顏茂龍

【摘要】數(shù)學習題的教學對學生發(fā)散思維的培養(yǎng)有至關(guān)重要的作用,特別是發(fā)散型習題對學生發(fā)散思維的形成和發(fā)展有直接的推動作用,對學生的能力發(fā)展起著催化劑作用。在教學過程中,教師對習題的選擇要有針對性,要切實有效地運用發(fā)散型習題培養(yǎng)學生發(fā)散思維。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學教學發(fā)散型習題發(fā)散思維

初中生的思維定勢是一種普遍的心理現(xiàn)象。在學生的學習中,既有積極的作用,也有消極的作用。積極的作用表現(xiàn)在:學生按常規(guī)的思維模式去學習和發(fā)散思維能力的發(fā)展。初中數(shù)學這門學科對學生的發(fā)散思維要求比較高,培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維是數(shù)學教師努力的方向。對學生加強思維發(fā)散型習題的解題指導和練習訓練,是培養(yǎng)學生發(fā)散思維有效途徑之一。下面我結(jié)合實例談談個人的做法與體會。

案例一:菱形有哪些性質(zhì)?如何判斷一個四邊形是菱形?

菱形是一種特殊的平行四邊形,除具有平行四邊形所有的性質(zhì)外,還具有以下性質(zhì)三個性質(zhì):(1)四條邊都相等;(2)對角線互相垂直;(3)沒一條對角線平分一組對角。

判斷一個四邊形是菱形的方法:

(1)四條邊都相等

(2)對角線互相垂直的平行四邊形

(3)有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形

發(fā)散型習題1:在四邊形ABCD中,對角線AC、BD交于點O,從(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC;(4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD這六個條件中,選取三個推出四邊形ABCD是菱形,如(1)(2)(5)推出四邊形ABCD是菱形。再寫出符合要求的兩個:___________推出四邊形ABCD是菱形;____________推出四邊形ABCD是菱形;

分析首先依據(jù)題意畫出圖形如下,

再聯(lián)想平行四邊形及菱形的判定方法,

由“對角線互相垂直的平行四邊形”是菱形可得(3)(4)(5);由“有一條對角線平分一個內(nèi)角的平行四邊形”是菱形可得(1)(2)(6)或(3)(4)(6)。

答案:(3)(4)(5)(1)(2(6)

變式演練1如圖所示,菱形ABCD的周長為40cm,∠BAD=120°,對角線AC的長為()

A. 5cmB.5(根號下3)cmC.10cmD. 103cm

發(fā)散型習題2:已知□ABCD,試用兩種方法將平行四邊形ABCD分成面積相等的四個部分。

分析:平行四邊形是中心對稱圖形,過對稱中心的每一條直線可將平行四邊形ABCD分成面積相等的兩個部分。由于平行四邊形對邊平行,而兩條平行的距離相等,可利用等底等高的三角形面積相等這一條件。

解方法一:連接AC、BD。如下圖所示。

方法二:過對稱中心分別作平行于AB、CD的平行線EF、MN即可。如下圖所示。

方法三:過AD、BC的中點作直線EF,連接BE、DF即可。如下圖所示。

案例二:等腰梯形的性質(zhì)和判定

等腰梯形的性質(zhì):等腰梯形同一底上的兩角相等,對角線相等。

等腰梯形的判定方法:

發(fā)散型習題1如下圖所示在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,∠A=60°,梯形的周長為20cm,試求梯形的面積。

分析:由等腰梯形的性質(zhì),可知∠A=∠ABC=60°,由BD平分∠ABC,可得∠2=∠3=30°,則∠ADB=90°,因此有BC=DA=1/2AB,可求出上下底的長及梯形的高。

解在等腰梯形ABCD中,∠A=∠ABC=60°。

∵BD平分∠ABC,∴∠2=∠3=30°

∵∠ADB=180°—(∠A +∠3)=180°—(60°+30°)=90°,

∴AB=2AD。

∵AB∥CD,∴∠1=∠3,進而∠1=∠2。

∵CD=BC=AD。

∵AD+CD+BC+AB=20

∴CD=4,AB=8,AD=4。

作DE⊥AB,垂足為E,則∠ADE=30°

∵AE=1/2BD=2,

∴DE=

∵S_梯形ABCD=(CD + AB)?DE =

發(fā)散型習題2如下圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,點E是BC邊的中點,求證:AE=DE。

分析要證AE=DE,可證△ABE≌△DCE,聯(lián)想等腰梯形的判定定理和性質(zhì)定理。

證明在在梯形ABCD中,

∵∠B=∠C,

∴梯形ABCD是等腰梯形。

∴AB=DC。

∵點E是BC邊的中點,

∴BE=CE

∴△ABE≌△DCE,∴AE=DE。

發(fā)散型習題3(本題由學生自主完成,教師檢查、點撥):在數(shù)學活動課上,要求同學們做下面的“循環(huán)分割”操作,然后再探索規(guī)律:如下圖是一等腰梯形紙片,其腰長與上底長相等,且底角分別為60°和120°,按要求開始操作(每次分割,紙片不得有剩余)。

第1次分割,先將原等腰梯形紙片分割成3個全等的正三角形,然后將出的一個正三角形分割成3個全等的等腰梯形。

第2次分割,先將上次分割出的3個等腰梯形中的一個分割成3個全等的正三角形,然后將剛分割出的一個正三角形分割成3個全等的等腰梯形;以后按第二次分割的方法進行下去……

(1)請你在下圖中畫出第一次分割的方案圖

(2)若原等腰梯形的面積為a,請你通過操作、觀察將第2次、第3次分割后所得的最小的等腰梯形面積分別填入下表:

(3)請你猜想,分割所得的一個最小等腰梯形的面積S與分割次數(shù)n有何關(guān)系?(請直接用含a的式子表示,不需寫推理過程)。

總之,數(shù)學習題的教學對學生發(fā)散思維的培養(yǎng)有至關(guān)重要的作用,特別是發(fā)散型習題對學生發(fā)散思維的形成和發(fā)展有直接的推動作用,對學生的能力發(fā)展起著催化劑作用。在教學過程中,教師對習題的選擇要有針對性,要切實有效地運用發(fā)散型習題培養(yǎng)學生發(fā)散思維。