李 杰,劉 威,衛(wèi)書麟

(1.同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院建筑工程系,上海 200092;2.同濟(jì)大學(xué)土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)試驗(yàn)室,上海 200092;3.中建國際(深圳)設(shè)計(jì)顧問有限公司上海分公司,上海 200233)

0 引言

生命線工程系統(tǒng)是指維系現(xiàn)代城市與區(qū)域經(jīng)濟(jì)功能的基礎(chǔ)性工程設(shè)施系統(tǒng)[1]。大多數(shù)生命線工程系統(tǒng)是以網(wǎng)絡(luò)的形式分布在城市或較大的區(qū)域范圍內(nèi),如城市的供水、供燃?xì)夤芫W(wǎng),區(qū)域的電力網(wǎng)絡(luò)等等。對(duì)生命線工程系統(tǒng)而言,僅僅實(shí)現(xiàn)各個(gè)單體的抗震性能分析以及系統(tǒng)的整體性能評(píng)價(jià)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,更重要的是利用這些分析工具進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)抗震性能的優(yōu)化設(shè)計(jì),實(shí)現(xiàn)以最低的造價(jià)來保證系統(tǒng)具有足夠的抗震性能[1]。

管網(wǎng)系統(tǒng)的抗震可靠性優(yōu)化可以從提高系統(tǒng)單元的抗震可靠度和改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)兩條路徑來進(jìn)行。研究表明[1],綜合考慮工程實(shí)際中的各種因素,改進(jìn)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)要明顯優(yōu)于僅僅提高單元的抗震可靠度。在管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化方面,文獻(xiàn)[2]利用遺傳算法初步進(jìn)行了基于抗震功能可靠性的供水系統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化研究。文獻(xiàn)[3]則采用遺傳算法初步實(shí)現(xiàn)了基于連通可靠度分析的生命線管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化。

本文首先建立了基于連通可靠度分析的生命線工程網(wǎng)絡(luò)抗震拓?fù)鋬?yōu)化模型,介紹了應(yīng)用遺傳算法到這一問題進(jìn)行求解的過程,并對(duì)一個(gè)簡單燃?xì)夤芫W(wǎng)進(jìn)行了實(shí)例分析。分析表明遺傳算法用于生命線工程網(wǎng)絡(luò)抗震拓?fù)鋬?yōu)化分析可以獲得造價(jià)低且滿足管網(wǎng)抗震可靠度要求的網(wǎng)絡(luò)。然后,改用抗震功能可靠度為約束建立了基于功能可靠度分析的供水管網(wǎng)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化模型,介紹了模擬退火算法來進(jìn)行求解這一模型的具體過程,對(duì)一個(gè)簡單的實(shí)例分析表明應(yīng)用模擬退火算法可以取得很好的效果。最后,基于功能可靠度分析的供水管網(wǎng)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化方法,對(duì)四川省都江堰市、綿竹市和德陽市供水管網(wǎng)進(jìn)行了抗震拓?fù)鋬?yōu)化改造分析,給出了三個(gè)城市供水管網(wǎng)的恢復(fù)重建方案。

1 基于連通可靠度的生命線工程網(wǎng)絡(luò)抗震拓?fù)鋬?yōu)化

1.1 管網(wǎng)優(yōu)化模型的建立

工程實(shí)際中,在保證安全合理的情況下,經(jīng)濟(jì)性是優(yōu)化改造和優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目標(biāo)。本文的管網(wǎng)系統(tǒng)優(yōu)化以網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為優(yōu)化對(duì)象,抗震可靠度為優(yōu)化約束條件,管網(wǎng)建設(shè)造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo)來進(jìn)行。

管網(wǎng)系統(tǒng)的造價(jià)一般可以寫為:

式中:lij、dij分別為i,j節(jié)點(diǎn)之間的管線長度和直徑(m);γij為連通系數(shù),鋪設(shè)該管線取1,不鋪設(shè)則取0;c(lij,dij)表示管線的造價(jià),通?？梢杂孟铝泻瘮?shù)來估算:

式中:a1、a2和a3都是常數(shù),可以根據(jù)實(shí)際工程的造價(jià)采用回歸方法得到。

以管網(wǎng)的造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo),可以建立如下的優(yōu)化模型:

式中:Pmin為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的抗震連通可靠度最小值,可采用最小路遞推分解算法[4]獲得;P0為管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的抗震可靠度約束。

1.2 遺傳算法在抗震拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用

遺傳算法是由美國科學(xué)家Holland[5]借鑒生物進(jìn)化原則提出的一種自適應(yīng)并行全局優(yōu)化概率搜索算法。遺傳算法近年來發(fā)展迅速,在各個(gè)領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[6-7]。

下面來介紹遺傳算法應(yīng)用到管網(wǎng)系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化問題的具體運(yùn)算步驟與原理。

1.2.1 編碼

采用0～1編碼,當(dāng)基因值為0時(shí),表示該基因所對(duì)應(yīng)的管線不鋪設(shè);當(dāng)基因值為1時(shí),表示鋪設(shè)該基因?qū)?yīng)的管線。所有優(yōu)化參數(shù)對(duì)應(yīng)的基因按照指定的次序排列起來,就構(gòu)成一條染色體。一個(gè)染色體對(duì)應(yīng)管網(wǎng)的一種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)方案,多條染色體構(gòu)成遺傳算法的一個(gè)種群。

1.2.2 生成初始種群

采用隨機(jī)策略來生成一組個(gè)體。但是必須要注意的是,隨機(jī)生成的管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能是工程中無意義的解,例如,非連通圖對(duì)應(yīng)的管網(wǎng)結(jié)構(gòu)在工程實(shí)踐中無意義。所以,在隨機(jī)生成個(gè)體之后,首先要進(jìn)行管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的合理性判斷。對(duì)于不合理個(gè)體,進(jìn)行簡單的修補(bǔ);若修補(bǔ)后的個(gè)體仍為不合理方案,則拋棄該個(gè)體,重新生成新的個(gè)體。

1.2.3 個(gè)體評(píng)價(jià)

由于管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化問題的優(yōu)化目標(biāo)是獲得滿足抗震可靠度要求的最低造價(jià)管網(wǎng),而遺傳算法中一般定義適應(yīng)度高的解為比較優(yōu)的解,故定義染色體的適應(yīng)度函數(shù)為:

式中:M為預(yù)先指定的一個(gè)較大的數(shù)值;C(X)為個(gè)體對(duì)應(yīng)管網(wǎng)的造價(jià);S(X)為懲罰函數(shù),采用下式來計(jì)算:

式中:Cmax、Cmin為當(dāng)前群體中個(gè)體造價(jià)的最大值和最小值;Pmini為當(dāng)前群體中第i個(gè)體中節(jié)點(diǎn)連通可靠度的最低值;j=1,2,…,N,N為當(dāng)前群體中個(gè)體的數(shù)目。

1.2.4 遺傳操作

遺傳操作包括選擇、交叉和變異操作。選擇操作本文采用無放回的適應(yīng)度比例方法和最佳個(gè)體保存方法。也即上一代最優(yōu)的個(gè)體必然進(jìn)入到下一代中,并且上一代中的每個(gè)個(gè)體按照適應(yīng)度的值以一定概率遺傳到下一代中,并且只遺傳一次。交叉操作選擇一點(diǎn)交叉方法進(jìn)行。變異操作對(duì)個(gè)體的每一個(gè)基因位,依一變異概率對(duì)其值作取反運(yùn)算,從而產(chǎn)生一個(gè)新的個(gè)體。

1.2.5 收斂判斷

遺傳算法通常的停止規(guī)則有計(jì)算達(dá)到固定的最大進(jìn)化代數(shù),解群體間差異充分小等規(guī)則。本文采用的停止規(guī)則是計(jì)算達(dá)到固定的最大進(jìn)化代數(shù)。

1.3 分析實(shí)例

圖1為10個(gè)節(jié)點(diǎn),14條邊的簡單供燃?xì)饩W(wǎng)絡(luò)系統(tǒng),源點(diǎn)為1,節(jié)點(diǎn)2～10為匯點(diǎn),其管線單元屬性見表1,對(duì)于供燃?xì)饩W(wǎng)絡(luò),式(2)中的a1、a2和a3可以分別取為-144.360 9,4 313.3和1.0[8],故管網(wǎng)的總造價(jià)為5 920萬元。

圖1 簡單燃?xì)夤芫W(wǎng)

表1 管網(wǎng)單元屬性

假設(shè)各管線單元抗震可靠度都為0.9。設(shè)節(jié)點(diǎn)最低可靠度約束分別為0.7、0.8和0.9,其相應(yīng)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)分別如圖2-圖4所示。采用遺傳算法對(duì)管網(wǎng)進(jìn)行優(yōu)化,算法分別計(jì)算1 000次,每次計(jì)算都是將算法從頭開始重新計(jì)算。算法搜索到上述圖2-圖4的最優(yōu)結(jié)果的次數(shù)分別為622、580和808次。由此可以看出遺傳算法具有較好的搜索能力,對(duì)于上述管網(wǎng),搜索到最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)的機(jī)會(huì)在50%以上。

圖2 可靠度約束為0.7時(shí)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)

圖3 可靠度約束為0.8時(shí)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)

圖4 可靠度約束為0.9時(shí)的最優(yōu)網(wǎng)絡(luò)

2 基于功能可靠度的供水管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化

2.1 供水管網(wǎng)優(yōu)化模型

由于供水管網(wǎng)對(duì)于地震后社會(huì)生活和搶險(xiǎn)救災(zāi)的重要性,需要保證其在地震后的功能,也即具有足夠的供水能力來保證各種用水需求。而抗震連通可靠度只能說明從源點(diǎn)到用戶存在一條通路的概率,而不能保證通路能否提供足夠的水壓來滿足用戶的用水需求。因此,對(duì)于供水管網(wǎng)需要進(jìn)行基于功能可靠度的抗震拓?fù)鋬?yōu)化,以保證其在地震作用下具有足夠的供水能力。

以供水管網(wǎng)的造價(jià)為優(yōu)化目標(biāo),可以建立如下的優(yōu)化模型:

式中:βmin為供水管網(wǎng)所有節(jié)點(diǎn)的抗震可靠度指標(biāo)的最小值,可以采用供水管網(wǎng)抗震功能可靠性分析方法[9]得到;β0為供水管網(wǎng)的允許抗震可靠指標(biāo)限值;對(duì)于供水管網(wǎng)的造價(jià),公式(2)中經(jīng)驗(yàn)系數(shù)a1,a2,a3可以分別取62.105 1,1 979.7,1.486[10];dmin、dmax分別為管網(wǎng)運(yùn)行中經(jīng)濟(jì)管徑的最小值和最大值。

2.2 模擬退火算法在供水網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化中的應(yīng)用

模擬退火的思想最早是由Metropolis[11]在1953年提出的,它源于對(duì)物體降溫過程中的統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)現(xiàn)象的研究。Kirkpatrick等人[12]在1982年正式提出模擬退火算法,并成功地將之應(yīng)用在組合優(yōu)化問題中。模擬退火的基本思想是對(duì)決定性算法引入隨機(jī)擾動(dòng),使得當(dāng)考察點(diǎn)達(dá)到局部極值時(shí),算法過程有一個(gè)小概率“跳出”局部極值陷阱的能力。模擬退火算法是局部搜索算法的擴(kuò)展,所以理論上來說,它是一個(gè)全局最優(yōu)算法。

模擬退火算法用Metropolis算法產(chǎn)生組合優(yōu)化問題解的序列,并利用下式中的Metropolis準(zhǔn)則對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率P確定是否接受從當(dāng)前解i到新解j的轉(zhuǎn)移。

式中:f(i)為解的能量函數(shù),這里可以取為管網(wǎng)的造價(jià)。

模擬退火算法從初始優(yōu)化方案出發(fā),進(jìn)行降溫迭代尋找最優(yōu)解。在降溫過程中,不斷地對(duì)當(dāng)前管網(wǎng)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)以產(chǎn)生新的管網(wǎng)是模擬退火算法應(yīng)用到供水管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化的關(guān)鍵步驟。這里,對(duì)當(dāng)前管網(wǎng)進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)產(chǎn)生新管網(wǎng)的操作步驟為:首先,隨機(jī)地選出一定數(shù)量的管線;然后,對(duì)選出的各管線隨機(jī)地進(jìn)行狀態(tài)改變,由此得到新的管網(wǎng)。如果新的管網(wǎng)不滿足可靠度約束條件的解,采用罰函數(shù)來增大其能量函數(shù)。如果新的管網(wǎng)為不合理方案(如:非連通管網(wǎng)),這隨機(jī)增加管線來進(jìn)行簡單地修補(bǔ),若仍不合理則將其拋棄,重新生成一個(gè)管網(wǎng)。

設(shè)Lk表示Metropolis算法第k次迭代時(shí)產(chǎn)生的變換個(gè)數(shù),tk表示Metropolis算法第k次迭代時(shí)控制參數(shù)t的值,T(t)表示控制參數(shù)更新函數(shù),t0表示初始溫度,tf表示終止溫度。這模擬退火算法應(yīng)用到供水管網(wǎng)抗震拓?fù)鋬?yōu)化的具體操作步驟為:

①隨機(jī)產(chǎn)生一個(gè)管網(wǎng)作為算法初始解,以此作為當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn),并計(jì)算其能量函數(shù)值;

②設(shè)置初始溫度、終止溫度及控制參數(shù)更新函數(shù):t0,tf,T(t);

③tk=T(tk-1),設(shè)置Lk,令循環(huán)計(jì)數(shù)器初值k=1;

④對(duì)當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn)作一隨機(jī)變動(dòng),產(chǎn)生一個(gè)新解,計(jì)算新解的能量函數(shù),并計(jì)算能量函數(shù)的增量Δ;

⑤若Δ＜0,則接受該新解為當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn);若Δ≥0,則以式(7)計(jì)算的概率接受該新解為當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn);

⑥若k＜Lk,則k=k+1,轉(zhuǎn)④;

⑦若t＜tf,則轉(zhuǎn)③;若t≥tf,則輸出當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn),算法結(jié)束;

在模擬退火算法中,溫度參數(shù)是最關(guān)鍵的參數(shù),包括起始溫度的選取t0、溫度的下降方法T(k)和終止溫度tf的確定等。

(1)起始溫度t0的選取:采用較大的值,這里取1 000 000。

(2)溫度下降方法T(k):模擬退火算法的性能好壞主要取決于其溫度下降方法,即溫度更新函數(shù),使其保持適當(dāng)?shù)臏囟认陆邓俣?。本文采用的溫度下降方法?tk+1=tk/k。

(3)算法的終止溫度tf,模擬退火算法從初始溫度開始,通過在每一溫度的迭代和溫度的下降,最后達(dá)到終止溫度tf而停止。本文采用零度法,即令tf為一個(gè)比較小的正數(shù)。

2.3 實(shí)例分析

圖5(a)為一個(gè)17個(gè)節(jié)點(diǎn),27條邊的小型網(wǎng)絡(luò),考慮Ⅷ度地震烈度背景對(duì)其進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。優(yōu)化的約束條件分別為節(jié)點(diǎn)最低可靠度指標(biāo)不得低于1.28(對(duì)應(yīng)于可靠度不低于0.9),0.84(對(duì)應(yīng)于可靠度不低于0.8),0.53(對(duì)應(yīng)于可靠度不低于0.7)。圖5(b)、(c)、(d)分別為節(jié)點(diǎn)最小可靠度指標(biāo)分別為1.28,0.84,0.53的供水管網(wǎng)最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)布置圖。表2給出了三種約束條件下的建造費(fèi)用?？梢钥闯?節(jié)點(diǎn)最小可靠度指標(biāo)約束值β0越大,相應(yīng)的優(yōu)化結(jié)構(gòu)越復(fù)雜,相應(yīng)的造價(jià)就越高。但不管哪種方案,相對(duì)原始方案而言,在造價(jià)上均有顯著降低。圖6為約束條件為1.28時(shí)模擬退火算法搜索過程中的點(diǎn)的搜索軌跡。由圖可見,模擬退火算法能很快搜索到滿足約束條件的解,并在眾多解中,選出既滿足約束條件又是造價(jià)最低的解。

圖5 備選管網(wǎng)布置圖及各可靠度約束下管網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

圖6 管網(wǎng)拓?fù)鋬?yōu)化搜索軌跡圖

表2 各種約束條件下的系統(tǒng)造價(jià)

3 四川省供水管網(wǎng)恢復(fù)重建研究

2008年汶川大地震給四川省多個(gè)城市的供水管網(wǎng)造成了巨大的破壞,震后急需迅速展開恢復(fù)重建工作。在四川省建設(shè)廳、四川省給排水協(xié)會(huì)的支持和配合下,以震害調(diào)查為基礎(chǔ),利用上述模擬退火算法,對(duì)一批典型受災(zāi)城市的供水管網(wǎng)系統(tǒng)進(jìn)行了震后恢復(fù)重建方案研究,這一研究的技術(shù)路線如圖7所示。在這一工作中,以管網(wǎng)節(jié)點(diǎn)的最低抗震功能可靠度大于0.8為約束條件進(jìn)行震后供水管網(wǎng)系統(tǒng)拓?fù)鋬?yōu)化分析給出了震后恢復(fù)重建方案。圖8-圖10分別為都江堰市、綿竹市和德陽市供水管網(wǎng)恢復(fù)重建與優(yōu)化改造方案圖。

圖7 技術(shù)路線圖

4 小結(jié)

圖8 都江堰市供水管網(wǎng)恢復(fù)重建方案

圖9 綿竹市供水管網(wǎng)恢復(fù)重建方案

圖10 德陽市供水管網(wǎng)恢復(fù)重建方案

本文以抗震連通可靠度為約束建立了一般生命線工程網(wǎng)絡(luò)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化模型,采用遺傳算法對(duì)這一模型進(jìn)行了求解。同時(shí),以抗震功能可靠度為約束建立了供水管網(wǎng)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化模型,并采用模擬退火算法進(jìn)行了求解。實(shí)例分析表明,上述兩種算法均能較好地用于網(wǎng)絡(luò)的抗震拓?fù)鋬?yōu)化分析之中。最后,利用模擬退火算法,對(duì)四川省三個(gè)城市的供水管網(wǎng)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化分析,給出了其災(zāi)后恢復(fù)重建方案。

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