胡亞范,朱二曠,陳海良

(燕山大學(xué) 理學(xué)院,河北 秦皇島 066004)

1 引 言

色散理論一直在不斷發(fā)展,從可見光擴(kuò)展到電磁波的整個(gè)范圍,從最初的根據(jù)光的機(jī)械論和物質(zhì)的彈性結(jié)構(gòu)推導(dǎo)出的亥姆霍茲色散方程,到杜魯?shù)?、瑞利、洛侖茲等人根?jù)光的電磁學(xué)理論和物質(zhì)的電子論得到的色散公式,直到近代根據(jù)光的量子理論中的色散公式,仍然保持相同的形式[1].對(duì)物質(zhì)色散規(guī)律的研究,在現(xiàn)代技術(shù)中也占有重要地位,目前的實(shí)驗(yàn)教科書中關(guān)于色散規(guī)律研究方法都是用最小偏向角測(cè)量三棱鏡折射率,而分光計(jì)的調(diào)整是難點(diǎn),尋找最小偏向角有一定的技巧性,在3個(gè)學(xué)時(shí)內(nèi)完成實(shí)驗(yàn)有一定的困難.本文針對(duì)這一問題采用一種比較簡(jiǎn)潔的測(cè)量方法,即直接測(cè)量光線對(duì)棱鏡的入射角和出射角,利用折射定律可以算出不同頻率光線的折射率,進(jìn)而可以擬合出棱鏡的色散曲線和公式.為了提高測(cè)量準(zhǔn)確度,筆者分別用氦燈和低壓汞燈做光源,在可見光范圍內(nèi)共測(cè)得14條光譜線的折射率,并與傳統(tǒng)方法相比較,最后用M atlab軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理.

2 測(cè)量三棱鏡折射率的公式推導(dǎo)

如圖1所示,當(dāng) i1=i4時(shí),δ達(dá)到最小值,用最小偏向角法測(cè)量三棱鏡的折射率的公式為

該式在大多實(shí)驗(yàn)教材中都有詳細(xì)的的推導(dǎo)過程[2-3],在此不多贅述.

圖1 三棱鏡最小偏向角光路俯視圖

以下介紹一種實(shí)驗(yàn)上簡(jiǎn)便可行的方法.如圖1所示,當(dāng)不滿足 i1=i4時(shí),也就是任意角入射時(shí),由折射定律可知:

式中:n為某一頻率光在棱鏡中的折射率,i1為光線在界面Ⅰ入射光,i2為光線在界面Ⅰ在棱鏡中的折射角,i3為光線在界面Ⅱ的入射角,i4為光線在界面Ⅱ的折射角.由幾何關(guān)系可知:

其中α為三棱鏡頂角,其數(shù)值可通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得.由式(2)～(3)可得:

進(jìn)一步得到:

由式(7)可知,棱鏡折射率 n可以通過分光計(jì)測(cè)量α,i1和i4而得出[4].進(jìn)而可以研究三棱鏡的色散規(guī)律.

3 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及結(jié)果分析

基于上述方法的三棱鏡測(cè)量數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果如表1所示.入射光左右游標(biāo)讀數(shù)為30°29′,210°30′;入射法線左右游標(biāo)讀數(shù)為 149°47′,329°43′,算得出射角 i1=60.74°;出射法線左右游標(biāo)讀數(shù)為 29°40′,209°42′. 基于上述方法的其它測(cè)量數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果見表1.根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果利用M atlab中的多項(xiàng)式方法[5],擬合的三棱鏡色散曲線如圖2所示,同時(shí)按公式[3,6],可得回歸系數(shù) A=1.685 2,B=0.009 6μm2,C=0.000 5μm4. 如果按 n2=A0λ2+A1+A2λ-2+A3λ-4+A4λ-6+A5λ-8公式[2,7],可得出 A0=0.130 9μm-2,A1=2.420 0,A2=0.423 2μm2,A3= -0.154 5μm4,A4=0.028 3μm6,A5=-0.001 9μm8.

表1 直接測(cè)量入射角與出射角數(shù)據(jù)

圖2 三棱鏡色散曲線

為了分析測(cè)量的不確定度,同時(shí)還采用最小偏向角方法測(cè)量不同頻率光在棱鏡中的折射率,由于篇幅限制略去原始數(shù)據(jù),只將氦燈譜線的計(jì)算結(jié)果列于表2中,其中 n為利用本文方法測(cè)得的結(jié)果,n1為最小偏向角法測(cè)量結(jié)果.以波長501.57 nm為例,由式(1)可算得采用最小偏向角法測(cè)量的折射率的不確定度為0.001 1,則折射率可表示為n=1.730 5±0.001 1.由表1和表2中折射率對(duì)比可知采用本文的方法也能測(cè)到4位有效數(shù)字,2種方法準(zhǔn)確度基本一致.

表2 兩種方法測(cè)量結(jié)果對(duì)比表

4 結(jié)束語

綜上所述,直接測(cè)量光線的入射角和經(jīng)棱鏡色散后的出射角,測(cè)量棱鏡對(duì)不同頻率光的折射率,比用最小偏向角法測(cè)量數(shù)據(jù)少,是一種靜態(tài)測(cè)量,更直觀簡(jiǎn)潔.當(dāng)然,這種方法也存在不足之處,在公式推導(dǎo)、計(jì)算過程及不確定度的估計(jì)上都較繁瑣,但基于上述分析,其不確定度與傳統(tǒng)方法可達(dá)到相同水平.總之,這種方法對(duì)研究棱鏡的色散規(guī)律是行之有效的.

[1] 姚啟鈞.光學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社,1981:373-389.

[2] 丁慎訓(xùn),張連芳.物理實(shí)驗(yàn)教程[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002:202-211.

[3] 呂斯驊,段家忯.基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2002:286-288.

[4] 楊之昌,馬世紅.漫談教學(xué)用分光計(jì)[J].物理實(shí)驗(yàn),2007,27(2):40-41.

[5] 胡守信.基于Matlab的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn) [M].北京:科學(xué)出版社,2004:63-68.

[6] 張艷亮,周明東.用分光計(jì)研究三棱鏡的色分辨本領(lǐng)[J].物理實(shí)驗(yàn),2007,27(9):36-37.

[7] 李景鎮(zhèn).光學(xué)手冊(cè)[M].西安:陜西科學(xué)技術(shù)出版社,1986:1 302-1 322.