吳建英　蔡海報(bào)

“三角形三邊關(guān)系”是人教版課標(biāo)教材四年級(jí)下冊(cè)“三角形”中的第三課時(shí)。三角形三邊關(guān)系定理不僅給出了三角形三邊之間的大小關(guān)系，更重要的是提供了判斷三條線段能否組成三角形的標(biāo)準(zhǔn)。該課時(shí)是在學(xué)生對(duì)三角形的特征有了初步了解的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究三角形的特征。教材在編排時(shí)先安排了生活情境，學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)覺(jué)得從家到學(xué)校的三條路中走中間這條路最近，由此提出問(wèn)題：這是什么原因呢?接著教材呈現(xiàn)了三組紙條6、7、8；4、5、9，3、6、10。學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作體會(huì)到：三根小棒有時(shí)能圍成三角形，有時(shí)圍不成三角形，從沒(méi)有圍成三角形的兩種情況中猜想能圍成三角形的三條邊之間的關(guān)系，得出三角形任意兩邊的和大于第三邊。在這個(gè)過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯思維能力和動(dòng)手操作能力，也培養(yǎng)了學(xué)生猜測(cè)一驗(yàn)證一總結(jié)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

圍繞教材的編排意圖，第一次課堂實(shí)踐采取了圍小棒的方式，通過(guò)“操作—觀察—推測(cè)—驗(yàn)證”的模式進(jìn)行教學(xué)。

第一次課堂片段聚焦

一、動(dòng)手操作發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

師：是不是任意的三根小棒都能圍成三角形呢?老師為同桌兩位同學(xué)準(zhǔn)備了紅(6厘米)、黃(7厘米)、藍(lán)(8厘米)、綠(14厘米)四根小棒，請(qǐng)你們?nèi)我膺x三根小棒，自由組合圍一圍，看是不是都能圍成三角形，或者有的組合圍不成。

1學(xué)生操作(同桌兩位學(xué)生一組進(jìn)行操作)

2交流反饋

在反饋中，學(xué)生一致認(rèn)同紅(6厘米)、黃(7厘米)、綠(14厘米)這三根小棒圍不成三角形；認(rèn)為紅(6厘米)、藍(lán)(8厘米)、綠(14厘米)圍不成三角形的只有2組學(xué)生。教師用多媒體演示，在圍的過(guò)程中紅色和藍(lán)色的線段合起來(lái)和綠色的線段一樣長(zhǎng)，這時(shí)仍有一組學(xué)生說(shuō)我們能圍的。

片段問(wèn)題探討、采用圍小棒的方法讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系，這種方法有什么欠缺的地方?

課后我們?cè)趯?duì)這一片段進(jìn)行討論的過(guò)程中提出了以上問(wèn)題，通過(guò)對(duì)課堂的分析我們有了自己的想法：

1在平面圖形的教學(xué)過(guò)程中，無(wú)論是研究長(zhǎng)方形、正方形，還是研究平行四邊形……都是先有這些圖形再進(jìn)行研究的。而在研究三角形三邊關(guān)系的時(shí)候卻是在沒(méi)有三角形的情況下圍幾個(gè)三角形進(jìn)行研究。那么在教學(xué)過(guò)程中是否也能通過(guò)已有的三角形進(jìn)行研究呢?

2用圍小棒的方法讓學(xué)生體驗(yàn)有時(shí)能圍成三角形，有時(shí)圍不成三角形，從沒(méi)有圍成三角形的兩種情況中猜想能圍成三角形的三條邊之間的關(guān)系。我們認(rèn)為這種方法具有局限性，因?yàn)闊o(wú)論有多少根小棒都是有限的，那么圍的各種組合也就不具備普遍性。其次，因?yàn)樾“羰墙處熖峁┑?，學(xué)生在選擇小棒的過(guò)程中也不需要進(jìn)行思考，選這三根圍得成，選那三根圍不成，對(duì)于小棒的選擇是無(wú)意識(shí)的。

3本堂課最難竅破的是學(xué)生思維的“臨界點(diǎn)”。在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)對(duì)于兩根小棒之和小于第三根小棒的組合圍不成三角形，學(xué)生通過(guò)操作都能感悟、理解。而對(duì)于兩根小榛之和等于第三根的時(shí)候是圍不成三角形的，而只能形成兩條相等的線段，利圍小棒的方法恰恰很難突破這個(gè)“臨界點(diǎn)”。從學(xué)生的心理原因分析，今天老師讓我們圍小棒，學(xué)生就會(huì)千方百計(jì)地想去圍咸。從客觀原因分析，用小棒圍三角形，因?yàn)樾￠皇橇Ⅲw的，在圍的過(guò)程中很難達(dá)到相鄰的端點(diǎn)相連，也就會(huì)出現(xiàn)課堂上大多數(shù)同學(xué)幫說(shuō)能圍成的現(xiàn)象。更難的是學(xué)生以自己的操作為第一表象，當(dāng)教師用課件演示完以后，仍然有學(xué)生認(rèn)為是圍得威的。說(shuō)明在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生空間想象完全是缺失的。

二、觀察思考引發(fā)推測(cè)

師：仔細(xì)觀察，推測(cè)一下為什么這三條線段圍不成三角形?

生：其中兩條線段的和比第三條短或一樣長(zhǎng)。

師：那怎么樣的三條線段能圍咸三角形呢?

生：兩條線段的和比第三條長(zhǎng)。

教師小結(jié)：這三條線段在三角形中我們叫它邊。也就是說(shuō)，三角形中兩邊之和大于第三邊。

片段問(wèn)題探討：從研究怎樣的三條線段能圍成三角形到三角形三邊關(guān)系的描述中間，還應(yīng)為學(xué)生的思維鋪墊什么?

在對(duì)這個(gè)片段的課堂分析中，老師們感覺(jué)在學(xué)生探討“為什么這三條線段圍不成三角形”的過(guò)程中，得出了其中兩條線段的和比第三條短或一樣長(zhǎng)就圍不成。進(jìn)而教師設(shè)問(wèn)：“那怎么樣的三條線段能圍成三角形呢?”學(xué)生也能描述兩條線段的和比第三條長(zhǎng)時(shí)能圍成。這時(shí)教師馬上小結(jié)：“這三條線段在三角形中我們叫它邊。也就是說(shuō)，三角形中兩邊之和大于第三邊?！边@樣跳躍性很強(qiáng)。探究三角形三邊關(guān)系的過(guò)程完全是教師個(gè)人把學(xué)生的思維硬拉過(guò)來(lái)的過(guò)程，中間缺少鋪墊。

那么除了借助圍小棒的方法到底有沒(méi)有更合乎學(xué)生思維起點(diǎn)又能提升學(xué)生思維能力的方法呢?怎樣循著學(xué)生的思維讓學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)逐步深刻呢?學(xué)生在“實(shí)踐操作，進(jìn)行驗(yàn)證”這一環(huán)節(jié)中，認(rèn)為把綠色的小棒剪短到12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2厘米都可以和6厘米的紅色小棒、7厘米黃色小棒圍成三角形。教師提出：“綠色的線段從11變到2，三角形會(huì)怎么變?”大多數(shù)學(xué)生都能通過(guò)想象感悟到三角形由矮、扁變成高、瘦。這一教學(xué)環(huán)節(jié)給了我們啟發(fā)：本堂課能否以已有三角形一條邊的變化為切入點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，充分發(fā)揮學(xué)生的想象，在空間想象感悟、操作驗(yàn)證等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，經(jīng)歷探索三角形三邊關(guān)系的過(guò)程。

第二次課堂片段聚焦

一、空間想象

師：同學(xué)們已經(jīng)知道了由三條線段圍成的圖形叫三角形。那么有沒(méi)有想過(guò)是不是任意的三條線段都能圍成三角形，三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系呢?

生：兩條很短，一條很長(zhǎng)就不行了。

生：任意的三條都行的。

教師小結(jié)：今天這節(jié)課我們就來(lái)繼續(xù)研究三角形，研究三角形三條邊之間的關(guān)系。

師：現(xiàn)在有紅、藍(lán)、綠三條線段，紅線段長(zhǎng)4厘米、藍(lán)線段長(zhǎng)5厘米、綠線段長(zhǎng)6厘米，想不想看看這三條線段圍成的三角形是怎樣的?

(多媒體呈現(xiàn)三條線段圍成的三角形)

1第一次想象

師：如果把6厘米的綠色線段換成一根長(zhǎng)7厘米的線段。想想圍成的三角形會(huì)有什么變化?

生：紅色和藍(lán)色的要斜下去了。

生：三角形要變扁了。

多媒體呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、7厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

2第二次想象

師：如果把綠色線段再換成8厘米，圍成的三角形又會(huì)怎么變呢?

生：更扁了。

生：更矮了。

多媒體呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、8厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

3第三次想象

師：現(xiàn)在請(qǐng)你們繼續(xù)想象，如果綠色的小棒變成9厘米會(huì)怎樣呢?

生：更扁了。

生：馬上要平了。

生：快要撐不起來(lái)了!

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、9厘米(綠]三條線段圍三角形的情況。

生(開(kāi)心)：真的平了!

師：和你想象的一樣嗎?發(fā)現(xiàn)了什么?

生：藍(lán)色和紅色的線段連起來(lái)和綠色線段一樣長(zhǎng)了。

生：重疊了，圍不成了。

4第四次想象

師：綠色的線段再換一根長(zhǎng)10厘米的呢?

生：綠色的要長(zhǎng)出來(lái)了。

生：紅色和藍(lán)色中間要空出!厘米了。

師：你是指紅色和藍(lán)色的碰也碰不住了，是嗎?

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、10厘米(綠)三條線段圍三角形的情況。

片段分析：以三角形一條邊的變化為切入點(diǎn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究，充分發(fā)揮學(xué)生的想象，來(lái)感悟三角形的三邊關(guān)系。

1通過(guò)空間想象，提升學(xué)生的思維能力

想象力的缺失，往往會(huì)讓人變得呆板。在第二次課堂實(shí)踐中我們通過(guò)三角形一條邊不斷變化的動(dòng)態(tài)研究，讓學(xué)生在頭腦中不斷地想象和建構(gòu)。學(xué)生的想象經(jīng)歷了第三邊不斷延長(zhǎng)，三角形不斷變矮、變扁直至無(wú)法圍成的變化過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生感受了三角形由于邊的變化而產(chǎn)生的形與結(jié)構(gòu)的變化，這種想象相對(duì)于選擇有限的小棒圍三角形而言更具有普遍性。同時(shí)在想象的過(guò)程中學(xué)生的思維得以充分的展示，課堂也由此充溢著生命的靈動(dòng)?！氨庀氯チ恕薄榜R上要平了”“快要撐不住了”“快要瘦成一條線了”“要空出來(lái)了”……學(xué)生們用自己最真實(shí)、最樸素的語(yǔ)言描繪了自己的想象畫面，同時(shí)也揭示了三角形的本質(zhì)，即三條線段要圍成三角形，相鄰的端點(diǎn)相連，其中的兩根必須撐得起來(lái)?？梢哉f(shuō)，學(xué)生通過(guò)自己的想象已完全領(lǐng)悟了三角形的三邊關(guān)系。以致課堂最后在解決課本情境圖時(shí)，有學(xué)生竟然還會(huì)通過(guò)想象認(rèn)為“把上面兩條邊往下壓肯定比第三條邊長(zhǎng)”。

2通過(guò)空間想象，輕松“躍過(guò)”學(xué)生思維的“臨界點(diǎn)”

在學(xué)生想象三角形綠色線段由6厘米換至7厘米、8厘米“兩次變扁”以后，教師再一次讓學(xué)生想象4厘米的紅色線段，5厘米的藍(lán)色線段不變，綠色線段換長(zhǎng)到9厘米，會(huì)怎樣?學(xué)生想象到“更扁了”“快要平了”“快要撐不住了”……這時(shí)候媒體適時(shí)的介入讓學(xué)生介于清晰和模糊之間的想象豁然開(kāi)朗，于是課堂中就有了學(xué)生一片帶著新奇又快樂(lè)的聲音——“真的平了”，真可謂“難題一攻而破”。

二、引導(dǎo)探究

教師引導(dǎo)：仔細(xì)回憶剛才的學(xué)習(xí)過(guò)程，現(xiàn)在你感覺(jué)三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系?

(學(xué)生探究交流)

生：兩條邊的和不能等于或小于第三邊。

生：兩條邊的和大于第三邊。

生：較短兩條邊的和大于第三條邊。

片段分析：讓學(xué)生自主經(jīng)歷由“圍三角形”到“三邊關(guān)系”的轉(zhuǎn)化。

相對(duì)于第一次課堂實(shí)踐，在第二次教學(xué)實(shí)踐的過(guò)程中，課始就讓學(xué)生思考“是不是任意的三條線段都能圍成三角形，三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系呢”。學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和空間想象，認(rèn)為兩條很短、一條很長(zhǎng)的時(shí)候就不行了，也有學(xué)生認(rèn)為任意的三條線段都能圍成。在這個(gè)過(guò)程中，教師給予了學(xué)生明確的學(xué)習(xí)任務(wù)，即今天要研究“三角形的三邊關(guān)系”。在學(xué)生經(jīng)歷了第三邊不斷延長(zhǎng)，三角形不斷變矮、變扁直至無(wú)法圍成的變化過(guò)程之后，教師再一次重復(fù)了課始的問(wèn)題：“現(xiàn)在你感覺(jué)三角形的三條邊應(yīng)該有怎樣的關(guān)系?”在思考的過(guò)程中學(xué)生自我經(jīng)歷了兩個(gè)過(guò)程，先思考怎樣的三條線段能圍咸三角形，再此基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化為三角形的三邊關(guān)系，避免了第一次課堂實(shí)踐中教師把在研究怎樣的三條線段能圍成三角形的學(xué)生強(qiáng)拉到三角形三邊關(guān)系中來(lái)的現(xiàn)象。

三、深刻認(rèn)識(shí)

師：同學(xué)們，剛才我們讓這個(gè)三角形中綠色的邊不斷延長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)三角形越來(lái)越扁，最后紅、藍(lán)兩條邊撐不起來(lái)，圍不成三角形了。你們由此對(duì)三角形的三邊關(guān)系有了自己初步的想法。

多媒體再次呈現(xiàn)4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、6厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第五次想象)：接下來(lái)我們繼續(xù)研究，現(xiàn)在讓綠色的邊變短，變短到5厘米，三角形會(huì)怎么變?

生：變高了。

生：變瘦了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、5厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第六次想象)：當(dāng)綠色的線段從5厘米變短到4厘米，那么三角形又會(huì)怎么變呢?

生(齊答)：更高，更瘦了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米(藍(lán))、4厘米(綠)三條線段圍成的三角形。

師(引導(dǎo)第七次想象)：看著綠色的邊，綠色的邊再變短、變短……那么會(huì)出現(xiàn)什么情況呢?

生：圍不成三角形了。

教師引導(dǎo)：綠色的線段短到幾厘米的時(shí)候圍不成三角形了呢?

生：1厘米。

教師引導(dǎo)：按照剛才同學(xué)們認(rèn)為的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，那么5+4＞1為什么又圍不成了呢?

生：現(xiàn)在最長(zhǎng)的那根是藍(lán)色了。

生：紅、綠兩根的和等于藍(lán)色的了。

多媒體演示4厘米(紅)、5厘米

(藍(lán))、1厘米(綠)(豎成一條直線)

教師引導(dǎo)：現(xiàn)在是哪兩根的和與哪一根比?

完善推測(cè)：現(xiàn)在你認(rèn)為剛才兩種三角形三邊關(guān)系的描述哪一種更合理?

生(齊)：三角形中較短兩邊之和大于第三邊。

生：我認(rèn)為任意兩邊之和大于第三邊。

片段分析：再一次的想象讓學(xué)生對(duì)三角形三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)更全面完善。

當(dāng)學(xué)生的空間想象經(jīng)歷了第三邊不斷地延長(zhǎng)，三角形不斷地變矮、變扁直至無(wú)法圍成的過(guò)程時(shí)，更多學(xué)生對(duì)三邊關(guān)系的認(rèn)識(shí)局限于兩邊之和大于第三邊，只有少部分學(xué)生關(guān)注到必須是較短兩邊大于第三邊。為了讓更多學(xué)生完善自己的認(rèn)識(shí)，教學(xué)時(shí)通過(guò)綠色邊的兩次縮短，讓學(xué)生想象三角形不斷地變高、變瘦。再此基礎(chǔ)上進(jìn)一步讓學(xué)生想象“綠色的邊再變短、變短……那么會(huì)出現(xiàn)什么情況呢?”學(xué)生通過(guò)想象認(rèn)為，縮短到1厘米的時(shí)候三角形又圍不成了。因?yàn)樗{(lán)色的那條邊變成了最長(zhǎng)的邊，紅色、綠色兩邊的和等于藍(lán)色的邊了。學(xué)生自主地改變了比較的對(duì)象(在綠邊延長(zhǎng)時(shí)是紅色、藍(lán)色邊的和與綠色邊比)，深刻地領(lǐng)悟了“兩邊之和大于第三邊”的兩邊必須是較短的兩邊，課堂中更有一位學(xué)生感悟到了“任意兩邊之和大于第三邊”。

四、動(dòng)手操作，驗(yàn)證推斷

教師引語(yǔ)：同學(xué)們通過(guò)研究，感悟到三角形中應(yīng)該較短兩邊的和大于第三邊。那么是不是所有三角形中的三條邊都有這樣的關(guān)系呢?老師覺(jué)得我們有必要再擺一擺、圍一圍來(lái)證明一下。

一部分學(xué)生脫口說(shuō)一定，小部分學(xué)生脫口說(shuō)不一定。

師：老師為同桌兩位同學(xué)準(zhǔn)備了三根小棒，請(qǐng)你圍一圍，然后再量一量。

1學(xué)生用教師準(zhǔn)備的小棒圍三角形。

2學(xué)生測(cè)量驗(yàn)證。

教師小結(jié)：看來(lái)我們的推斷是完全正確的，在三角形中較短兩邊一定大于第三邊。

片段分析：通過(guò)想象后的操作，讓結(jié)論從個(gè)別走向普遍。

在本堂課中借助一個(gè)三角形中一邊不斷變化的動(dòng)態(tài)研究讓學(xué)生充分想象，感悟三角形三邊的關(guān)系。但有一部分學(xué)生的思維還局限在剛才變化過(guò)程中的幾個(gè)三角形中。課堂中教師的提問(wèn)可以證實(shí)這部分同學(xué)的想法。當(dāng)提出問(wèn)題，“在改變?nèi)切我粭l邊的過(guò)程中得到了我們的推斷，三角形中較短兩邊的和大干第三邊。那么這個(gè)推斷在這些三角形中適用，在其他的三角形中呢?”有學(xué)生馬上說(shuō)不一定。因此教學(xué)中為學(xué)生準(zhǔn)備了不同長(zhǎng)短的小棒，讓學(xué)生先圍一圍，在操作的基礎(chǔ)上再進(jìn)行測(cè)量，驗(yàn)證能圍成的三角形是否都是較短兩邊之和大于第三邊，圍不成的是否較短兩邊等于或小于第三邊。通過(guò)操作，和判斷全部一致。這樣的過(guò)程讓學(xué)生的推測(cè)由個(gè)別走向普遍，認(rèn)識(shí)由局部變得完整，同時(shí)也讓學(xué)生在想象的基礎(chǔ)上進(jìn)行了親手實(shí)踐，使操作充滿了學(xué)生的期待。

和第一次課堂實(shí)踐相比，第二次課堂實(shí)踐解決了第一次課堂教學(xué)后想到的課堂問(wèn)題。在磨課過(guò)程中讓我深刻地感受到課堂是由“問(wèn)題”組成的，只有靜下心來(lái)反思一個(gè)個(gè)能想到的教學(xué)問(wèn)題并逐一去突破，才能讓自己和學(xué)生在一次次的課堂中有所收獲。也正是磨課的過(guò)程讓我們突破了傳統(tǒng)教法，通過(guò)想象，讓學(xué)生學(xué)得輕松智慧，讓教師教得輕松愉悅。因?yàn)槭墙璋嗌险n，學(xué)生不認(rèn)識(shí)我，課后很多學(xué)生擁到講臺(tái)，對(duì)我說(shuō)“老師這堂課真有趣”。我問(wèn)：“為什么有趣?”學(xué)生說(shuō)：“我們想到、看到了三角形慢慢撐不下去了?！睆膶W(xué)生的話語(yǔ)中，從學(xué)生的課堂表現(xiàn)中我們可以看到學(xué)生良好的空間想象力，關(guān)鍵是我們有沒(méi)有給學(xué)生想象的機(jī)會(huì)。正如，有一位聽(tīng)課教師在短信平臺(tái)中寫道：“學(xué)生空間想象力的培養(yǎng)，過(guò)了這村，就沒(méi)有這店了?！倍咎谜n通過(guò)空間想象讓學(xué)生探索三角形的三邊關(guān)系正是把握了“村、店”的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)。

(浙江省嘉興市秀洲實(shí)驗(yàn)小學(xué)314000浙江省嘉興市秀洲區(qū)教研室314000)