盧 山,徐世杰
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)
故障模式下的空間交會(huì)防撞設(shè)計(jì)
盧 山,徐世杰
(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院,北京100191)
針對(duì)軌道平面內(nèi)某一方向發(fā)動(dòng)機(jī)失效的情況,利用控制力的耦合效應(yīng),設(shè)計(jì)了航天器軌道轉(zhuǎn)移的控制律。利用碰撞概率計(jì)算公式分析航天器發(fā)生碰撞的可能性,并結(jié)合燃料消耗選擇一條碰撞概率小于給定的警戒值且燃料最優(yōu)的轉(zhuǎn)移軌道。最后通過(guò)仿真驗(yàn)證了發(fā)動(dòng)機(jī)失效情況下的主動(dòng)防撞機(jī)動(dòng)控制律的有效性。
交會(huì)對(duì)接;主動(dòng)防撞;碰撞概率;發(fā)動(dòng)機(jī)失效
隨著航天器交會(huì)對(duì)接任務(wù)的日益增多,尤其是自主交會(huì)技術(shù)的發(fā)展,空間交會(huì)的安全性成為一個(gè)不容忽視的問(wèn)題。在設(shè)計(jì)交會(huì)軌跡時(shí),任務(wù)專家會(huì)事先定義一條安全交會(huì)走廊,在該走廊內(nèi),主動(dòng)航天器即使發(fā)生推力失效等故障,也不會(huì)與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞,這種防撞方式稱為被動(dòng)防撞[1-2]。而如果主動(dòng)航天器超出了安全交會(huì)走廊,則需要采取主動(dòng)防撞措施來(lái)避開(kāi)目標(biāo),一般可以根據(jù)C-W方程來(lái)設(shè)計(jì)防撞機(jī)動(dòng)的控制律。
為了更準(zhǔn)確地描述兩個(gè)航天器發(fā)生碰撞的可能性,文獻(xiàn)[3-5]提出了采用碰撞概率來(lái)表示兩個(gè)航天器碰撞可能性的方法,該方法通過(guò)定義安全區(qū)域包絡(luò)體和相對(duì)狀態(tài)誤差的協(xié)方差矩陣,求出任意時(shí)刻的碰撞概率密度,并在整個(gè)安全區(qū)域內(nèi)積分得到兩個(gè)航天器的碰撞概率。這種方法能定量地描述發(fā)生碰撞的可能性,并且將航天器的安全區(qū)域和相對(duì)狀態(tài)誤差都考慮在內(nèi),具有全面性。但由于需要積分得到碰撞概率,會(huì)對(duì)星上判斷是否會(huì)發(fā)生碰撞的快速性產(chǎn)生影響。文獻(xiàn)[6]基于碰撞概率設(shè)計(jì)了主動(dòng)防撞的軌道機(jī)動(dòng)控制律。但是目前針對(duì)主動(dòng)防撞的研究都忽略了一個(gè)問(wèn)題,即主動(dòng)航天器發(fā)生故障往往是由于某一方向上的發(fā)動(dòng)機(jī)失效而無(wú)法噴氣,因此即使根據(jù)相應(yīng)的控制律得到機(jī)動(dòng)所需要的推力,也有可能因?yàn)樵谀骋环较蛏蠠o(wú)法提供推力而造成主動(dòng)防撞失敗。
本文利用軌道平面內(nèi)控制力的耦合效應(yīng),設(shè)計(jì)某一方向發(fā)動(dòng)機(jī)失效狀態(tài)下的軌道轉(zhuǎn)移控制律,同時(shí)利用簡(jiǎn)化后的碰撞概率計(jì)算公式分析了航天器之間發(fā)生碰撞的可能性,最后設(shè)計(jì)出一條符合安全要求的主動(dòng)防撞轉(zhuǎn)移軌道。
為了計(jì)算兩個(gè)航天器之間的碰撞概率,需要先定義安全區(qū)域包絡(luò)體和位置誤差3σ橢球。
(1)安全區(qū)域包絡(luò)體
每個(gè)航天器都需要定義一個(gè)安全區(qū)域,任何其他航天器都不能進(jìn)入該區(qū)域,否則認(rèn)為兩個(gè)航天器發(fā)生了碰撞。一般可以把航天器的安全區(qū)域定義為一個(gè)球體,該包絡(luò)體的中心為參考航天器中心。
(2)相對(duì)位置誤差3σ橢球
由于相對(duì)狀態(tài)的測(cè)量存在著誤差,假設(shè)該誤差可以用三維Gauss分布來(lái)描述,則相對(duì)位置誤差可以用協(xié)方差矩陣來(lái)表示,在空間描述為一個(gè)3σ橢球,該橢球的中心定義為主動(dòng)航天器中心。兩者在空間的關(guān)系如圖1所示。
圖1 相對(duì)位置誤差橢球和安全區(qū)域包絡(luò)體
圖2表示根據(jù)碰撞概率設(shè)計(jì)的空間防撞流程。首先給定兩個(gè)航天器的初始相對(duì)狀態(tài)和預(yù)先設(shè)計(jì)好的安全防撞轉(zhuǎn)移的目標(biāo)位置,然后外推一段時(shí)間內(nèi)的相對(duì)位置和誤差協(xié)方差矩陣并計(jì)算每個(gè)時(shí)刻的瞬間碰撞概率。如果存在某一個(gè)時(shí)刻,碰撞概率大于給定的警戒值,則表明兩個(gè)航天器存在發(fā)生碰撞的可能性,主動(dòng)航天器需要采取防撞機(jī)動(dòng),可以根據(jù)給定的初始相對(duì)位置和目標(biāo)位置,選擇一個(gè)機(jī)動(dòng)時(shí)間。如果機(jī)動(dòng)后的軌道外推得到的每個(gè)時(shí)刻的碰撞概率均小于警戒值,則該機(jī)動(dòng)時(shí)間選擇合適,可以進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)。如果仍存在大于警戒值的時(shí)刻,則說(shuō)明選擇的機(jī)動(dòng)時(shí)間不合適,需要重新選擇時(shí)間并重復(fù)上述步驟,直至找到合適的機(jī)動(dòng)時(shí)間。
圖2 空間防撞設(shè)計(jì)的流程
定義目標(biāo)航天器的軌道坐標(biāo)系So,原點(diǎn)在目標(biāo)航天器的質(zhì)心,z軸沿徑向朝向地球,x軸垂直于z軸且沿速度方向,y軸符合右手定則,即沿軌道面負(fù)法線方向。
假設(shè)目標(biāo)航天器運(yùn)行在圓軌道或近圓軌道上,在交會(huì)對(duì)接階段兩個(gè)航天器的距離較近,故相對(duì)運(yùn)動(dòng)可以用如下C-W方程來(lái)描述:
式中,x、y、z表示主動(dòng)航天器相對(duì)于目標(biāo)航天器的位置在軌道坐標(biāo)系上的分量,n表示目標(biāo)航天器的軌道角速度。
上式是一個(gè)常系數(shù)線性微分方程組,可以得到其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為
式中,t為轉(zhuǎn)移時(shí)間,C(nt)=cos(nt),S(nt)=sin(nt)。
設(shè)初始時(shí)刻相對(duì)狀態(tài)誤差的協(xié)方差矩陣為Cx0,則協(xié)方差矩陣的傳播方程為
定義相對(duì)位置R=[x y z]T,取相對(duì)位置的誤差協(xié)方差矩陣,即協(xié)方差矩陣Cx的左上角的3×3子矩陣,記為CR。用符號(hào)‖CR‖表示行列式|CR|的絕對(duì)值。根據(jù)文獻(xiàn)[3]直接得到兩個(gè)航天器在t時(shí)刻的瞬時(shí)碰撞概率密度為
則t時(shí)刻的瞬時(shí)碰撞概率為概率密度在整個(gè)安全包絡(luò)體內(nèi)的積分,即
主動(dòng)航天器在接近目標(biāo)的過(guò)程中,可以通過(guò)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程和協(xié)方差矩陣的傳播方程外推得到在一段時(shí)間內(nèi)任意時(shí)刻的相對(duì)狀態(tài)和誤差協(xié)方差矩陣,并根據(jù)式(6)積分得到任意時(shí)刻的碰撞概率。一旦在某一時(shí)刻的瞬時(shí)碰撞概率大于預(yù)先給定的安全值,則主動(dòng)航天器可以提前采取機(jī)動(dòng)措施防止發(fā)生碰撞。
但觀察式(6)也可以發(fā)現(xiàn),在外推計(jì)算某一時(shí)刻的碰撞概率時(shí)都需要進(jìn)行三維積分運(yùn)算,而航天器上計(jì)算機(jī)的運(yùn)算能力有限,這就大大降低了計(jì)算速度。對(duì)于安全防撞而言,實(shí)時(shí)性和快速性十分重要,同時(shí)通過(guò)文獻(xiàn)[5]的比較結(jié)果,可以近似認(rèn)為在安全包絡(luò)體內(nèi)的概率密度是一致的,因此式(6)可以簡(jiǎn)化為
式中Venvelope為安全包絡(luò)體的體積,由于在兩個(gè)航天器接近過(guò)程中安全包絡(luò)體的體積是恒定的,則瞬時(shí)碰撞概率的求解可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為求解瞬時(shí)碰撞概率密度ρ。由于瞬時(shí)碰撞概率密度的求解是一個(gè)簡(jiǎn)單的外推計(jì)算過(guò)程,因此就可以大大縮短碰撞分析的時(shí)間,有利于主動(dòng)航天器及時(shí)地發(fā)現(xiàn)碰撞危險(xiǎn),并迅速地采取防撞機(jī)動(dòng)。
預(yù)先給定碰撞概率密度的安全警戒值ρsafe及外推一段時(shí)間內(nèi)的瞬時(shí)碰撞概率密度,可以得到該時(shí)間范圍內(nèi)最大碰撞概率密度ρmax,如果該值大于安全警戒值,則表明主動(dòng)航天器需要提前采取防撞措施。
主動(dòng)航天器在得到需要采取防撞措施的指令后,可以根據(jù)C-W方程和預(yù)先指定的安全目標(biāo)點(diǎn),采取合適的機(jī)動(dòng)操作轉(zhuǎn)移至安全位置。但如果發(fā)生發(fā)動(dòng)機(jī)失效的故障,根據(jù)C-W方程計(jì)算得到的主動(dòng)航天器三軸軌道控制力可能會(huì)由于某一軸發(fā)動(dòng)機(jī)的失效而無(wú)法實(shí)施,從而影響軌道轉(zhuǎn)移的效果,甚至在機(jī)動(dòng)后仍然會(huì)出現(xiàn)碰撞事故。
從式(1)的C-W方程可以看出,垂直于軌道平面(y軸)的兩個(gè)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的,而軌道平面內(nèi)(x軸和z軸)兩個(gè)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)是相互耦合的,因此,如果這兩個(gè)軸的某一軸發(fā)動(dòng)機(jī)失效無(wú)法噴氣,則可以通過(guò)另一個(gè)軸的耦合作用進(jìn)行噴氣控制。下面就針對(duì)軌道平面內(nèi)某一軸發(fā)動(dòng)機(jī)失效的狀況設(shè)計(jì)控制律。
考慮軌道平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制情況,式(2)的6×6矩陣可以簡(jiǎn)化為只包含軌道平面內(nèi)相對(duì)狀態(tài)的4×4矩陣,即
式中R0、V0分別為初始時(shí)刻主動(dòng)航天器相對(duì)于目標(biāo)航天器的位置和速度。ΔV=[ΔvxΔvz]T,即在機(jī)動(dòng)初始時(shí)刻施加給主動(dòng)航天器的速度增量。
當(dāng)給定目標(biāo)點(diǎn)的相對(duì)狀態(tài),就可以直接求解上式得到軌道轉(zhuǎn)移機(jī)動(dòng)需要的速度增量。
假設(shè)主動(dòng)航天器z軸的發(fā)動(dòng)機(jī)失效無(wú)法噴氣,則軌道平面內(nèi)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣變成
z軸發(fā)動(dòng)機(jī)失效情況下的C-W機(jī)動(dòng)為
給定轉(zhuǎn)移的目標(biāo)位置R(tf),則展開(kāi)上式后可以得到相對(duì)位置的方程為
由于?!?2是列滿秩,可求得其廣義逆為
則x軸所需施加的速度增量為
若x軸的發(fā)動(dòng)機(jī)失效無(wú)法噴氣,則可以省略狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣中與Δvx有關(guān)的項(xiàng),同樣采用上述方法,可計(jì)算得到所需Δvz的大小。
實(shí)際的航天器上發(fā)動(dòng)機(jī)是以有限推力方式工作的,且存在測(cè)量誤差,因此需要實(shí)時(shí)地計(jì)算所需速度增量,當(dāng)速度增量達(dá)到某一閾值時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)工作,當(dāng)小于某一閾值時(shí)關(guān)機(jī)。設(shè)開(kāi)機(jī)閾值為Δ1,關(guān)機(jī)閾值為Δ2,且Δ1>Δ2。一般Δ1與允許的速度誤差有關(guān),Δ2與控制精度有關(guān)。發(fā)動(dòng)機(jī)開(kāi)機(jī)的判斷邏輯為:
式中,fx(k)表示k時(shí)刻x軸的控制加速度,fx(k-1)表示k時(shí)刻的前一步x軸控制加速度,a表示加速度大小。
設(shè)目標(biāo)航天器運(yùn)行在600km高度的圓軌道上,主動(dòng)航天器的質(zhì)量為200kg,6個(gè)方向均配備一臺(tái)10N的發(fā)動(dòng)機(jī),初始時(shí)刻主動(dòng)航天器的+z軸發(fā)動(dòng)機(jī)出現(xiàn)故障無(wú)法噴氣,此時(shí)初始相對(duì)狀態(tài)為X(0)=[-300 0-40 2.2 0 0.75]T,單位分別為m和m/s。給定初始相對(duì)狀態(tài)的誤差協(xié)方差矩陣為Cx0=diag{2,2,2,0.1,0.1,0.1},碰撞概率密度警戒值ρsafe為1×10-7,安全區(qū)域包絡(luò)體的半徑為50m。選擇防撞機(jī)動(dòng)的目標(biāo)位置為[300 0 0]m,機(jī)動(dòng)時(shí)間范圍為[200 2500]s之間,即目標(biāo)航天器半個(gè)軌道周期之內(nèi)。
圖3表示選擇不同的機(jī)動(dòng)時(shí)間t所對(duì)應(yīng)的最大碰撞概率密度和需要的機(jī)動(dòng)速度增量Δv,根據(jù)給定的碰撞概率密度警戒值ρsafe,可以將機(jī)動(dòng)時(shí)間分成兩個(gè)區(qū)域:一個(gè)是碰撞區(qū),主動(dòng)航天器選擇在該區(qū)域內(nèi)進(jìn)行機(jī)動(dòng)仍然存在與目標(biāo)航天器發(fā)生碰撞的可能;另一個(gè)是安全區(qū),選擇在該區(qū)域內(nèi)進(jìn)行機(jī)動(dòng)可以保證兩個(gè)航天器的安全。同時(shí)還可以發(fā)現(xiàn)在該區(qū)域內(nèi)機(jī)動(dòng)所需的速度增量隨著機(jī)動(dòng)時(shí)間的增加而單調(diào)遞增,因此機(jī)動(dòng)的時(shí)間越短越節(jié)省燃料,最終選擇機(jī)動(dòng)時(shí)間為545s。
圖3 機(jī)動(dòng)時(shí)間對(duì)最大碰撞概率密度和速度增量的影響
圖4和圖5分別顯示機(jī)動(dòng)前后兩個(gè)航天器在軌道平面內(nèi)的相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡和碰撞概率密度的變化。從圖4可以看到,機(jī)動(dòng)前主動(dòng)航天器會(huì)進(jìn)入目標(biāo)航天器的安全區(qū)域,存在碰撞的可能,而機(jī)動(dòng)后可以避開(kāi)該安全區(qū)域,最終轉(zhuǎn)移至預(yù)定的安全區(qū)域。從圖5可以看到機(jī)動(dòng)前的最大碰撞概率密度會(huì)達(dá)到9.5×10-7左右,而機(jī)動(dòng)后的最大碰撞概率密度小于給定的警戒值。
圖4 機(jī)動(dòng)前后的軌道平面內(nèi)的相對(duì)軌跡
圖5 機(jī)動(dòng)前后的碰撞概率密度
圖6顯示主動(dòng)航天器x軸和z軸的推力變化,可以發(fā)現(xiàn)+z軸由于發(fā)動(dòng)機(jī)失效不再產(chǎn)生推力,而通過(guò)控制力的耦合作用,主動(dòng)航天器最終仍然實(shí)現(xiàn)了有效的軌道轉(zhuǎn)移,驗(yàn)證了控制律的有效性。
圖6 x軸和z軸的控制力
本文針對(duì)交會(huì)對(duì)接中,在軌道平面內(nèi)主動(dòng)航天器某一方向發(fā)動(dòng)機(jī)的失效情況,采用瞬時(shí)最大碰撞概率密度計(jì)算公式分析了兩個(gè)航天器發(fā)生碰撞的可能性,并結(jié)合軌道機(jī)動(dòng)的燃料消耗選擇出一條最佳的防撞機(jī)動(dòng)路徑。同時(shí),設(shè)計(jì)了在缺少某一方向推力情況下的軌道轉(zhuǎn)移控制律,并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該控制律的有效性,為航天器安全防撞提供了一個(gè)選擇方案。
但本文所設(shè)計(jì)的控制律利用了軌道平面內(nèi)相對(duì)運(yùn)動(dòng)互相耦合的特點(diǎn),因此對(duì)于軌道平面外(y軸)發(fā)動(dòng)機(jī)失效的情況不再適用。
[1] Fehse W.Automated rendezvous and docking of spacecraft[M].Cambridge,UK:Cambridge University Press,2003
[2] 朱仁璋,湯溢,尹艷.空間交會(huì)最終平移軌跡安全模式設(shè)計(jì)[J].宇航學(xué)報(bào),2004,25(4):443-447
[3] Patera R P.General method for calculating satellite collision probability[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2001,24(4):716-722
[4] Patera R P.Method for calculating collision probability between a satellite and a space tether[J].Journal of Guidance,Control and Dynamics,2002,25(5):940-945
[5] 王華,李海陽(yáng),唐國(guó)金.飛行器碰撞概率計(jì)算的一般方法[J].國(guó)防科技大學(xué)學(xué)報(bào),2006,28(4):27-31
[6] 王華,李海陽(yáng),唐國(guó)金.基于碰撞概率的交會(huì)對(duì)接最優(yōu)碰撞規(guī)避機(jī)動(dòng)[J].宇航學(xué)報(bào),2008,29(1):220-223
Collision Avoidance Design of Space Rendezvous in the Failure M ode
LU Shan,XU Shijie
(School of Astronautics,Beijing University of Aeronautics and Astronautics,Beijing 100191,China)
A new control law of collision avoidance maneuver(CAM)is designed using coupling effect under a thruster failure.The collision probability is used to analyze the collision probability of two spacecrafts.And a transfer trajectory of orbitmaneuver with safe and optimal fuel consumption is able to be selected in combination with the analysis of collision probability and fuel consumption.Simulation results validate that the CAM control law is effective under a thruster failure.
rendezvous and docking;collision avoidance maneuver;collision probability;thruster failure
V412
A
1674-1579(2008)06-0039-05
2008-08-08
盧 山(1982-),男,浙江人,博士研究生,研究方向?yàn)榭臻g飛行器制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制(e-mail:buaals@sohu.com)。