔ)義結(jié)構(gòu)都可以被一個(gè)一致理論 T描述。它描述了語(yǔ)義結(jié)構(gòu)的論域,并且給出非邏輯符號(hào)的解釋,還規(guī)定了句子的真假。如果T′描述了一個(gè)滿足T的語(yǔ)義結(jié)構(gòu),則 T′的一致性蘊(yùn)涵 T的一致性。要證理論 T′的一致性需要給出一個(gè)滿足它的語(yǔ)義結(jié)構(gòu),然而該語(yǔ)義結(jié)構(gòu)又可以由另一個(gè)理論 T″來(lái)描述,也需要證明這個(gè)理論 T″的一致性……陷入無(wú)窮倒退。這種無(wú)窮倒退并不是什么可怕的事情,它僅僅啟示了我們的思維無(wú)法證明我們思維所用邏輯的合理性(無(wú)矛盾),因?yàn)槲覀冊(cè)谧C明思維所用邏輯的合理性時(shí)也在使用思維中的邏輯。

有的邏輯學(xué)家認(rèn)為系統(tǒng)的有窮模型是一種絕對(duì)的一致性,但數(shù)學(xué)家并不對(duì)這種“絕對(duì)”的一致性感興趣,因?yàn)槎鄶?shù)有價(jià)值并且有趣數(shù)學(xué)理論沒(méi)有有窮模型。[6](P202)究竟什么是絕對(duì)的一致性,也應(yīng)是數(shù)學(xué)哲學(xué)中一個(gè)很有趣的問(wèn)題。如果絕對(duì)的一致性就是有窮模型性,那么,并非所有的理論都有這樣的一致性。要證明這些理論的一致性,我們就要從一個(gè)理論的一致性得到另一個(gè)理論的一致性。相對(duì)化就是證明理論一致性的一種很重要的方法。這種方法無(wú)論是對(duì)于同一語(yǔ)言下的兩種理論還是對(duì)于不同語(yǔ)言下的兩種理論都可應(yīng)用。相對(duì)性可以從弱系統(tǒng)的一致性得到強(qiáng)系統(tǒng)的一致性,即證明強(qiáng)系統(tǒng)相對(duì)弱系統(tǒng)的一致性。這較之弱系統(tǒng)相對(duì)強(qiáng)系統(tǒng)的一致性不平常(not trivial)。這也是希爾伯特提出希爾伯特計(jì)劃的初衷,即希望從有窮數(shù)學(xué)的一致性推出包含理想元(無(wú)窮)數(shù)學(xué)的一致性。雖然希爾伯特的計(jì)劃由于哥德?tīng)柌煌耆远ɡ碓獾狡茐?但這個(gè)基本的思想?yún)s一直在現(xiàn)代邏輯中有著很強(qiáng)的活力,現(xiàn)在證明論的還原性的工作就是希爾伯特的修正方案的繼續(xù)。

[1]葉峰:《一階邏輯與一階理論》,北京,中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社,1994。

[2][5]H.D.Ebbinghause,J.Flum,W.Thomas.Mathematical Logic.Second Edition.Springer,1994.

[3]劉壯虎:《邏輯演算》,北京,中國(guó)社會(huì)科學(xué)出版社,1993。

[4]周北海:《模態(tài)邏輯》,北京,北京大學(xué)出版社,1997。

[6]Roman Murawski.Recursive Functions and Metamathematics.Kluwer Academic Publishers,1999.

A Theory's Relative Consistency

XU Di-fei
(School of Philosophy,Renmin University of China,Beijing 100872)

Consistency is a basic requirement of a“good”theory.There are two basic methods to prove that a theory is consistent.One is to give a semantic structure which satisfies the theory and the other is to prove the consistency of the theory from the consistency of another theory.Relativisation is the method to prove a theory's consistency which belongs to the latter.It can prove a stronger theory's consistency from a weaker theory's consistency.It is shown that relativisation is essentially to give a theory T's semantic structure indirectly by a media—another theory which can describe the structure of the language of the theory T.The essence of relativization is a conservative translation,which is the key to prove the consistency of a stronger theory from that of the weaker.

relativisation;interpretation;conservative;consistency

許滌非:哲學(xué)博士,中國(guó)人民大學(xué)哲學(xué)系副教授(北京100872)

(責(zé)任編輯 李 理)

中國(guó)人民大學(xué)科學(xué)研究基金項(xiàng)目(06XNB068)