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分式方程常見錯解剖析

2008-08-26 11:26侯明輝
關鍵詞:解方程分式分母

侯明輝

一、忽略了對根的檢驗

例1 解方程:-=.

錯解:方程的兩邊同乘以最簡公分母(x+1)(x-1),得6-3(x+1)=2(x-1).解這個方程,得x=1.所以原方程的根是x=1.

剖析:分式方程是通過轉(zhuǎn)化為整式方程來求解的,解題過程中有可能產(chǎn)生增根,所以求出的根必須檢驗.

正解:方程的兩邊同乘以最簡公分母(x+1)(x-1),得6-3(x+1)=2(x-1).解這個方程,得x=1.

檢驗:當x=1時,最簡公分母(x+1)(x-1)=0,所以x=1是增根,從而原方程無解.

二、方程兩邊同除以含未知數(shù)的整式,造成失根

例2 解方程:=.

錯解:方程的兩邊同除以x-1(或者認為:分式的分子相等,則分母也相等),得=,故x+2=x-2.所以原方程無解.

剖析:方程的兩邊同除以x-1,等于默認了x-1的值不為0,而事實上x=1正是原方程的一個根,上述變形造成了失根.

正解:去分母,得(x-1)(x-2)=(x-1)(x+2),即x2-3x+2=x2+x-2.解之,得x=1.

經(jīng)檢驗,x=1是原方程的根.

三、去分母時,漏乘某些項

例3 解方程:+=1.

錯解:方程的兩邊同乘以x-2,有3-x=1,得x=2.

檢驗:當x=2時,x-2=0,所以原方程無解.

剖析:造成錯解的原因是去分母時漏乘了“不含分母”的項.因此,所得方程與原方程不同解.

正解:方程的兩邊同乘以x-2,得3-x=x-2.解之,得x=.

經(jīng)檢驗,x=是原方程的根.

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