倪　進(jìn)

概念是反映客觀事物特有屬性的思維形式，是思維的最基本的單位.而數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)的精髓和靈魂，也是對(duì)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的高度抽象和概括，它反映了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性.筆者通過研究發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在形成正確概念的過程中，可能會(huì)形成一種中間概念，即“替代概念”，下文將就此進(jìn)行相關(guān)闡述.

1 “替代概念”的界定及合理性

文［1］指出，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中，他們所具有的概念，無論這是一種在學(xué)習(xí)前就已形成的“質(zhì)樸概念”(native conception)，或是在各種情景、包括在學(xué)習(xí)過程中發(fā)展起來的“非標(biāo)準(zhǔn)概念”(noncanonical conception)，都是建構(gòu)活動(dòng)的產(chǎn)物，從而都有一定的合理性，特別是，這些概念很可能是由于不同的認(rèn)識(shí)方式所造成的，從而就不應(yīng)簡(jiǎn)單看做純粹的“錯(cuò)誤概念”，勿寧說，這構(gòu)成了與科學(xué)家的概念(這即是所謂的“標(biāo)準(zhǔn)概念”)相“平行”的另一類“替代概念”(alternative conceptions).

具體而言，如果學(xué)生在新的學(xué)習(xí)活動(dòng)中未能很好地利用自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，特別是，如果教師也未能幫助學(xué)生較好地去實(shí)現(xiàn)對(duì)概念的形式定義與其原先具有的直觀形象和經(jīng)驗(yàn)的必要整合，那么形式定義的學(xué)習(xí)在最初往往就只是學(xué)生原有的心理表征中加入了一個(gè)新的成分，從而形成標(biāo)準(zhǔn)概念的替代物——替代概念.并且有時(shí)學(xué)生已有的質(zhì)樸概念與相應(yīng)的形式定義構(gòu)成了直接的矛盾，而學(xué)生自身對(duì)此卻沒有自覺的認(rèn)識(shí)，“頑固不化”之后會(huì)導(dǎo)致形成“規(guī)律性錯(cuò)誤”.按照認(rèn)知心理學(xué)的研究，這里所說的“規(guī)律性錯(cuò)誤”事實(shí)上具有一定的合理性，甚至更應(yīng)該被看成認(rèn)識(shí)發(fā)展過程中必不可缺的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，顯然不能加以全盤否定.“替代概念”的形成過程及發(fā)展方向如下圖所示.

2 “替代概念”的呈現(xiàn)及轉(zhuǎn)化

在高中數(shù)學(xué)中，概念教學(xué)的重要性不言而喻.但正如上文所述，高中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程中往往會(huì)產(chǎn)生相對(duì)應(yīng)的“替代概念”，從而產(chǎn)生規(guī)律性錯(cuò)誤，導(dǎo)致學(xué)習(xí)障礙，影響了數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握及數(shù)學(xué)能力的提高.所以在概念教學(xué)中，應(yīng)重視各種“替代概念”的產(chǎn)生過程與根源，并且制定正確的轉(zhuǎn)化策略，從而順利地建構(gòu)概念.

2.1 重視知識(shí)的前后聯(lián)系，理順“替代概念”的產(chǎn)生脈絡(luò)

教育科學(xué)研究表明，學(xué)生在學(xué)習(xí)某一數(shù)學(xué)知識(shí)之前，頭腦里并非一片空白，尤其是高中學(xué)生，他們通過初中數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)，對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的理解和解釋，往往有一套自己的觀點(diǎn)和想法.這些觀點(diǎn)和想法許多時(shí)候與正確的概念、科學(xué)的思維并無沖突，但有時(shí)候與科學(xué)的概念或思維方式相去甚遠(yuǎn)，甚至大相徑庭，這就為“替代概念”的滋生提供了溫床.所以在課堂教學(xué)中，應(yīng)設(shè)法讓學(xué)生重視知識(shí)的前后聯(lián)系，理清產(chǎn)生脈絡(luò).

例如，初中學(xué)生在進(jìn)入高中學(xué)習(xí)之前，已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)概念.但初中時(shí)的函數(shù)概念是建立在連續(xù)變量的基礎(chǔ)上的，還停留在十八世紀(jì)人們的認(rèn)識(shí)程度上.函數(shù)這一概念體現(xiàn)了數(shù)學(xué)高度抽象化、邏輯化、形式化的特點(diǎn)，學(xué)生由初中的函數(shù)概念要轉(zhuǎn)換成高中由映射角度出發(fā)的函數(shù)概念有著相當(dāng)?shù)睦щy.在此過程中，有的學(xué)生會(huì)產(chǎn)生函數(shù)概念的“替代概念”，即：

設(shè)在一個(gè)變化過程有兩個(gè)變量x,y，如果對(duì)于x的每一值，y都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù).函數(shù)有且只有一個(gè)統(tǒng)一的表達(dá)式.

這樣一來，在高中函數(shù)的概念教學(xué)中，學(xué)生始終不能理解常數(shù)函數(shù)和分段函數(shù)為何也可以作為函數(shù)的成員.因此在實(shí)際教學(xué)中，筆者利用數(shù)學(xué)史上有關(guān)函數(shù)概念的大討論以及函數(shù)概念的幾次發(fā)展，并結(jié)合高中函數(shù)概念的教學(xué)，讓學(xué)生去爭(zhēng)鳴、去探究，及時(shí)加以總結(jié)，同時(shí)指明學(xué)生所具有的函數(shù)的“替代概念”的合理性和滯后性，這樣可使初高中函數(shù)知識(shí)渾然一體，又可促使學(xué)生所對(duì)應(yīng)的“替代概念”向高中函數(shù)概念轉(zhuǎn)化.

2.2 重視“替代概念”多樣性，正確解剖“病灶”

由于學(xué)生主體之間認(rèn)知結(jié)構(gòu)的多樣性，其已有圖式以及信息加工的方式也各具特點(diǎn)，因此其概念學(xué)習(xí)均呈現(xiàn)出豐富多彩的特色，策略演變與選取也具有多種可能的方向，所產(chǎn)生的“替代概念”亦可能各不相同.

例如，在高中數(shù)學(xué)新教材必修3《概率》的新課教學(xué)時(shí)，筆者針對(duì)有的學(xué)生對(duì)概念理解膚淺，對(duì)數(shù)學(xué)概念的形式、概念的內(nèi)涵和外延不甚了解或一知半解，造成對(duì)概念的“假性理解”，產(chǎn)生概念的理解“偏差”.出現(xiàn)了以下幾種“替代概念”：

(1)概率值是所有頻率的平均值；

(2)概率值是實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)的所有頻率的平均值；

(3)概率值是實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大時(shí)頻率的近似值；

(4)概率值是當(dāng)次數(shù)n→+∞時(shí)，頻率mn趨近的常數(shù).

在實(shí)際數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者利用書上的例題，讓學(xué)生與教師組成學(xué)習(xí)共同體，經(jīng)過激烈地討論與協(xié)作，針對(duì)以上的“替代概念”，抓住其“病灶”所在，分析其產(chǎn)生根源，使學(xué)生達(dá)成對(duì)概率概念的共識(shí).

2.3 重視數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)謹(jǐn)性，解剖“替代概念”的言語(yǔ)邏輯

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念或教師在概念教學(xué)時(shí)，常利用學(xué)生自身已有的生活知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)，即利用已有的樸素概念去說明或描述正在學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念.于是在此基礎(chǔ)上就產(chǎn)生了用“生活語(yǔ)言”去描述“替代概念”，這給科學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)帶來不可忽視的、也可能是消極的影響.

例如，為了幫助學(xué)生較好地掌握極限的概念，我們無疑應(yīng)充分利用學(xué)生已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，特別是，在對(duì)極限的概念進(jìn)行描述時(shí)，我們不可避免地會(huì)用到“趨近”、“接近于”等日常用語(yǔ)——事實(shí)上，甚至連“極限”這一術(shù)語(yǔ)本身也是從自然語(yǔ)言中直接借用的——而這對(duì)于調(diào)動(dòng)學(xué)生從日常生活中積累起來的相關(guān)經(jīng)驗(yàn)顯然是十分有益的.但正如心理學(xué)家維納所指出的，日常意義在數(shù)學(xué)中的這種“滲透”也可能造成一些消極的后果，比如就其日常意義而言，“極限”這一概念往往包含“不可超越”的涵義(就如“速度的極限”等).類似的，當(dāng)我 們用“趨近”、“接近于”等概念來對(duì)數(shù)列的極限進(jìn)行說明時(shí)，也很容易造成這樣的印象：作為一個(gè)過程，數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)不可能與其極限相等.這就產(chǎn)生了如下極限概念的“替代概念”：極限值是一個(gè)無限接近的常數(shù)，且數(shù)列的所有各項(xiàng)均不可達(dá)到這個(gè)常數(shù).

另外，由于學(xué)生關(guān)于數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)主要局限于這樣的實(shí)例，即其各項(xiàng)是由一個(gè)通項(xiàng)公式統(tǒng)一給出的，特別是，這又往往是所謂的單調(diào)數(shù)列，從而，在新的學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)以下的情況就不足為奇了，即學(xué)生認(rèn)為以下的數(shù)列并非是一個(gè)而是兩個(gè)數(shù)列：1，0，12，0，13，0，….而諸多單調(diào)數(shù)列的實(shí)例無疑又進(jìn)一步加強(qiáng)了關(guān)于“數(shù)列的項(xiàng)永遠(yuǎn)不可能與其極限相等”這一不正確的概念.

在極限概念的教學(xué)中可適量增加形象的比喻以及實(shí)例的教學(xué)，減少對(duì)概念形式的“糾纏”，即注重實(shí)質(zhì)，適度形式化.從而使學(xué)生在認(rèn)知沖

突中完成頭腦中所對(duì)應(yīng)的“替代概念”向正確的概念或思想方法轉(zhuǎn)化.

2.4 正視思維定勢(shì)，解除“替代概念”

有的學(xué)生不能透徹理解數(shù)學(xué)公式和法則，浮于表面，以偏概全，以自己不正確、不完善的“經(jīng)驗(yàn)”推而廣之，從而形成解題“危機(jī)”.下題中學(xué)生對(duì)“和的極限等于極限的和”的結(jié)論十分熟悉，受其影響，產(chǎn)生了以下錯(cuò)誤解法.這本質(zhì)上是受了思維定勢(shì)的消極影響，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤的“替代概念”.例題及具體分析如下.

題目 若玪im猲→∞(3an+4bn)=8,玪im猲→∞(6an-bn)=1,求玪im猲→∞(3an+bn)的值.

錯(cuò)解:由玪im猲→∞(3an+4bn)=8,

玪im猲→∞(6an-bn)=1,得=3玪im猲→∞an+4玪im猲→∞bn=8 (1)

6玪im猲→∞an-玪im猲→∞bn=1 (2)(1)×2-(2)得：玪im猲→∞bn=159,并求得：玪im猲→∞an=49,∴玪im猲→∞(3an+bn)=3玪im猲→∞an+玪im猲→∞bn=129+159=3.

此解法錯(cuò)誤的原因是解題者有下列的“替代概念”：乘法分配律對(duì)極限的加減運(yùn)算也成立的.而沒有對(duì)玪im猲→∞an與玪im猲→∞bn的存在加以說明.雖然答案是正確的(由于玪im猲→∞an與玪im猲→∞bn的確是存在的)，但是卻不能掩蓋正確結(jié)論下的錯(cuò)誤.

由上所述，“替代概念”在高中數(shù)學(xué)中是普遍存在的.由于“替代概念”具有“相對(duì)穩(wěn)定性”(頑固性)，更由于其對(duì)概念形式定義的學(xué)習(xí)往往建立在被動(dòng)的接受與機(jī)械的記憶之上，所以如果缺乏必要的引導(dǎo)，那么隨著時(shí)間的推移，所說的整合(應(yīng)當(dāng)指出，這種整合往往是在不自覺的情況下進(jìn)行的，即主體對(duì)此往往并不具有清醒的自我認(rèn)識(shí))就很可能在錯(cuò)誤的方向上得以進(jìn)行.［1］這就是說，最終所出現(xiàn)的就很可能是錯(cuò)誤概念對(duì)于形式定義的排斥或改造，從而導(dǎo)致概念的表征和轉(zhuǎn)譯失敗.所以對(duì)“替代概念”的轉(zhuǎn)化值得我們?nèi)ブ匾暫脱芯?

參考文獻(xiàn)

［1］鄭毓信、梁貫成編著.認(rèn)知科學(xué)、建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育［M］.上海：上海教育出版社，2002.