李冬梅

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法。它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。下面就在立體幾何教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法分析和解決有關(guān)問題，做初步的探究。

空間問題平面化

由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個平面中去，用學(xué)生比較熟悉的平面幾何知識來解決問題。教師應(yīng)充分引導(dǎo)學(xué)生將空間問題平面化，往往能起到化復(fù)雜為簡單、化生疏為熟悉的功效，從而使問題得到解決。而運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，是培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過程。

幾何問題代數(shù)化

新課程注重代數(shù)與幾何的聯(lián)系，注重學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)?？梢岳孟蛄拷鉀Q立體幾何中的度量問題以及有關(guān)平行和垂直的證明。這樣將幾何問題代數(shù)化，不僅降低了學(xué)習(xí)立體幾何的難度，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)與幾何聯(lián)系，利用代數(shù)方法解決幾何問題的能力和數(shù)形結(jié)合的能力。

在進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，筆者改變以往過于重視學(xué)生利用添加輔助線來解決立體幾何題目的教學(xué)方法，抓住運(yùn)算這條主線，首先幫助學(xué)生理解空間向量的含義，然后讓學(xué)生從向量的角度去認(rèn)識立體幾何，學(xué)習(xí)利用向量運(yùn)算的方法解決立體幾何的有關(guān)問題。例如，求二面角的平面角的大小時，可設(shè)計如下程序展開教學(xué)：1）讓學(xué)生結(jié)合相關(guān)圖形建立坐標(biāo)系，并看一下各點(diǎn)坐標(biāo)是否易于求得，如不易求出，則需重建，使學(xué)生掌握建系的原則；2）分別準(zhǔn)確地求出兩個對應(yīng)平面的法向量的坐標(biāo)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性；3）利用兩個向量的夾角公式，求出兩個對應(yīng)平面的法向量的夾角；4）對照圖形說明兩個平面的二面角的大?。?）運(yùn)用其他運(yùn)算方法，如利用射影面積法解決此類問題。

利用運(yùn)算方法解決幾何問題，改變以往學(xué)生在解決幾何問題時，因為添不上輔助線，遇到立體幾何題“繞著走”的現(xiàn)象，同時也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。當(dāng)然，數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)不是一朝一夕的事，只有在整個教學(xué)中注意以數(shù)學(xué)思想為主線組織教學(xué)，處處滲透，才能達(dá)到教學(xué)目的。

線面關(guān)系相互化

線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化。教學(xué)中如果能夠引導(dǎo)學(xué)生充分利用線面間的位置關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，則往往能起到化難為易的作用。

立體圖形規(guī)矩化

割補(bǔ)轉(zhuǎn)化是解決立體幾何問題的常用方法之一。通過“割”或“補(bǔ)”，可化復(fù)雜圖形為簡單圖形，從而較快地找到解決問題的突破口。如教材中斜棱柱側(cè)面積公式的推導(dǎo)，就是通過割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化為直棱柱后進(jìn)行的。

方法技能模型化

立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能明顯地“立”起來。在具體的問題中，證明和計算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個平面的截得、延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。在立體幾何的教學(xué)中，要努力讓學(xué)生學(xué)會利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法去分析和解決有關(guān)問題，切實有效地提高解決立體幾何問題的能力。

等積轉(zhuǎn)化

等積法在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的等積轉(zhuǎn)化（或稱等積變換）是面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化

線線、線面、面面平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化，平行與垂直問題不但能橫向轉(zhuǎn)化，而且可以縱向轉(zhuǎn)化。

（作者單位：河北省灤縣第一中學(xué)）