徐順湘

一、活用“特殊例子”——構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

[案例1]蘇教版五年級(下冊)“找規(guī)律”教學(xué)片段

師：在□□□□中有多少個長方形?你是怎樣數(shù)的?

生：我先數(shù)出單個的4個。再數(shù)出由相鄰兩格組成的長方形有3個，然后數(shù)由相鄰三格組成的長方形有2個，最后加上由四格組成的大長方形，這樣一共有10個長方形。

師：□□□□□□□□□□中有多少個□□□這樣的長方形?

生1：我是依次圈出來的，一共有8個這樣的長方形?

生2：我先把□□□覆蓋在大長方形上，然后按從左往右的順序逐次平移，平移7次得到一共有8個這樣的長方形。

師：平移了7次怎么會有8個這樣的長方形呢?還有1個是哪里來的?

生：“1個”是一開始就覆蓋的那一個。

師：同學(xué)們剛才用到了平移的方法，采用平移的方法有什么好處?

生：能按一定的順序，不遺漏、不重復(fù)地找出所有的長方形。

師：□□□□□□□□□□中有幾個□□□□這樣的長方形?用平移的方法找一找。

生：有7個這樣的長方形。

師：□□□□□□□□中有多少個□□□□□□□

50個□這樣的長方形?請同學(xué)們自己尋找解決問題的方法。

生：50－6+1＝45(個)。

師：你是怎么想的?說說你的發(fā)現(xiàn)。

生：大長方形格數(shù)一小長方形格數(shù)+1＝小長方形的個數(shù)。

師：“大長方形格數(shù)一小長方形格數(shù)”得到是什么?

生：“大長方形格數(shù)一小長方形格數(shù)”得到的是覆蓋后剩下的格數(shù)，也就是平移的次數(shù)。

師：如果用a、b分別表示大長方形的格數(shù)和小長方形的格數(shù)，怎樣求出小長方形的個數(shù)?

生：a－b+1。

上述案例中，教者從更有利于學(xué)生找出規(guī)律的角度考慮。改換了例題。因為教材提供的例題中：“使每次框出的兩個數(shù)的和各不相同”這一要求，給學(xué)生設(shè)置了一定的障礙，不利于學(xué)生關(guān)注到規(guī)律的本質(zhì)特點。為此，教者試圖排除非本質(zhì)特點的干擾，找到此類規(guī)律的“原型”，即有序地數(shù)出大長方形中包含的小長方形的個數(shù)。教學(xué)中，先以分類數(shù)出所有的長方形作鋪墊，再引導(dǎo)學(xué)生采用覆蓋平移的方法具體感知規(guī)律的特點，然后“逼”學(xué)生擺脫直觀操作，經(jīng)歸納推理自己探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律。通過問題一般化的過程，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后運用化歸的數(shù)學(xué)思想，利用數(shù)學(xué)模型的典型性深刻理解并靈活應(yīng)用規(guī)律，提高學(xué)生的解題能力。

二、妙設(shè)“特殊操作”——突破教學(xué)難點

[案例2]“認(rèn)識體積”的教學(xué)

1理解“空間”。

師：請同學(xué)們拿出課桌里的書包，用手觸摸抽屜，你有什么感覺?

生：抽屜里有一定的空間。

師：請把書包放回課桌里，再用手觸摸，你又有什么感覺?

生：抽屜里有一部分空間被書包占據(jù)了，原來的空間變小了。

師：(出示一只空的量杯)請同學(xué)們觀察：量杯里有一定的空間。老師慢慢地往量杯里倒水，你有什么發(fā)現(xiàn)?

生：量杯里的空間被水占據(jù)了。

2理解“空間的大小”。

實驗操作：

(1)將鐵塊浸沒在盛水容器中，觀察水面的變化，再從水中取出鐵塊，觀察水面的變化。

(2)將比鐵塊大得多而重量明顯輕于鐵塊的泡沫塑料塊浸沒在水中，觀察、比較放進(jìn)鐵塊與放進(jìn)泡沫塑料時出現(xiàn)的現(xiàn)象有什么異同?放進(jìn)泡沫塑料塊比放進(jìn)鐵塊水面上升得多，這是為什么?

體積的概念對于小學(xué)生來說是相當(dāng)抽象的，大多數(shù)教師都是采用出示長方形盒子等實物教具來幫助學(xué)生理解。案例2中，教師頗有創(chuàng)意地設(shè)計了特殊的操作活動。該操作活動的特殊之處在于：一是具有一定的層次性，先讓學(xué)生理解“空間”，再讓學(xué)生理解“空間的大小”，符合學(xué)生的認(rèn)知特點；二是理解“空間的大小”時，大多數(shù)教師僅憑借第一次實驗操作，就問學(xué)生水面升高或下降的原因是什么?對于空間觀念還很淡薄的小學(xué)生來講，往往會聯(lián)想到是因為水中增加了鐵塊的重量的緣故。為了讓學(xué)生的思維避開這一誤區(qū)，教者在完成第一個實驗操作后，沒有急于抽象概括，而是緊接著又巧妙地進(jìn)行對比實驗，而且有意識地選取了“特殊”的實驗材料——比鐵塊大得多而重量明顯輕于鐵塊的泡沫塑料塊。經(jīng)過兩個層次的實驗操作，教師因勢利導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生抽象概括出“體積”的意義。這樣學(xué)生在饒有興趣的觸摸和觀察中，由表及里地層層體驗概念的內(nèi)涵，使學(xué)生建立起“體積”概念，達(dá)到終生難忘的教學(xué)效果，有效地突破了教學(xué)難點。

三、巧覓“特殊路徑”——優(yōu)化認(rèn)知過程

[案例3]探究“圓周長與什么有關(guān)”的教學(xué)

師：學(xué)校進(jìn)行校園環(huán)境改造，計劃建一個花壇，工人們先確定花壇中心位置(出示中心點)，在量得兩端的距離為3米后，建這樣一個正方形花壇(如圖1)，它的周長是多少?

生：3×4＝12(米)。

師：如果將這兩點的距離改為5米，花壇的周長會有什么變化?為什么?

生：因為正方形的邊長變長了，所以花壇的周長也就變長了。

師：如果在這兩端之間建的是一個圓形的花壇(如圖2)，這個花壇的周長指的又是哪一部分?

生：封閉曲線的長就是圓形花壇的周長。

師：假如將兩端的距離改為5米，建成的圓形花壇與剛才的相比，哪一個的周長更長?

(多媒體演示：將兩個圓形的曲線分別展開并比較。)

師：想一想，圓的周長與什么有關(guān)?

生：圓的周長與它的直徑有關(guān)。

圓的周長與直徑有關(guān)，學(xué)生一般較難發(fā)現(xiàn)和理解。通常情況下，教師會采用兩種教學(xué)路徑：一是通過測量直接標(biāo)注好不同直徑而大小不同的圓的周長，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長與它的直徑有關(guān)；二是由正方形的周長與它的邊長有關(guān)，直接揭示圓的周長肯定與它的半徑或直徑有關(guān)。這些認(rèn)知路徑都顯得比較生硬，圓的周長與它的直徑有關(guān)都并非是學(xué)生感悟后發(fā)現(xiàn)的，而是教師暗示或直接告知的。而上述案例中，教師找到了一條認(rèn)知的“特殊路徑”：抓住正方形與圓的周長實質(zhì)都與經(jīng)過它們中心的定長線段有關(guān)這一共有的本質(zhì)特點，在理解正方形的周長與它的邊長有關(guān)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓的周長與它的直徑有關(guān)，這樣就符合從已知到未知的認(rèn)知規(guī)律，整個認(rèn)知過程自然而又流暢。