如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（0，5）和（8，0）。連結(jié)AB，得Rt△OAB。在OB上取一點(diǎn)P（動(dòng)點(diǎn)），四邊形OPMN是Rt△OAB的內(nèi)接矩形，求矩形面積y與OP長(zhǎng)度x之間的函數(shù)關(guān)系式；并求矩形面積的最大值。
　　
　　根據(jù)圖示，由平行線的比例關(guān)系，學(xué)生不難解答出函數(shù)關(guān)系式是： y=-—x2+5x，并求出函數(shù)最大值為：當(dāng)x=4時(shí)，ymax=10。
　　但接下來(lái)有同學(xué)提出這一問(wèn)題：以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的矩形不一定如圖示位置，如果過(guò)點(diǎn)P作平行于AB且與y軸相交的平行線，然后過(guò)點(diǎn)P與這一交點(diǎn)向AB作垂線段，也可以作出內(nèi)接矩形。這時(shí)會(huì)是什么樣的呢？
　　這一問(wèn)題立即引起全班學(xué)生的注意，也引起了筆者的興趣。于是，筆者決定用超級(jí)畫板來(lái)制作這一新的情況。課件制作完畢后，筆者和同學(xué)們發(fā)現(xiàn)一個(gè)新大陸：這兩個(gè)矩形的面積從直覺上看似乎是一樣的。于是我動(dòng)用測(cè)量菜單測(cè)量了這兩個(gè)矩形的面積，結(jié)果引起一片嘩然：這兩個(gè)矩形的面積在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中竟然保持一致。于是同學(xué)們很容易猜想到：這兩種情境下的函數(shù)關(guān)系式應(yīng)該是一樣的。
　　有同學(xué)通過(guò)數(shù)學(xué)推理計(jì)算出第二種情況下的關(guān)系式同樣是y=-—x2+
　　5x，但是計(jì)算過(guò)程復(fù)雜。但是筆者想，既然它們的面積是一樣的，那么是否可以通過(guò)幾何法來(lái)先證明這兩個(gè)矩形的面積相等，從而不通過(guò)計(jì)算得出第二種情況下的函數(shù)關(guān)系式呢？筆者把這個(gè)問(wèn)題交給學(xué)生來(lái)思考。很快，學(xué)生通過(guò)添加輔助線，驗(yàn)證了這一結(jié)論，輔助線添加如圖2所示。
　　
　　如圖2，兩矩形中△PCM重合，△PCE≌△GAF，△PQM≌△PCM≌△CMN。因此，欲證兩矩形面積相等，需證S矩形OQMD＝S平行四邊形GMNA，即OQ×OD=GM×GF（OD=PC=GA）＜＝DM×AG＝GM×GF＜＝△DMG∽△FGA，得證。
　　對(duì)于這一發(fā)現(xiàn)，要?dú)w功于超級(jí)畫板對(duì)動(dòng)態(tài)作圖以及動(dòng)態(tài)中保持?jǐn)?shù)學(xué)關(guān)系的支持。
　　當(dāng)我們掌握了這一結(jié)論后，在全體同學(xué)的努力下，筆者又和同學(xué)們一起完成了這一課件的制作，效果如圖3～5所示（原課件見http://www.nettime.net.cn/itedu/news/2008117/20081171214544350.htm）。
　　
　　單擊“動(dòng)畫”，演示其中一種內(nèi)接矩形的位置變化情況以及函數(shù)曲線的同步變化；單擊“切換多邊形”演示另一種位置關(guān)系下的面積變化與曲線變化；單擊“同臺(tái)演出”，同時(shí)演示兩種位置關(guān)系下的矩形面積與曲線變化；單擊“最高點(diǎn)”顯示矩形面積極大值時(shí)的情境。
　　這樣，此題的價(jià)值就不僅是一道綜合數(shù)學(xué)題，它的真正意義在于發(fā)現(xiàn)、在于創(chuàng)新學(xué)習(xí)；不論是從學(xué)生的知識(shí)掌握還是從學(xué)生的思維方式，其價(jià)值都不可估量，它直接影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)手段與方式的變化。
　　數(shù)學(xué)本來(lái)是無(wú)型的，數(shù)學(xué)歸根結(jié)底應(yīng)該是能夠使一個(gè)孩子變得越來(lái)越聰明，使一個(gè)孩子的思維更敏捷，這一素質(zhì)教育本質(zhì)的東西。所以說(shuō)，Z+Z智能教育平臺(tái)與數(shù)學(xué)課程的整合沒(méi)有模式，只是一個(gè)過(guò)程，并且永遠(yuǎn)只是一個(gè)過(guò)程。在我們的日常教學(xué)工作中，不能只站在一個(gè)較高的位置去空談超級(jí)畫板支持下的數(shù)學(xué)課堂，要把學(xué)問(wèn)作細(xì)，從小處著眼，自有大學(xué)問(wèn)在。
　　
　　注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。