蔣邕平 呂德清

摘要：數學奧林匹克教育已成為國際公認的教育活動，隨著這種活動的發(fā)展，逐漸形成了一門特殊的數學學科——數學奧林匹克，認識數學奧林匹克教育的教育價值、理論依據、體系特征、主要研究內容和問題特點；妥當確立數學奧林匹克教育的教學定位，把握其教學要求，科學實施其教學方略，可促使數學奧林匹克教育健康、有序地發(fā)展，

關鍵詞：數學奧林匹克教育研究

數奧競賽已成為國際公認的教育活動，從小學、中學到大學，參賽人數之多、范圍之廣、試題難度之高等均不比體育中的奧運會遜色，在國際奧競賽中，中國學生的成績已得到舉世公認，進入新世紀，面臨新挑戰(zhàn)，如何繼續(xù)使中國的數奧事業(yè)漫步在繁榮發(fā)展的康莊大道上?這是擺在有志于這一事業(yè)的同仁面前的一個重要課題，事業(yè)要發(fā)展，一方面要整體有序性地加強，另一方面要局部自主性地發(fā)揮，數奧事業(yè)整體有序性得以加強要靠數奧理論的深入研究并完善其體系，其自主性的積極發(fā)揮也要卓有成效的數奧教育為基礎。

一、數學奧林匹克的教育價值

數奧對發(fā)現人才、選拔人才、培養(yǎng)人才發(fā)揮著重要的作用，當今所有經濟大國和科技大國，無一例外地都是數學強國，數學競賽的開展，肩負著發(fā)現和培養(yǎng)優(yōu)秀人才的重任，一個數學人才的培養(yǎng)一般分為兩個階段：一是早期的未定型階段，另一個是選定數學為職業(yè)后的學習和研究階段，這兩個階段的培優(yōu)教育都是重要的，一些世界著名數學家，除了他們的天賦之外，早期得到“伯樂”的指導的例子是很多的。

數奧強化了能力培養(yǎng)的教育導向，培養(yǎng)了學生開拓探索型的智力和能力，開拓探索型的智力和能力依賴于開拓探究型思維方法的掌握，競賽數學的內容是以研究解決問題為主的開拓探究型認知體系，要求人們注重智力的開發(fā)與能力的發(fā)展。

數奧從本質上激發(fā)了學生對科學的濃厚興趣，數學競賽題從結構到解法都充滿著藝術的魅力和誘人的趣味，它吸引人們去進行積極的探索，而在探索中又親自體驗到數學思想的智慧光輝和數學方法的創(chuàng)造力量，更進一步產生向往感。

數奧活動有利于學生形成發(fā)展的認知結構，競賽活動具有發(fā)展性和研究性，發(fā)展性是其時代特性，研究性是其內容與價值特性，求解數學競賽問題沒有例題，沒有現成的解題程序，需經自己研究，獨立去發(fā)現，在學生的認知體系中，注入獨立學習、獨立研究、獨立發(fā)展的新的認知元素，使他們受到現代數學思想與文化的熏陶，為其認知結構的進一步更新與發(fā)展奠定良好的基礎。

數奧造就學生追求科學發(fā)展的百折不撓的心理品質，解競賽題需要的是意志堅強者，而淘汰意志薄弱者，參加競賽使他們體驗到：沒有艱辛，就沒有成功。

二、數學奧林匹克的體系特征

數奧是基礎性的綜合數學，數奧植于中學數學，錘煉了數學的重要內容，許多競賽題目與中、小學數學課本中的例題、習題有一定的聯(lián)系，有的甚至是課本例題、習題的直接延伸、發(fā)展和變化，數奧以傳統(tǒng)的初等數學的內容為起點，逐步加深難度，不斷淘汰一些較陳舊的內容，同時挖掘傳統(tǒng)內容的精華并加以改造，注入新的表現形式，用新的數學思想和方法重新處理，逐步增加現代數學內容，滲透現代數學的思想和觀點，并且使所涉及的問題大多可用較初等的方法解決，它服務于培養(yǎng)數奧選手及教練，服務并服從數奧的發(fā)展，它是一種大學數學的深刻思想與中、小學數學的精妙技巧相結合的基礎性綜合數學。

數奧是發(fā)展性的教育數學，數奧教育從一定意義上說是某種數學教育實驗，對中、小學數學教育的改革產生巨大影響，通過競賽，較新的數學知識逐步普及，在這個普及過程中許多現代數學的新思想、新方法、新內容，不斷地影響中、小學數學，從而促進數學課程的改革。

數奧是創(chuàng)造性的問題數學，數奧通過一道道千姿百態(tài)的問題和機智巧妙的解法，橫跨傳統(tǒng)數學與現代數學的各個領域，人們常以“內部生成”(即剖析已有問題，做出實質性改造、推廣或遷移)和“外部嵌入”(即將較高層次的數學研究成果，經過加工創(chuàng)造而成)的創(chuàng)造方式命制出競賽試題。

數奧是富于挑戰(zhàn)性的活數學，由于眾多的數學家直接參與數學競賽活動，同時更由于競賽本身的機制，使得數奧具有很大的開放性、發(fā)展性、挑戰(zhàn)性，現代數學某些分支的發(fā)展，往往很快影響到數奧的發(fā)展，例如，組合幾何這一既古老又新穎的分支在20世紀70年代后發(fā)展很快，形成了絢麗多彩的理論，在數學競賽中，這類問題也逐漸受到重視，因此，數奧的發(fā)展也體現了數學的發(fā)展。

三、數學奧林匹克教育的理論依據

“最近發(fā)展區(qū)”是前蘇聯(lián)心理學家維果斯基在揭示教育對數學個體的發(fā)展起主導和促進作用的規(guī)律時提出來的，他認為促進學生個體的發(fā)展首先要確定其發(fā)展的兩種水平，一種是現有的已經達到的水平，表現為學生能夠獨立解決的智力任務，另一種是在有指導的情況下，借助于他人的啟發(fā)和幫助可以達到的較高水平，這表現在學生還不能獨立完成解決某些任務，但在他人的幫助下，在集體活動中，通過模仿就能夠解決這些任務，這兩種水平之間的差距，就是“最近發(fā)展區(qū)”，維果斯基的理論對于學校教育的最重要的啟示是：最佳的教學效果一定產生于“最近發(fā)展區(qū)”，可見，宜重視在教學中發(fā)展學生的潛力，而不僅僅局限于他的發(fā)展水平之內，這一觀點在原則上對數奧教育具有很大的啟發(fā)意義，數奧教育在學生個體發(fā)展中具有加速發(fā)展的特殊功能，在確定了學生的“最近發(fā)展區(qū)”后，數奧教育往往走在學生現有發(fā)展水平的前面，從而更加明顯有效地帶動學生的發(fā)展。

“超前、超常”是數奧的最大特點，數奧的高難度、高要求形成了學生學習的“最近發(fā)展區(qū)”，它是側重于學生創(chuàng)新能力傾向的測試，這種創(chuàng)新能力是逐步形成的，不同層次的學生，由于其成績、智力、能力有差異，因而他們的“最近發(fā)展區(qū)”也不同，數奧教育要求充分發(fā)揮學生的主體作用和老師的主導作用，把握好“火候”，指導學生盡量完成“最近發(fā)展區(qū)”內的題目，促使學生迅速發(fā)展和提高，從而利用“最近發(fā)展區(qū)”，促使學生的創(chuàng)新能力產生質的飛躍。

四、數學奧林匹克教育的教學定位

數奧教育從本質上講是中小學數學教育，其教育對象是中小學生，其教育載體是不超過中學或中學生所能接受的數學知識；如果對數學教育按照“因材施教”的原則進行分層，那么可以分為循序漸進的三個層次，第一層次為最基本的數學知識和技能教育，它為勞動后備軍打下最基本的數學基礎，這是最低層次，大致相當于畢業(yè)過關水平，不妨稱之為過關教育；第二層次是高一級學校的預備教育，它為將升入高一級學校的新生打下較堅實的數學基礎，不妨稱之為升學教育或預科教育；第三個層次是為了培養(yǎng)高新技術的高級后備人才而進行的培優(yōu)教育，不妨稱之為英才教育，在不同的歷史時期，這三個層次的水平及表現形式有所變化，在今天“現代化在某種意義上說，就是數學化”，“高新技術在本質上是一種數學技術”的形式下，在人才激烈競爭的世界上，

確立數奧教育在基礎教育中的地位具有戰(zhàn)略的意義——奧運戰(zhàn)略，因此，進入新世紀，數奧教學應是中學數學教育的組成部分，是基礎教育的完善與補充，不應把它看成單純的業(yè)余教育，更不應把它與過關教育、升學教育對立起來，要妥善處理好三個層次的關系，同時，筆者也認為：任何事情都有個度，超度就會走向反面，應當根據學生的學齡、學段、學情妥當確立數奧教育對一個學生、一個學校的教育定位，并且應當與現在開設的數學活動課程、數學研究課程、數學應用知識競賽等有機地結合起來，這樣將極大地促進我國中小學數學教育的發(fā)展。

五、數學奧林匹克的主要內容和教學要求

深入研究數奧所涉及的內容可知，目前已基本穩(wěn)定的代數、幾何、數論、組合等方面，另外，我們要注意到數奧內容的兩個方面，一方面數學競賽是才智的角逐，因此，一些有固定路線可以遵循的問題，不屬于數學競賽，競賽需要的是“巧”，是出奇制勝的“野路子”，競賽促進中學數學加強薄弱環(huán)節(jié)，而每當一種方法越來越多地為中學教師與學生所掌握后，它也就完成了自己的歷史使命，并脫離了數奧，成為中學數學的一個部分，另一方面將高等數學下放到初等數學中去，用初等數學的語言來表述高等數學的問題，并用初等數學的方法來解決這些問題，這就是競賽數學的任務，因此，數奧吸收了能用初等語言表述，并能用初等方法解決的高等數學中的某些問題，這里的問題、甚至解法的背景往往來源于某些高等數學領域，滲透了高等數學的某些內容、思想和方法，但數奧又不同于這些數學領域，另外，數學往往追求證明一些概括廣泛的定理，而數奧恰恰追求一些特殊問題，而不需要高深的數學工具，這些問題往往可以從思考角度、理解方法和解題思路方面推出一種廣義的認識，深入研究數奧的主要內容，更要認真鉆研《數學競賽大綱》，當然，隨著新的數學課程標準的制定，競賽大綱也可能進行修訂，但制定數學競賽大綱是我國數奧活動的創(chuàng)造，也是我國數奧深入發(fā)展和日益成熟的標志，數學競賽大綱的制定是方興未艾的數學競賽活動進一步規(guī)范化的標志，因此，競賽大綱是數奧培訓的依據、命題的依據。

六、數學奧林匹克的試題特點

根據數奧的體系特征，數奧試題的命制應遵循科學性、新穎性、選拔性、能力性、界定性等原則，因而，數奧的題目風格迥異，各具特色，涉及知識領域寬闊，思維方式新穎，認識試題的主要特點，可以為我們在數奧教育中科學實施教學方略指明方向。

新穎性與選拔性：競賽題中有不少稱為“適應性”的試題，這種題往往是新定義一個概念：如新定義一個函數、一個集合、一個數列、一類數；新定義一種符號、一種運算法則或者給出處理問題的規(guī)劃和要求等等，然后要求參賽者按新給的定義解題，或者設計出方案或給出實施方案。

開放性與探究性：為了考查參賽者的探究能力，某些試題呈現出各種情形的開放性，如只給出條件，而結論隱而未白，或指出一個探索方向和范圍，結論需自己探究后做出判斷。

背景性與前沿性：競賽題的很多題材，凝結了不少優(yōu)秀數學家的心血和智慧，是某些高等數學或前沿領域的問題、方法，通過“初等化”、“特殊化”、“具體化”等移植而來，而且調動和活化了初等數學中很多潛在的知識、方法、原理，有重要的背景。

藝趣性與競技性：很多競賽試題把現代化的內容與趣味性的陳述、獨創(chuàng)性技巧有機結合起來，充分展現藝術的構造或構造的藝術，競賽試題常常又以其題型新、知識面廣、解法靈活、技巧強、難度大以體現競賽性質。

七、數學奧林匹克教育的教學方略

數學競賽是一種特殊形式的考試，因此數奧教育應防止應試教育的傾向，避免采用應試教育的教學方略，

激發(fā)學習數學興趣，提高學習的主動精神，是數奧教育的一條指導原則，如果教學與訓練工作不考慮不斷激發(fā)學生的興趣和能力水平，長時間的高難度訓練會產生反作用，產生疲勞情緒，甚至導致思維混亂，變成學生的沉重負擔。

要注意培養(yǎng)良好的數學認知結構和進行廣泛遷移的能力，現代教學論中，布魯納強調“學科知識結構”，瓦根舍因注意通過范例使學生掌握一般原理，形成結構性知識，說明數學知識達到結構性的認識是非常重要的，知識不形成結構，也就不能進行遷移，為了培養(yǎng)學生良好的所學認識結構，不僅要注意局部，更要注意整體，還要注意過程，應使常規(guī)數學教學與競賽培訓教學有機地結合起來。

突出數學思想方法，強調在理解的基礎上創(chuàng)新，現代教學論強調理解學習內容的本質特征，使新舊知識建立起本質的非人為的聯(lián)系，才能靈活地運用已有知識和經驗，解決問題，發(fā)現問題，數奧教學在一定意義上是以解競賽題為中心的教學，如果孤立地處理問題，不注重問題的背景和相關的知識系統(tǒng)與命題系統(tǒng)的關系，便不會收到鍛煉學生思維的目的，因此，必須突出數學思想方法，在把握問題、解決問題的基礎上有所創(chuàng)新。

利用交往的功能發(fā)揮智力群體的作用，現代教學論，特別是交往教學論與社會心理學，都十分強調環(huán)境與交往對人的發(fā)展的影響，由于參加數奧培優(yōu)的都是數學學習較好的學生相對集中的智力群體，每個人都有自己的長處，強中自有強中手，一山更比一山高，每個人都可以找到自己的參照進取目標，應適當地組織探討式教學，以形成師生、學生間的多向信息交流，發(fā)揮互補式交往功能，促使解題思路更加優(yōu)化，知識理解更加透徹，創(chuàng)新精神更加開拓。