屈 克,湯 磊,黃建寶

(成都理工大學信息管理學院,四川成都 610059)

0 引 言

1986年,Atanassov[1,2]提出了直覺模糊集的概念,隨后又對其進一步的拓展,提出了區(qū)間直覺模糊集的概念,并將其運用到多目標屬性決策領(lǐng)域中. 2007年,許澤水[3,4]提出了區(qū)間直覺模糊的加權(quán)平均算子和加權(quán)幾何算子,為區(qū)間直覺模糊信息提供了一種新的決策方法,同時,又進一步地研究并提出了區(qū)間直覺模糊的有序加權(quán)平均算子和混合平均算子.2007年,胡輝等[5]提出了將TOPSIS方法運用于區(qū)間直覺模糊集的多目標屬性決策中的方法.本文主要是將文獻[6]中的Vague中的包含度拓展到區(qū)間直覺模糊集上,并給出了區(qū)間直覺模糊集的包含度公式,為區(qū)間直覺模糊的多目標屬性決策提供一種新的思路.

1 預備知識

定義1.1[2]設(shè) X是一個非空集合,則稱,

A={x∈X|([t-A(x),t+A(x)],[f-A(x),f+A(x)])}為區(qū)間直覺模糊集.其中,[t-A(x),t+A(x)]、[f-A(x), f+A(x)]?[0,1],分別表示隸屬度和非隸屬度的上下界,x∈X,且 t+A(x)+f+A(x)≤1,?x∈X,特別的,t-A(x)=t+A(x),且f-A(x)=f+A(x),則區(qū)間直覺模糊集退化為直覺模糊集.

定義1.2[2]設(shè)A、B是X上的區(qū)間直覺模糊集(簡寫為 IVIFS(X)),則其運算法則為:

容易驗證,(IVIFS(X),?)為一偏序集.

2 區(qū)間直覺模糊集的包含度

定義2.1 若映射 I:IVIFS(X)×IVIFS(X)→[0,1]滿足條件:

則稱I(A,B)為A在B中的包含度,稱映射I為包含度函數(shù).

定義2.2[7]若映射θ:[0,1]2→[0,1],滿足條件:①θ(1,0)=0;②θ(0,0)=θ(0,1)=θ(1,1).則稱θ是模糊正常蘊涵算子,簡稱正常蘊涵.

設(shè)區(qū)間直覺模糊集合的全體集為D.

定義2.3[3]設(shè)(D,≤)是一子序集,即D上的關(guān)系“≤”滿足自反性與傳遞性,且(D,“≤”)上有唯一的最小元素([0,0],[1,1])和最大元素([1,1], [0,0]),稱映射D×D→D為T模.若 T滿足:對任意的 a,b,c∈D,①交換律 T(a,b)=T(b,a);②結(jié)合律 T(T(a,b),c)=T(a,T(b,c));③單調(diào)律b≤c,T(a,b)≤T(a,c);④元律 T(a,([1,1][0,0])= a.

定理2.1 設(shè)X是一有限論域,θ為一正常蘊涵.

(1)?u,v∈[0,1],且 u≤v?θ(u,v)=1;

(2)θ(u,v)為關(guān)于 u的非增函數(shù),θ(u,v)為關(guān)于v的非減函數(shù).

則以下 I1,I2均為 IVIFS(X)集的包含度函數(shù).

其中,T:[0,1]2→[0,1]為一 T模.且(1)式中的λ1+λ2+λ3+λ4=1,(2)式中的λ1+λ2=1,λ3+λ4=1.

證明 下面僅證 I1,類似可證 I2

由于θ(u,·)為關(guān)于 u遞減的,θ(·,v)為關(guān)于v遞增的,得,

同理即可證:

即,

3 基于區(qū)間直覺模糊集的模糊多目標決策

設(shè),A為決策方案集,C為目標集,

假設(shè)決策方案Ai在目標集C下的特征用下列區(qū)間直覺模糊集來表示:

其中,[t-ij,t+ij]為決策方案Ai滿意屬性Cj的程度區(qū)間,[f-ij,f+ij]為不滿意屬性Cj的程度區(qū)間,若決策者要在決策方案集A中選擇一個方案使其同時滿足屬性 Cj,Ck,…Cp或滿足Cs,即,Cjand Ck…Cpor Cs.

對該問題現(xiàn)利用區(qū)間直覺模糊集的包含度給出目標選擇方法.方法的基本思想是先構(gòu)造理想目標,然后比較理想目標在目標Ai中的包含度,即最大限度地包含理想目標就是最佳目標.

(1)滿足約束條件 Cj,Ck…Cp的理想目標,

定義3.1 理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai)定義為,

其中,

對于上述模糊多目標決策問題的具體算法步驟如下:

(1)分別計算出約束條件 Cj,Ck,…,Cp,或 Cs的理想目標G1與 G2;

(2)計算出 Gj在Aij中的包含度I(Gj,Aij);

(3)計算出理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai),包含度越大則越好.

例 設(shè)決策目標集 A={A1,A2,A3,A4,A5},約束條件集C={C1,C2,C3,C4},決策目標Ai(i= 1,2,3,4,5)在約束條件C下的特征由下列區(qū)間直覺模糊集表示(見表1).

表1 決策矩陣

若決策者要在目標集中選擇一個同時滿足條件 C1,C2,C3或者 C4的最佳方案,其過程如下:

構(gòu)造滿足條件 C1,C2,C3以及 C4的理想目標,

包含度函數(shù) I由定理2.1,取λ1=λ2=λ3= λ4,即,

其中,正常蘊涵θ取Lukasiewica蘊涵,aθb=min{1-a+b,1},?a,b∈[0,1],求出 Gj在Aij中的包含度I(Gj,Aij)(見表2、表3).

表2 G1在Ai1中的包含度

表3 G2在Ai2中的包含度

由此可得出理想目標在目標方案Ai中的包含度D(Ai)(見表4).

由表4可得出:A4≥A3≥A5≥A2≥A1.

表4 D(Ai)的值

故,A4為最佳目標.

4 結(jié) 語

本文將包含度拓展到區(qū)間直覺模糊集中,為區(qū)間直覺模糊集的多目標屬性決策提供了一種新的思路和方法.該方法簡潔明了、結(jié)構(gòu)清晰,便于在實際中應(yīng)用與推廣.

[1]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems,1986,20(1):87-96.

[2]Atanassov K,Gargov G.Interval-valued Intuitionistic fuzzy sets [J].Fuzzy Sets and Systems,1989,31(3):343-349.

[3]許澤水.區(qū)間直覺模糊信息的集成方法及其在決策中的應(yīng)用[J].決策與控制,2007,22(2):215-219.

[4]許澤水,陳 劍.一種基于區(qū)間直覺判斷矩陣的群決策方法[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2007,27(4):126-133.

[5]胡 輝,許澤水.基于TOPSIS的區(qū)間直覺模糊多屬性決策法[J].模糊數(shù)學與系統(tǒng),2007,21(5):108-111.

[6]劉華文.基于Vague集包含度的模糊多屬性決策[J].中國管理科學,2004,12(4):89-91.

[7]吳望名.模糊推理的原理與方法[M].貴陽:貴州科技出版社,1994.