孟亞峰　賈占強(qiáng)　蔡金燕

摘 要：首先針對(duì)高可靠、長(zhǎng)壽命電子裝備的可靠性評(píng)估問題，提出一種新的試驗(yàn)方法——雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)。而后在正態(tài)分布下，通過理論模型的建立，運(yùn)用Monte－Carlo仿真對(duì)該試驗(yàn)的試驗(yàn)效率問題進(jìn)行深入研究，分析得出形狀參數(shù)σ、壽命特征參數(shù)μ與加速效率指標(biāo)之間的基本關(guān)系。結(jié)果表明在實(shí)際試驗(yàn)條件下，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)與雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)相比，其試驗(yàn)效率是十分明顯的。

關(guān)鍵詞：加速壽命試驗(yàn)；雙應(yīng)力交叉步階；蒙特卡洛仿真；正態(tài)分布

中圖分類號(hào)：TB114.3文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1004 373X(2009)02 071 05

Simulation of Double Crossed Step－stress Testing Based on Normal Distribution

MENG Yafeng,JIA Zhanqiang,CAI Jinyan

(Ordnance Engineering College,Shijiazhuang,050003,China)

Abstract：This paper presents a method to solve reliability evaluation problem of electronic equipments with high reliability and long life using double crossed step－stress testing in Normal distribution.Testing efficiency is studied deeply by building theoretic model and Monte－Carlo simulation.And the same time,the relationship between the parameters(σ and μ) of normal distribution and accelerated efficiency is researched deeply.The results show that double crossed step－down－stress has more advantages than double crossed step－up－stress in the same conditions.

Keywords：accelerated life testing;double crossed step－stress;Monte－Carlo simulation;normal distribution

0 引 言

在文獻(xiàn)［1］中提出了一種新的雙應(yīng)力加速壽命試驗(yàn)方法——雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)，在指數(shù)分布形式下對(duì)該試驗(yàn)方法的核心思想進(jìn)行了詳細(xì)闡述，之后對(duì)其統(tǒng)計(jì)分析方法進(jìn)行了研究。但現(xiàn)代電子裝備的失效壽命很多情況下服從正態(tài)分布，因此，在此分布形式下研究雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

1 問題描述

這里將雙應(yīng)力交叉步降加速壽命試驗(yàn)（Double－Crossed Step－down－Stress Accelerated Life Testing，DCSDS－ALT）［1］與雙應(yīng)力交叉步進(jìn)加速壽命試驗(yàn)（Double－Crossed Step－up－Stress Accelerated Life Testing，DCSUS－ALT）［2］統(tǒng)稱為雙應(yīng)力交叉步階加速壽命試驗(yàn)（Double－Crossed Step－Stress Accelerated Life Testing，DCSS－ALT）。從定義可以看出，雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)同樣包含兩種截尾方式，即定數(shù)截尾雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)與定時(shí)截尾雙應(yīng)力交階步降試驗(yàn)。

文獻(xiàn)［2］已經(jīng)對(duì)雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)進(jìn)行了詳細(xì)研究，這里就不再贅述，相關(guān)知識(shí)和結(jié)論均可在文獻(xiàn)［2］中進(jìn)行查詢。雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)作為一種新的試驗(yàn)方法，其理論體系還有許多有待完善的地方。在此，首先對(duì)雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。

2 雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)方法

2.1 雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的實(shí)施步驟

（1） 首先確定兩個(gè)加速應(yīng)力（分別記為S1，S2）及每個(gè)應(yīng)力所取的應(yīng)力水平：

S10＜S11＜…＜S1璴， S20＜S21＜…＜S2璳（1）

式中，l和k分別是兩個(gè)加速應(yīng)力的水平數(shù)；(S10,S20)為產(chǎn)品的正常應(yīng)力水平，這樣第一應(yīng)力的第i個(gè)水平與第二個(gè)應(yīng)力的第j個(gè)水平的搭配(S1璱,S2璲)稱為應(yīng)力水平組合，簡(jiǎn)稱為水平組合(i,j)（i=1,2,…,l；j=1,2,…,k） 。

（2） 從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n個(gè)樣品，首先放在最高應(yīng)力水平組合(l,k)下進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，等到r璴k個(gè)樣品失效時(shí)，將其中一個(gè)應(yīng)力（如第一應(yīng)力）水平降低1級(jí)，而另一應(yīng)力（如第二應(yīng)力）仍固定在原水平上，對(duì)剩余的n－r璴k個(gè)樣品在水平組合(l－1,k)下再進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)，待到r(l－1)k個(gè)樣品失效時(shí)，再將應(yīng)力水平組合調(diào)至(l－1,k－1)，然后對(duì)剩下的n－r璴k－r(l－1)k個(gè)樣品在水平組合(l－1,k－1)下繼續(xù)進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)。如此重復(fù)下去，直到在最低應(yīng)力水平組合(1,1)下有r11個(gè)失效為止。

2.2 雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的特點(diǎn)

（1） 每步只降低一個(gè)應(yīng)力水平，兩個(gè)應(yīng)力水平交叉降低，其水平組合變動(dòng)的軌跡如圖1所示。

圖1 DCSDS－ALT水平組合變動(dòng)軌跡

（2） 假如兩個(gè)應(yīng)力的水平數(shù)分別為l和k，顯然有|l－k|≤1，于是DCSDS－ALT由h=l+k－1步組成，其h個(gè)水平組合全體記為D，即：

D={(l,k),(l－1,k),(l－1,k－1),…,(1,2),(1,1)}（2）

（3） DCSDS－ALT的總失效數(shù)為：

r=r璴k+r(l－1)k+r(l－1)(k－1)+…+r12+r11≤n（3）

其中每一步失效數(shù)r璱j都要事先給定。

（4） 在DCSDS－ALT中，n個(gè)樣品經(jīng)過h步應(yīng)力水平轉(zhuǎn)換，可得到一批失效數(shù)據(jù)。譬如，在水平組合(i,j)下的失效數(shù)據(jù)記為：

t璱j1≤t璱j2≤…≤t璱jr璱j， (i,j)∈D（4）

這些失效時(shí)間都是從水平組合(l,k)開始算起到水平組合(i,j)為止。

（5） DCSDS－ALT較恒加試驗(yàn)所需的試驗(yàn)樣品數(shù)大大減少，前者最少需要12個(gè)，而后者一般至少需要20個(gè)［2］。另外，在試驗(yàn)效率上DCSDS－ALT較雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)也具有較大優(yōu)勢(shì)，下面將通過具體的仿真實(shí)例給予驗(yàn)證。

2.3 具體實(shí)施方案

假設(shè)DCSDS－ALT按照(S1璴,S2璳)＞(S1璴－1,S2璳)＞…＞(S11,S21)的應(yīng)力順序進(jìn)行試驗(yàn)，樣本抽樣數(shù)為n，試驗(yàn)截尾數(shù)為r璱j，即在(S1璱,S2璲)組合應(yīng)力作用下達(dá)到r璱j個(gè)失效時(shí)將應(yīng)力降到(S1璱－1,S2璲)，且失效總數(shù)r=r璴k+r(l－1)k+r(l－1)(k－1)+…+r12+r11≤n，失效時(shí)間以(S1璱,S2璲)開始時(shí)刻為計(jì)算起點(diǎn)，即：

(S1璴,S2璳):t璴k,1,t璴k,2,…,t璴k,r璴k

(S1璴－1,S2璳):t(l－1)k,1,t(l－1)k,2,…,t(l－1)k,r(l－1)k

…

(S11,S21):t11,1,t11,2,…,t11,r11

3 DCSS－ALT的基本假定及加速因子的定義

3.1 基本假定

假定1 各應(yīng)力水平組合下，樣本的壽命數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布，其分布函數(shù)為：

F璱j(t)=Φ(t－μ璱j)σ璱j，i=1,2,…,l；j=1,2,…,k

式中，σ璱j＞0為形狀參數(shù);μ璱j＞0為特征壽命。該假定表明，應(yīng)力水平組合改變是不會(huì)改變壽命分布類型的。

假定2 各應(yīng)力水平組合下產(chǎn)品的失效機(jī)理不變。正態(tài)分布的分布參數(shù)約束條件為：

μ璱j/σ璴k=μ(l－1)k/σ(l－1)k=…=μ12/σ12=

μ11/σ11=μ00/σ00=ρ

假定3所有應(yīng)力水平組合下的失效機(jī)理與正常使用條件下的失效機(jī)理保持一致，不同應(yīng)力水平下的壽命特征μ璱j與應(yīng)力水平(S1璱,S2璲)滿足加速模型：

ln μ璱j=β0+β1φ1(S1璱)+β2φ2(S2璲)+

β3φ3(S1璱,S2璲)（5）

式中，β0，β1，β2，β3為待估參數(shù)；函數(shù)φ1，φ2，φ3為已知函數(shù)；最后一項(xiàng)表示兩個(gè)應(yīng)力之間的交互作用，假如能確定兩應(yīng)力之間在試驗(yàn)中無相互影響，則式（5）最后一項(xiàng)可以去掉。

假定4 Nelson累積失效模型（CEM）：樣品的殘余壽命僅依賴于當(dāng)時(shí)已累積失效部分和當(dāng)時(shí)應(yīng)力水平，而與累積方式無關(guān)。

3.2 加速因子的定義

加速因子反映加速壽命試驗(yàn)中得到的壽命信息與實(shí)際使用條件得到的壽命信息之間得折算規(guī)律，同時(shí)加速因子也是該加速效率仿真實(shí)現(xiàn)失效壽命數(shù)據(jù)折算的關(guān)鍵所在。有關(guān)文獻(xiàn)［3－7］中加速壽命試驗(yàn)的加速因子定義為：

定義1 （加速因子）若產(chǎn)品再加速應(yīng)力水平（組合）S璱與正常應(yīng)力水平（組合）S0下的可靠性壽命分別為ξ璕i和ξ璕0，則稱：

k璱0=ξ璕0/ξ璕i（6）

定義1是目前廣泛認(rèn)同的加速因子定義。它將加速因子定義為可靠壽命之比，揭示了加速因子的本質(zhì)。從定義1還可以看出，加速因子反映了在兩種應(yīng)力水平（組合）作用下失效過程的相對(duì)快慢程度，根據(jù)Nelson的累積失效模型，還可以將加速因子對(duì)應(yīng)的應(yīng)力拓展到任意應(yīng)力水平（組合）之間。

定義2 （加速因子）若產(chǎn)品在應(yīng)力水平（組合）S璱與S璲分別作用t璱與t璲的累積失效概率相同，即F璱(t璱)=F璲(t璲)，則稱應(yīng)力水平（組合）S璱相對(duì)于S璲的加速因子為：

k璱j=t璲/t璱（7）

根據(jù)累積退化模型與累積失效模型，定義2實(shí)際上是將加速因子定義為不同應(yīng)力水平（組合）下產(chǎn)品達(dá)到相同壽命退化累積量的期望時(shí)間之比。該定義實(shí)際上包含一個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)中壽命退化累積等量折算的基本原理，其物理意義比定義1更明確。由于R(t)=1－F(t)，所以定義2與定義1在本質(zhì)上是一致的。式（7）可以變形為：

t璲=k璱jt璱（8）

由此可以看出，如果產(chǎn)品在應(yīng)力水平（組合）S璱作用下試驗(yàn)了時(shí)間t璱，則在應(yīng)力水平（組合）S璲作用下達(dá)到相同退化累積的等效試驗(yàn)時(shí)間t璲由式（8）確定，因此式（8）也成為應(yīng)力水平（組合）試驗(yàn)時(shí)間的折算公式。

定義3 根據(jù)第3.1節(jié)中的假定2，以及由正態(tài)分布參數(shù)得到的約束條件，仿照定義1和定義2還可以將加速因子定義為：

k璱0=σ0/σ璱（9）

和：

k璱j=σ璲/σ璱（10）

式中，σ0為正常應(yīng)力水平（組合）下失效數(shù)據(jù)的方差；σ璱為加速應(yīng)力水平（組合）下失效數(shù)據(jù)的方差。式（9）反映了任意應(yīng)力水平（組合）相對(duì)于正常應(yīng)力水平（組合）的加速因子；式（10）則反映了應(yīng)力水平（組合）S璱相對(duì)于S璲的加速因子。

4 DCSS－ALT加速效率的數(shù)值仿真研究

4.1 加速效率仿真的問題描述

為進(jìn)一步闡述正態(tài)分布下DCSS－ALT的效率問題，在此將利用Monte－Carlo仿真試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比分析。

設(shè)產(chǎn)品的壽命T服從正態(tài)分布，即：

F璱j(T)=Φ，T＞0（11）

式中，μ是特征壽命參數(shù)。特征壽命與應(yīng)力水平之間滿足加速模型：

μ=φ(S1,S2)（12）

產(chǎn)品的正常應(yīng)力水平與h=l+k－1個(gè)加速應(yīng)力水平組合分別為(0,0)和(l,k)，(l－1,k)，(l－1,k－1)，…，(1,2)，(1,1)。則與加速模型式（12）相對(duì)應(yīng)的平均壽命分別為μ0，μ環(huán)，μ環(huán)－1，…，μ1。為便于比較加速效率，在相同條件下對(duì)雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)與雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)進(jìn)行了Monte－Carlo仿真，仿真結(jié)果如圖2、圖3所示。試驗(yàn)的樣本量為n，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的r個(gè)截尾數(shù)分別為r璴k，r(l－1)k，…，r12，r11，而雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)則為r11，r12，…，r(l－1)k，r璴k。仿真試驗(yàn)對(duì)該試驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)行100次Monte－Carlo模擬，結(jié)果通過平均效率指標(biāo)表示。平均效率指標(biāo)為相同試驗(yàn)設(shè)計(jì)下雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)與雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的總試驗(yàn)時(shí)間之比，指標(biāo)大于1，則說明雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)試驗(yàn)效率高；指標(biāo)小于1，則說明雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)的效率高。

4.2 基于Monte－Carlo方法的仿真

Monte－Carlo方法［8，9］是將研究對(duì)象當(dāng)作隨機(jī)過程，并隨機(jī)生成研究所需數(shù)據(jù)，通過數(shù)值計(jì)算達(dá)到研究目的的一種模擬方法。Monte－Carlo方法廣泛應(yīng)用于采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法或物理方法難以解決的復(fù)雜問題。由于該文的效率對(duì)比研究是一個(gè)典型的隨機(jī)問題。通過大量實(shí)際試驗(yàn)進(jìn)行對(duì)比研究顯然很不現(xiàn)實(shí)，而Monte－Carlo方法利用計(jì)算機(jī)隨機(jī)生成符合要求的抽樣樣本，依據(jù)抽樣樣本的模擬試驗(yàn)對(duì)試驗(yàn)效率進(jìn)行對(duì)比分析，并通過這種模擬過程的大量重復(fù)對(duì)比揭示該問題中的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

4.2.1 正態(tài)分布隨機(jī)抽樣截尾樣本的仿真

實(shí)際進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)時(shí)需要對(duì)樣本進(jìn)行隨機(jī)抽樣，這種抽樣方式的本質(zhì)是總體中每一個(gè)體的抽樣中幾率均等。所以在此采用以下方法進(jìn)行正態(tài)分布隨機(jī)抽樣截尾樣本的仿真：

（1） 隨機(jī)抽樣模擬過程：計(jì)算機(jī)生成n個(gè)［0，1］內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)p1，p2，…，p璶作為被抽樣個(gè)體失效時(shí)間對(duì)應(yīng)的可靠度；

（2） 利用反函數(shù)法生成隨機(jī)抽樣樣本：對(duì)于正態(tài)分布的樣本總體，其可靠壽命為：

t璸=μ+σΦ－1(p)（13）

（3） 截尾樣本的產(chǎn)生：對(duì)于（2）中所產(chǎn)生的n個(gè)樣本進(jìn)行從小到大排序，取前r個(gè)（r=r1+r2+…+r璳）失效時(shí)間作為試驗(yàn)的失效樣本，即后面n－r個(gè)為樣本為截尾樣本。

4.2.2 DCSS－ALT的仿真過程

（1） 雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)

①利用加速模型式（13）求出其在應(yīng)力組合(l,k)下的特征壽命μ環(huán)，而后利用第4.2.1節(jié)的方法模擬產(chǎn)生參數(shù)為t~Φ(μ環(huán),σ)正態(tài)分布的n個(gè)截尾樣本t1,t2,…,t璶，取前r璴k個(gè)數(shù)據(jù)作為(l,k)應(yīng)力水平組合下的失效數(shù)據(jù)；

②將數(shù)據(jù)t璵減去累積試驗(yàn)時(shí)間t璻璴k并分別乘以應(yīng)力組合(l,k)相對(duì)于(l－1,k)的加速因子，即得到(l－1,k)應(yīng)力水平下的失效數(shù)據(jù)；

③將數(shù)據(jù)t璵減去累積試驗(yàn)時(shí)間t璻(l－1)k,并分別乘以應(yīng)力(l,k)相對(duì)于(l－1,k－1)的加速因子，即得到(l－1,k－1)應(yīng)力水平下的失效數(shù)據(jù)；

④重復(fù)步驟（3），直到應(yīng)力水平（1，1），即得到全部DCSDS－ALT的失效數(shù)據(jù)。

（2） 雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)

雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)的仿真過程與之基本相似，只是應(yīng)力施加的先后順序正好相反，這里不再贅述。

4.2.3 DCSS－ALT加速效率的實(shí)例仿真

以溫度T（單位：絕對(duì)溫度）和電壓V（單位：伏特）作為兩個(gè)加速應(yīng)力安排一次雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)。試驗(yàn)數(shù)據(jù)通過蒙特卡洛仿真模擬產(chǎn)生，具體過程如下：

（1） 首先取定文獻(xiàn)［2］中的加速方程:

ln η璱j=－20+20 000T－4.5ln V(14)

（2） 確定T和V的正常應(yīng)力水平和加速應(yīng)力水平如下：

T0=353，T1=373，T2=388，T3=403，

V0=100，V1=200，V2=300，V3=400，V4=500

DCSDS－ALT與DCSUS－ALT加速應(yīng)力水平組合(T,V)的變化軌跡分別為：

(3,4)→(3,3)→(2,3)→(2,2)→(1,2)→(1,1)；

(1,1)→(1,2)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(3,4)

這里的應(yīng)力水平數(shù)l=3,k=4；步數(shù)h=l+k－1=6。把這6個(gè)水平組合代入加速方程可得6個(gè)平均壽命η34,η33,…,η11。

（3） 確定樣品數(shù)n=100，各步的截尾數(shù)為:

r34=12,r33=11,r23=9,

r22=8,r12=6,r11=5

累計(jì)失效數(shù)r=r34+r33+r23+r22+r12+r11=51個(gè)。

（4） 按照第4.2.2節(jié)中的步驟進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，在求得仿真數(shù)據(jù)后，即可求出加速效率指標(biāo)ratio。

圖2和圖3分別顯示出雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)和雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)條件下正態(tài)分布形狀參數(shù)ρ與加速效率指標(biāo)的關(guān)系圖。圖2和圖3中分別出現(xiàn)了加速效率指標(biāo)ratio＜0的情況，這表明在實(shí)際試驗(yàn)中不可能出現(xiàn)壽命特征參數(shù)μ小于形狀參數(shù)σ的情況，即失效數(shù)據(jù)的離散程度不可能超過其均值；另外，在ρ=1.5附近加速效率指標(biāo)ratio開始大于1，這進(jìn)一步印證了上面的結(jié)論；

（5） 隨著分布參數(shù)約束條件ρ（ρ＞1.5）的增大，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的試驗(yàn)效率在急劇增大，而雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)的試驗(yàn)效率則在急劇減小。這表明在實(shí)際試驗(yàn)條件下，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)相對(duì)于雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)的效率優(yōu)勢(shì)是十分明顯的。

4.3 DCSS－ALT失效物理的累積退化模型

在損傷累積型和容差型失效機(jī)理中，產(chǎn)品的壽命過程都表現(xiàn)為產(chǎn)品的某個(gè)內(nèi)部狀態(tài)量隨著壽命歷程的退化過程，具有明顯的漸變過程。失效物理對(duì)這一類失效常采用退化模型進(jìn)行描述［10］。所謂退化模型，是指試件完全處于安全工作區(qū)，在t=0時(shí)刻沒有損傷，必須經(jīng)過一定時(shí)間的累積以后才發(fā)生失效的一種模型。

圖2 雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)ρ與效率指標(biāo)關(guān)系圖（一）

圖3 雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)ρ與效率指標(biāo)關(guān)系（二）

一般，若引入函數(shù)f(D)表示產(chǎn)品壽命過程的退化量，則退化模型中產(chǎn)品隨時(shí)間推移而發(fā)生壽命消耗的過程可表述為：

df(D)/dt=K（15）

式中，D表示退化量的特征量；f(D)是與特征值和失效過程基本物質(zhì)狀態(tài)有關(guān)的函數(shù)；K為退化速度。f(D)的形式與產(chǎn)品的失效機(jī)理有關(guān)；而退化速度K則由失效機(jī)理與應(yīng)力水平來決定。于是可以進(jìn)一步推導(dǎo)出關(guān)系式f(D)=Kt，因此退化模型表明產(chǎn)品壽命過程在時(shí)刻t的退化量由Kt來決定。若特征值D退化到某一臨界量M時(shí)產(chǎn)品失效，則對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品壽命T為：

T=f(M)/K（16）

因此，產(chǎn)品的壽命隨應(yīng)力水平的提高，退化速度的加快而縮短，這也是所有加速壽命試驗(yàn)方法共同的理論依據(jù)。

退化模型描述了產(chǎn)品在一定應(yīng)力水平下的壽命時(shí)效過程，而對(duì)于雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的描述則應(yīng)當(dāng)采用累積退化模型。按照第4.2.2節(jié)中的試驗(yàn)方法安排試驗(yàn)（其中S1，S2應(yīng)力的水平數(shù)分別為l和k，對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)階數(shù)為h=l+k－1），則雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)在應(yīng)力水平(S1璱,S2璲)組合（對(duì)應(yīng)的退化量為K璸）的加載時(shí)間長(zhǎng)度為t璸，產(chǎn)品經(jīng)過m（m≤h）階步降應(yīng)力水平加載完成后失效，則此時(shí)的退化量為：

f(D)=∑mp=1K璸t璸（17）

將K璸=f(D)/T璸代入式（17），則可得：

∑mp=1(t璸/T璸)=1（18）

而產(chǎn)品在該雙應(yīng)力交叉步降模式下的失效時(shí)間為所有t璸之和，這就是累積退化模型。累積退化模型是Miner準(zhǔn)則的推廣，因此亦稱廣義Miner準(zhǔn)則。累積退化模型同樣適用于雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)與序進(jìn)應(yīng)力試驗(yàn)的失效物理描述。

累積退化模型的物理意義在于：如果對(duì)應(yīng)于T璵壽命的應(yīng)力在試樣上加載時(shí)間t璵，而后再將對(duì)應(yīng)于T璵－1壽命的應(yīng)力在試樣上加載時(shí)間t璵－1，依此類推，當(dāng)加載到滿足式（18）時(shí)產(chǎn)品的壽命終止，對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品失效時(shí)間則為所有加載時(shí)間t璸之和。

4.4 進(jìn)一步的討論

根據(jù)累積退化模型，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的每一階應(yīng)力水平加載都會(huì)對(duì)試樣造成一定的退化量，試樣中的退化量隨著雙應(yīng)力交叉步降應(yīng)力的加載進(jìn)程按照式（17）準(zhǔn)則進(jìn)行累積，當(dāng)退化累積總量達(dá)到臨界值時(shí)試樣失效，對(duì)應(yīng)的失效時(shí)間由式（17）準(zhǔn)則中的所有t璸之和確定。在高可靠、長(zhǎng)壽命的評(píng)估中，由于耗損型失效的失效率曲線為遞增函數(shù)，耗損失效主要集中于產(chǎn)品壽命末期，所以如何盡快實(shí)現(xiàn)產(chǎn)品壽命早期階段的退化累積以壓縮產(chǎn)品進(jìn)入壽命末期的試驗(yàn)時(shí)間，則已成為整個(gè)加速壽命試驗(yàn)在加速效率上的瓶頸問題。

雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)的應(yīng)力加載由最低應(yīng)力水平開始，因此其早期的退化累積主要通過較低應(yīng)力水平實(shí)現(xiàn)，所以這一階段的試驗(yàn)時(shí)間往往比較漫長(zhǎng)。文獻(xiàn)［2］中對(duì)某產(chǎn)品安排雙應(yīng)力交叉步加試驗(yàn)，該試驗(yàn)中第一個(gè)失效出現(xiàn)的時(shí)間約為219.3 h，為總試驗(yàn)時(shí)間（1 558.14 h）的15％左右。

而雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)則不同，試驗(yàn)的應(yīng)力加載由最高應(yīng)力水平開始，其早期退化累積則主要通過最高應(yīng)力水平開始，因而使得相應(yīng)的早期退化累積時(shí)間大大壓縮。在試驗(yàn)應(yīng)力步降到較低水平以后，由于試樣中已經(jīng)累積所有較高應(yīng)力水平所造成的退化累積量，試樣已經(jīng)進(jìn)入到壽命末期的大量失效階段。所以，雙應(yīng)力交叉步降試驗(yàn)的總試驗(yàn)時(shí)間與步進(jìn)試驗(yàn)方式相比將大大減少，也就是說其加速效率將得到較大的改善。

5 結(jié) 語

以長(zhǎng)壽命電子裝備的可靠性評(píng)估需求為背景，通過理論模型的建立，對(duì)正態(tài)分布下雙應(yīng)力交叉步階試驗(yàn)方法及試驗(yàn)效率問題進(jìn)行了研究。結(jié)果表明，該試驗(yàn)方法應(yīng)用于電子裝備的可靠性評(píng)估可以極大地減少試驗(yàn)時(shí)間，降低試驗(yàn)費(fèi)用，具有重要的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用價(jià)值。

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作者簡(jiǎn)介 孟亞峰 男，1970年出生，河北人，講師，博士。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測(cè)與故障診斷的研究工作。

賈占強(qiáng) 男，1982年出生，河北人，博士研究生。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測(cè)與故障診斷的研究工作。

蔡金燕 女，1961年出生，天津人，教授，博士生導(dǎo)師。主要從事裝備武器系統(tǒng)性能監(jiān)測(cè)與故障診斷的研究工作。