李效敏,胡海燕

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

非線性微分多項(xiàng)式分擔(dān)一個(gè)非零擬公共值的亞純函數(shù)的唯一性*

李效敏,胡海燕

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

本文利用A.Banejee與S.Mukherjee的方法證明了一類非線性微分多項(xiàng)式具有一個(gè)2階擬公共值的亞純函數(shù)的唯一性定理,改進(jìn)了方彩云與方明亮,I.Lahiri與Mandal,以及A.Banerjee等人的有關(guān)結(jié)果。

亞純函數(shù);公共值;微分多項(xiàng)式;唯一性

0 引言及主要結(jié)果

本文中出現(xiàn)的亞純函數(shù)是指復(fù)平面內(nèi)的亞純函數(shù)。文中采用Nevanlinna理論的標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)[1-3]。本文中出現(xiàn)的E表示線性測(cè)度有窮的正實(shí)數(shù)集合,并且每次出現(xiàn)不必相同。對(duì)非常數(shù)的亞純函數(shù)h,用T(r,h)表示h的Nevanlinna特征函數(shù),S(r,h)表示滿足S(r,h)=o{T(r,h)}(r→∞,r|E)的量。

設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),a是1個(gè)有限值。如果f-a與g-a的零點(diǎn)相同,并且每個(gè)零點(diǎn)的重?cái)?shù)也相同,則稱f與g CM分擔(dān)a。如果f-a與g-a的零點(diǎn)相同,并且不計(jì)零點(diǎn)的重?cái)?shù),則稱f與g IM分擔(dān)a。如果1/f與1/g CM分擔(dān)0,則稱f與g CM分擔(dān)∞。如果1/f與1/g IM分擔(dān)0,則稱f與g IM分擔(dān)∞。設(shè)m為正整數(shù)或無(wú)窮,b∈C∪{∞}。以下用Em)(b,f)表示f的重?cái)?shù)≤m的b-值點(diǎn)的集合,并且每個(gè)b-值點(diǎn)考慮相應(yīng)的重?cái)?shù)。用(b,f)表示Em)(b,f)的精簡(jiǎn)形式。如果E∞)(b,f)=E∞)(b,g),則f與g CM分擔(dān)b。如果(b,f)=(b,g),則f與g IM分擔(dān)b[4]。

定義1[5]設(shè)p是正整數(shù),a∈C∪{∞}。用Np)(r,1/(f-a))表示f的重?cái)?shù)不大于p的a-值點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),這里每個(gè)a-值點(diǎn)考慮相應(yīng)的重?cái)?shù);用(r,1/(f-a))表示相應(yīng)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù);用N(p(r,1/(fa))表示f的重?cái)?shù)不小于p的a-值點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),這里每個(gè)a-值點(diǎn)考慮相應(yīng)的重?cái)?shù);用(r,1/(f-a))表示相應(yīng)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)。

定義2[6]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),m為正整數(shù),a∈C∪{∞}且Em)(a,f)=Em)(a,g)。設(shè)z是f的1個(gè)a-值點(diǎn),重?cái)?shù)為μ(z,a,f)。用(r,1/(fa))表示|z|μ(z,a,g)≥m+1的f的a-值點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),這里每個(gè)a-值點(diǎn)考慮重?cái)?shù);用(r,1/(f-a))表示N(m+1L(r,1/(f-a))的精簡(jiǎn)形式;用N(m+1(r,f=a,g≠a)表示|z|

定義3[7]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),a∈C∪{∞}并且(a,f)=(a,g)。再設(shè)z∈C是f與g的1個(gè)公共a-值點(diǎn),且重?cái)?shù)為μ(z,a,f)。用NL(r,1/(f-a))表示|z|μ(z,a,g)的f的a-值點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù);用(r,1/(f-a))表示NL(r,1/(f-a))的精簡(jiǎn)形式。類似地可以定義NL(r,1/(g-a))和(r,1/(g-a))。

1976年,楊重駿提出了下述問(wèn)題。

問(wèn)題1[8]如果2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)f與g CM分擔(dān)0,f(n)和g(n)CM分擔(dān)1,并且2δ(0,f)>1,這里n是1個(gè)非負(fù)整數(shù),那么f與g將會(huì)有什么關(guān)系?

1990年,儀洪勛解決了問(wèn)題1,證明了下述定理。定理1[9]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù)。如果f與g CM分擔(dān)0,f(n)與g(n)CM分擔(dān)1,并且2δ(0,f)>1,這里n是1個(gè)非負(fù)整數(shù),那么f(n)g(n)=1或f=g。

1997年,I.Lahiri提出了下述問(wèn)題。

問(wèn)題2[10]如果2個(gè)亞純函數(shù)的非線性微分多項(xiàng)式CM分擔(dān)1,將會(huì)有怎樣的結(jié)果?

2001年,方明亮和魏宏回答了問(wèn)題2,證明了下述結(jié)果。

定理2[11]設(shè)f與g是2個(gè)超越整函數(shù),n≥11是1個(gè)整數(shù)。如果fn(f-1)f′和gn(g-1)g′CM分擔(dān)1,那么f=g。

2002年,方彩云和方明亮改進(jìn)了定理2,證明了下述定理。

定理3[12]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的整函數(shù),n≥9是1個(gè)整數(shù)。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

針對(duì)定理3,人們自然地提出下述問(wèn)題。

問(wèn)題3[6]如果定理3中的f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),將會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果?

2005年,I.Lahiri和N.M andal回答了問(wèn)題3,證明了下述定理,從而改進(jìn)了定理3。

定理4[13]設(shè)f與g是2個(gè)超越亞純函數(shù),并且,再設(shè)n≥17是1個(gè)整數(shù)。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

2007年,A.Banerjee改進(jìn)了定理4并回答了問(wèn)題3,證明了下述定理。

定理5[6]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),n是1個(gè)正整數(shù),且滿足,其中Θ(∞,f)+Θ(∞,g)>0。如果E2)(1,fn(f-1)2f′)=E2)(1,gn(g-1)2g′),那么f=g。

本文將改進(jìn)定理5,證明下述結(jié)果。

定理6 設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)。如果E2)(1,fn(af2+bf+c)f′)=E2)(1,gn(ag2+bg+c)·g′),這里a≠0,b和c是復(fù)數(shù)并且|b|+|c|≠0,n是1個(gè)正整數(shù),那么下述4種情形之一成立:

(i)若b≠0,c=0,并且Θ(∞,f)+Θ(∞,g)>則f=g。

(ii)若b≠0,c≠0,并且az2+bz+c=0有2個(gè)不同的根,f和g中之一是只有重極點(diǎn)的非整函數(shù)的亞純函數(shù),則f=g。

(iii)若b≠0,c≠0,并且az2+bz+c=0有2個(gè)相同的根,則f=g。

(iv)若b=0和c≠0,則f=g或f=-g。若n是1個(gè)偶數(shù),則f=-g不成立。

1 幾個(gè)引理

設(shè)F,G是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),定義

設(shè)F和G IM分擔(dān)1,以下用?N(1,1)(r,1/F)表示F-1和G-1的公共單零點(diǎn)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)。

引理1[6]設(shè)F與G是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),且滿足E2)(1,F)=E2)(1,G),再設(shè)H由(1)式定義。如果H不恒等于0,那么,其中表示F與G在|z|<1內(nèi)的重?cái)?shù)相等且大于3的那些公共1-值點(diǎn)的精簡(jiǎn)計(jì)數(shù)函數(shù)。

引理2[6]設(shè)F與G是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)。如果E2)(1,F)=E2)(1,G),那么,其中N0(r,1/F′)表示是F′零點(diǎn)但不是F(F-1)的零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù),這里F′的每個(gè)零點(diǎn)考慮重?cái)?shù)。

引理3[9]設(shè)f是1個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),k是1個(gè)正整數(shù)。那么

引理4[14]設(shè)f是1個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),再設(shè)這里an≠0,an-1,…,a1,a0是常數(shù),那么T(r,P(f))=

引理5[15]設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù)。那么

不恒等于α2,這里a,b,c是3個(gè)復(fù)數(shù),且滿足a≠0和是一個(gè)整數(shù),α是不恒等于0,∞的亞純函數(shù),并且T(r,α)=S(r,f)。

引理6 設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),再設(shè)

這里a,b,c是3個(gè)復(fù)數(shù),且滿足a≠0和|b|+|c|≠0,n>7是一個(gè)整數(shù)。如果

證明 由(2)可得

由引理4和(4)左邊的等式可得

同理可證

由(5)和(6)可得

由引理4可得

同理可證

于是

以及

不失一般性,設(shè)存在1個(gè)集合IΑR+滿足mes I=∞,使得

分以下3種情況討論:

情形1 設(shè)B≠0,-1。如果A-B-1≠0,由(3)可得

由(4),(6),(13),引理2.3和第二基本定理可得

上式結(jié)合(7)-(13)可得

由此得n≤7,這與n>7矛盾。

如果A-B-1=0,則(3)可寫為

由(14)可得

由(7),(11),(15)和第二基本定理可得T(r,G)≤

上式結(jié)合(11),(12)可得

由此得n≤3,這與n>7矛盾。

情形2 設(shè)B=-1,則(3)可寫為

若A+1≠0,由(16)可得

由(17),類似于情形1中的方法可得n≤3,這與n>7矛盾。

如果A+1=0,則(3)可寫為FG=1,即

但由引理5和條件n>7可知,fn(af2+bf+c)f′·gn(ag2+bg+c)g′不恒等于1,這與(18)矛盾。

情形3 設(shè)B=0。那么(3)可寫為

如果A≠1,由(19)可得

以下類似于情形1中的方法可得n≤7,這與n>7矛盾。

如果A=1,則(19)可寫為F=G,從而得到引理6的結(jié)論。

引理7 設(shè)f與g是2個(gè)非常數(shù)的亞純函數(shù),F1和G1由(2)定義。如果n≥5,那么由=可得F1=G1。引理8[15]設(shè)F1和G1的定義如(2)式,n≥3是1個(gè)整數(shù),如果F1=G1,那么以下4種情形之一成立:(i)若b≠0,c=0且,則f=g。

(ii)若b≠0,c≠0,az2+bz+c=0有2個(gè)不同的根,且f,g其中之一是只有重極點(diǎn)的非整函數(shù)的亞純函數(shù),則f=g。

(iii)若b≠0,c≠0,az2+bz+c=0有2個(gè)相同的根,則f=g。

(iv)若b=0,c≠0則f=g或f=-g。若n是1個(gè)偶數(shù),則f=-g不成立。

2 定理6的證明

設(shè)F和G的定義如(4)式,H的定義如(1)式。設(shè)H不恒等于0,則由引理1,引理2和引理3可得T(r,F)+T(r,G)≤

其中ε是任意小正數(shù)。由(10),(11),(21)與引理3可得(n+1){T(r,f)+T(r,g)}

其中ε為任意充分小的正數(shù)。

由(22)可得

這與已知條件n>15-5m in{Θ(∞,f),Θ(∞,g)}矛盾。因此H≡0,由此可得(3)。于是引理6可得F′1=,這里F1與G1由(2)定義。再由引理7可得F1=。于是由引理8可得定理6的結(jié)論。定理6證畢。

[1] Hayman W K.Meromorphic Functions[M].Oxford:Clarendon Press,1964.

[2] Laine I.Nevanlinna Theory and Comp lex Differential Equation[M].Berlin:Walter de Gruyter,1993.

[3] Yang L.Value Distribution Theory[M].Berlin:Sp ringer-Verlag,1993.

[4] Yang CC,Yi H X.Uniqueness Theory of Meromorphic Functions[M].Do rdrecht/Boston/London:Kluwer Academic Publishers,2003.

[5] Alzahary T C,Yi H X.Weighted sharing three valuesand uniqueness of meromorphic functions[J].J Math Anal App l,2004,295(1):247-257.

[6] Banejee A.A uniqueness result on some differential polynomials sharing 1-points[J].Hiroshima Math J,2007,37:397-408.

[7] Yi H X.Meromorphic Functions that share one or two value[J].Comp lex Variables Theo ry App l,1995,28:1-11.

[8] Yang C C.On two entire functions w hich together with their derivatives have the same zeros[J].J Math Anal Appl,1976,56:1-6.

[9] Yi H X.Uniqueness of meromorphic functions and a question of C.C.Yang[J].Complex Var Theory Appl,1990,14:169-176.

[10] Lahiri I.Uniqueness of meromorphic functions as governed by their differential polynomials[J].Yokohama Math J,1997,44:147-156.

[11] Fang M L,Wei H.A unicity theorem for entire functions concerning differential polynomials[J].Indian J Pure App l M ath,2001,32:1342-1348.

[12] Fang C Y,Fang M L.Uniqueness of meromorphic functions and differential polynomials[J].Comput Math Appl,2002,44:607-617.

[13] Lahiri I,Mandal N.Uniquenessof nonlinear differential polynomials sharing simple and double 1-points[J].Int J Math Sci,2005,12:1933-1942.

[14] Yang C C.On deficiencies of differential polynomialsⅡ[J].Math Z,1972,125:107-112.

[15] Banejee A,M ukherjee S.Nonlinear differential polynomials sharing a small function[J].A rchivum Mathematicum(BRNO)Tomus,2008,44:41-56.

On Uniqueness of Meromo rphic Functions Whose Nonlinear Differential Polynomials Have One Nonzero Pseudo Common Value

L IXiao-M in,HU Hai-Yan
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

By using the technique described by Banejee and M ukherjee,a theorem on uniquenessof meromorphic functions w hose nonlinear differential polynomials have one nonzero pseudo common value is p roved.This new result imp roves some p revious ones given by C.Y.Fang and M.L.Fang,I.Lahiri and M andal,A.Banerjee,and others.

meromorphic functions;shared values;differential polynomials;uniqueness

O174.52

A

1672-5174(2010)12-154-05

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(10771121,40776006);國(guó)家自然科學(xué)基金中俄合作協(xié)定項(xiàng)目(10911120056);山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目

(Z2008A 01,ZR2009AM 008)資助

2009-07-14;

2010-02-03

李效敏(1967-),男,副教授。E-mail:xm li01267@gmail.com

AMS Subject Classification: 30D30

責(zé)任編輯 朱寶象