陳小磊

摘要:“微元法”是物理學(xué)中常用的一種方法,本文舉例分析在中學(xué)物理學(xué)習(xí)中如何應(yīng)用“微元法”解決物理問題。

關(guān)鍵詞:微元法;高中物理;應(yīng)用

中圖分類號(hào):G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1003-6148(2009)11(S)-0071-3

微元法是物理學(xué)中分析問題和解決問題常用的一種方法,其基本思路是將復(fù)雜的物理過程分成若干個(gè)微小的“元過程”,然后對(duì)“元過程”進(jìn)行分析,找出其物理規(guī)律,再將此規(guī)律通過一定的數(shù)學(xué)方法或物理思想運(yùn)用到整個(gè)過程,進(jìn)而解決問題。微元法在解決許多復(fù)雜物理問題中發(fā)揮了很大的作用,下面通過幾個(gè)例子說明其具體的運(yùn)用。

1 微元法求解位移

例題1 如圖1所示,一水平放置的光滑平行導(dǎo)軌上放一質(zhì)量為m的金屬桿,導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),導(dǎo)軌的一段連接一阻值為R的電阻,其他電阻不計(jì),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于導(dǎo)軌平面,現(xiàn)給金屬桿一水平向右的初速度v0,然后

任其運(yùn)動(dòng),導(dǎo)軌足夠長(zhǎng),試求金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離是多少?

解析 由受力分析(圖2)可知,ab桿向右做加速度減小的減速運(yùn)動(dòng),取運(yùn)動(dòng)過程中極短時(shí)間Δt進(jìn)行分析,由于時(shí)間極短,可以視為勻速運(yùn)動(dòng),速度設(shè)為v,發(fā)生一段極小的位移Δx,則ab桿上電流

I=εR=BLvR

桿受到的安培力

F安=BIL=B2L2vR

可見F安為恒力,選向右為正方向,在Δt時(shí)間內(nèi),F安的沖量為

ΔI=-F安Δt=-B2L2vRΔt

由于Δx=vΔt,所以ΔI=-B2L2RΔx,得

Δx= -RB2L2ΔI

金屬桿在導(dǎo)軌上向右移動(dòng)的最大距離就是對(duì)所有Δx求和,即

x=ΣΔx=Σ(-RB2L2ΔI)=-RB2L2ΣΔI

ΣΔI是安培力的總沖量,而對(duì)桿用動(dòng)量定理可得總沖量

ΣΔI=0-mv0

∴x=RB2L2mv0

點(diǎn)評(píng) 這是一道典型的變加速運(yùn)動(dòng)求位移的問題,對(duì)整個(gè)過程來(lái)講直接求解比較困難,但將運(yùn)動(dòng)無(wú)限微分后,對(duì)于時(shí)間極短的“元過程”,桿可以視為勻速運(yùn)動(dòng),而安培力則為恒力,這就使問題得以簡(jiǎn)化,相關(guān)公式都可直接使用,再利用數(shù)學(xué)求和及沖量、動(dòng)量定理即可推得結(jié)果。

2 微元法求解力

例題2 如圖3所示,一個(gè)半徑為R的四分之一光滑球面放在水平桌面上,球面上放置一光滑均勻鐵鏈,其A端固定在球面的頂點(diǎn),B端恰與桌面不接觸,鐵鏈單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為ρ,試求鐵鏈A端受的拉力T。

解析 取鐵鏈上極短的一小段ΔL作為研究對(duì)象,作出受力分析圖(圖4),設(shè)該小段所在半徑OC與OB成θ角且受到的沿切線向上的拉力比沿切線向下的拉力大ΔTθ,根據(jù)受力平衡,在切線方向上有

Tθ+ΔTθ=Tθ+ΔGcosθ

ΔTθ=ΔGcosθ=ρΔLgcosθ

整條鐵鏈對(duì)A端的拉力是各小段ΔTθ之和,即

T=ΣΔTθ=Σ(ρΔLgcosθ)=ρgΣΔLcosθ

分析ΔLcosθ的意義(圖5),由于ΔL所對(duì)圓心角Δθ很小,所以弧CD可視為一小段切線,CD⊥OC,∠DCE=θ,可見ΔLcosθ表示ΔL在豎直方向上的投影ΔR,因此

ΣΔLcosθ=R

∴T=ρgR。

點(diǎn)評(píng) 本題中鐵鏈不可視為質(zhì)點(diǎn),無(wú)法直接受力分析求解,但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)鐵鏈內(nèi)部的拉力不斷變化,可從此拉力入手分析,將鐵鏈分割成若干小段,每小段可看成質(zhì)點(diǎn),并進(jìn)行受力分析,根據(jù)平衡條件可求得每小段受到相鄰小段拉力之差(ΔTθ),再利用數(shù)學(xué)求和即可推得整條鐵鏈在A端的拉力情況。

3 微元法求解速度

例題3 一個(gè)半徑為R的環(huán)(環(huán)心為O2)立在水平面上,另一個(gè)同樣大小的環(huán)(環(huán)心為O1)以速度v從前一環(huán)的旁邊經(jīng)過。試求當(dāng)兩環(huán)環(huán)心相距為d(2R>d>0)時(shí),兩環(huán)上部的交點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)速度(兩環(huán)均很薄,可認(rèn)為兩環(huán)是在同一平面內(nèi),第二個(gè)環(huán)是緊貼著第一個(gè)環(huán)擦過去的)。

解析 設(shè)兩環(huán)心相距為d時(shí)如圖中的實(shí)線所示(圖6),自此時(shí)刻起,經(jīng)歷一段極短的時(shí)間Δt,環(huán)O1運(yùn)動(dòng)到虛線位置(圖7),交點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)(圖中的A、C、D三點(diǎn)是相距很近的,為使相對(duì)位置清楚,圖中的位移是夸大了的),弧AC、DC可以近似地看成是弦AC、DC重合的,動(dòng)環(huán)的位移可用AD表示,交點(diǎn)的位移可用弦AC表示,其大小分別為

AD=vΔt ,AC=v瑼Δt

所以v瑼=ACADv

其中v瑼為交點(diǎn)的移動(dòng)速度。又以α表示等腰△AO1O2的底角,且視AC為一小段切線,則:

∠CAD=π2-∠DAO2=π2-α

在等腰△ADC中,有

AD=2ACcos∠CAD

ACAD=12cos∠CAD=12sinα

其中sinα=R2-(d2)2R

∴v瑼=v2sinα=Rv4R2-d2

點(diǎn)評(píng) 題目中從整體來(lái)看A點(diǎn)做變速圓周運(yùn)動(dòng),速度與環(huán)速無(wú)直觀聯(lián)系,但取一段微小的“元過程”進(jìn)行分析,可作出極短時(shí)間內(nèi)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,并可與圓環(huán)的位移對(duì)比分析,利用“元過程”時(shí)間極短的特性,將圓弧簡(jiǎn)化為直線和切線,避開了問題的復(fù)雜點(diǎn),再加上數(shù)學(xué)推導(dǎo),找出兩速度的關(guān)系迎刃而解。

4 微元法求解時(shí)間

例題4 A、B、C三個(gè)芭蕾舞演員同時(shí)從邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的三角形頂點(diǎn)A、B、C出發(fā),以相同的速率V運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)中始終保持A朝著B、B朝著C、C朝著A。試問經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間三人相聚?

解析 從三個(gè)演員剛剛出發(fā)時(shí)開始,取極短的時(shí)間Δt,每個(gè)演員的運(yùn)動(dòng)近似為直線運(yùn)動(dòng),則第一個(gè)Δt內(nèi)A、B、C的運(yùn)動(dòng)方向和位移,以及第一個(gè)Δt末三者的位置A1、B1、C1如圖8所示。這樣可依次作出以后每經(jīng)Δt,以三個(gè)演員為頂點(diǎn)組成的三角形A2B2C2,A3B3C3,…。由速率V相同可得,三個(gè)演員都作等速率曲線運(yùn)動(dòng),而且任何時(shí)刻三個(gè)演員的位置都分別在一個(gè)正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上,但這正三角形的邊長(zhǎng)不斷縮小,最終三人于△ABC的中心相聚。圖中

〢A1=〣B1=VΔt

從B1作B1D1⊥AB于D1,則

〣D1=〣B1猚os60°=12VΔt

〢1D1=L-〢A1-〣D1

=L-VΔt-12VΔt

=L-32VΔt

因?yàn)樵赗t△B1A1D1中∠B1A1D1很小,可以認(rèn)為

〢1B1=〢1D1=L-32VΔt

可見,經(jīng)過Δt,A、B間距離縮小了

ΔL=〢B-〢1B1=32VΔt

且每一個(gè)Δt內(nèi)情況相同

Δt=23VΔL

三人一起相聚于三角形ABC的中心所需時(shí)間即為所有Δt之和,即

T=ΣΔt=Σ23VΔL=23VΣΔL=2L3V

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于不規(guī)則的變速曲線運(yùn)動(dòng),沒有直接求解時(shí)間等物理量的公式,但本題中三演員的運(yùn)動(dòng)通過微元分析后很快發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律,將此規(guī)律應(yīng)用到整個(gè)過程即可很容易地求出總時(shí)間。

以上列舉了微元法的幾個(gè)常見的應(yīng)用,除此之外,其他許多物理問題都可以運(yùn)用此法求解,但不論什么題型,微元法始終是從事物的微小部分入手分析,達(dá)到解決事物整體問題的方法,是從部分到整體的思維方式。在一定的條件下,通過微元法可以化曲為直、化變?yōu)楹?、化?dòng)為靜,將變化的、運(yùn)動(dòng)的對(duì)象轉(zhuǎn)化為不變的、靜止的元對(duì)象,以便進(jìn)行分析和處理,從而歸納出適用于整體的結(jié)論,使復(fù)雜問題得到簡(jiǎn)化。

(欄目編輯張正嚴(yán))