張　青

理解教材

絕對值是有理數(shù)的重要概念之一，在學習絕對值之前，學生已經(jīng)學習了負數(shù)、數(shù)軸和相反數(shù)，學生在小學學習了非負有理數(shù)，了解了非負有理數(shù)的概念、性質及運算，為學習有理數(shù)奠定了基礎.絕對值與初等數(shù)學的許多知識和方法相聯(lián)系，有著廣泛和重要的應用.(1)有理數(shù)的大小比較.有了絕對值的概念后，有理數(shù)之間的大小比較就方便多了，特別是兩個負數(shù)的大小比較，只比較絕對值即可，不必在數(shù)軸上表示負數(shù)后再進行比較.(2)求數(shù)軸上兩點的距離.數(shù)a在數(shù)軸上表示的點到原點的距離為|a|，在數(shù)軸上表示數(shù)a和b的兩點間的距離為|a-b|，這對“函數(shù)”部分的學習是非常重要的.(3)有理數(shù)的運算.一個有理數(shù)實質上它包含兩部分，一是符號，二是絕對值，有理數(shù)的運算在確定了結果的正負號后，剩下的問題就是絕對值的運算了.(4)應用絕對值的非負性.一個有理數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，這一性質有著重要的應用.如“已知|a-3|+|b+2|=0，求a-b的值”，就是這一性質的直接應用.從前面的四點分析中，我們不難看出，絕對值在整個數(shù)與代數(shù)部分中有著重要的地位，應用非常的廣泛，是后續(xù)學習的重要基礎，起著承上啟下的作用.

教學目標

1.會解釋絕對值的“幾何”意義和“代數(shù)”意義，會求出一個數(shù)的絕對值；

2.結合實例，并借助數(shù)軸上的點與原點的距離來探索絕對值的有關問題；

3.注意思考的周密性，要考慮到問題可能出現(xiàn)的各種情況.培養(yǎng)嚴謹、認真的學習態(tài)度.

教學重點

絕對值的意義.

對于絕對值的意義“在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.”可結合數(shù)軸體會絕對值符號的形象意義.一個數(shù)的兩旁劃上兩條豎線，象征這個數(shù)的絕對值是數(shù)軸上兩條豎線間的距離.它的距離是多少，絕對值就是多少，當然距離不能為負，故任意數(shù)的絕對值不能為負，也說明絕對值有非負性.對于絕對值的意義：“一個正數(shù)的絕對值是它本身；0的絕對值是0；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)”.可通過復習有關字母表示數(shù)的知識，并在列舉大量借助數(shù)軸求正數(shù)、負數(shù)、零的絕對值的基礎上，啟發(fā)學生歸納出絕對值的這個意義，

-a(a≤0).在許多參考資料中，都把前面那個絕對值的意義稱為絕對值的“幾何”定義，把后面那個絕對值的意義稱為絕對值的“代數(shù)”意義.要加強變式訓練，從正、反兩個方面引導學生理解絕對值的意義，培養(yǎng)學生的逆向思維能力，應多進行諸如“已知一個數(shù)的絕對值是5，求這個數(shù)”方面的訓練.

教學難點

難點1：數(shù)的絕對值是怎么回事.

在生產(chǎn)生活實踐中，常遇到這樣的問題：規(guī)定向東為正，甲車向東行駛了8千米，記作8千米，乙車向西行駛了8千米，記作-8千米，如果不考慮方向，我們說，兩車都行駛了8千米路程.這里的8叫做+8的絕對值，也叫做-8的絕對值.記作|+8|=8，﹟-8|=8.畫在數(shù)軸上表示如圖1所示，原點為出發(fā)點，OA表示的是甲車行駛的路程，OB表示的是乙車行駛的路程.所以一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離.

圖1難點2：絕對值的意義.

由于算術數(shù)的影響，在有理數(shù)意義的學習中，易出現(xiàn)“帶有負號的數(shù)就是負數(shù)”的思維定勢的影響，從而對“如果a<0，那么|a|=-a”難以理解，因此，使絕對值意義的學習形成難點.具體突破措施祥見本節(jié)教學重點.

絕對值是初等數(shù)學最重要的概念之一，也是難點之一.它從七年級的有理數(shù)一直到高中的復數(shù)模，隨著教程不斷加深而提高，因此，對絕對值的認識要遵循循序漸進、不斷深化的原則，結合有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的運算、根式等內(nèi)容，分階段分層次進行認識，不可盲目拔高.本節(jié)內(nèi)容學習中只要能解決具體數(shù)的絕對值問題即可，對學有余力的學生可涉及字母的絕對值.

教學過程

一、認識絕對值的“幾何”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的定義”)

1.(1)數(shù)軸上表示-12的點到原點的距離是( ).

A.-12 B.|-12| C.-2 D.2

(2)數(shù)軸上表示3.5的點到原點的距離是( ).

A.|3.5| B. -3.5 C.0 D.無法確定

思考：教育和心理學的研究表明：當學習的材料與學生已有的知識和生活經(jīng)驗相聯(lián)系時，學生對學習才會是有興趣的.本題中的“距離”是學生生活中熟悉的概念，在數(shù)軸上表示點是學生應用已有的知識解決問題，這樣從學生熟悉的現(xiàn)實情境和已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，能激發(fā)學生的探究欲望和學習興趣.

觀點：在學習絕對值的概念時，由于是數(shù)軸上表示的點到原點的距離，從而使學生對絕對值的概念有了感性認識.

2. 問題：數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離是( ).

A.a B.|a|

C.-a D.無法確定

思考：本題是在上題基礎上的延續(xù)，是在數(shù)軸上，由表示具體數(shù)的特殊點到原點的距離，拓展為由字母表示數(shù)的一般點到原點的距離.本題放給學生研討解答，教師巡視指導.

3.絕對值的“幾何”意義：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|.

我的思考：對概念的理解有一個過程，由于學生認知基礎和接受能力的差異，對絕對值的記作方式部分學生接受起來會有難度，教師可充分借助數(shù)軸，多列舉幾個例子來說明.

二、認識絕對值的“代數(shù)”意義(有些參考資料上也稱作“絕對值的性質”)

(1)數(shù)軸上表示+3的點到原點的距離是，表示0.8的點到原點的距離是，表示212的點到原點的距離是.

觀察第(1)小題的結論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(2)數(shù)軸上表示-1.6的點到原點的距離是，表示-2008的點到原點的距離是，表示-34的點到原點的距離是.

觀察第(2)小題的結論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(3)數(shù)軸上表示0的點到原點的距離是.

觀察第(3)小題的結論，你有什么發(fā)現(xiàn)，用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

(4)把第(1)、(2)、(3)小題的結論完整的用語言表述出來，你能用一個式子來表示嗎?

2.學生展示結論

思考：由第(1)小題到第(4)小題這個過程，是將問題一般化的過程，在這個過程中，使學生理解一個數(shù)學結論是怎樣獲得的，通過這個過程學習和應用數(shù)學.在這個探究的過程中，學生頭腦中已有的不規(guī)范的數(shù)學知識和數(shù)學學習體驗升華為科學的數(shù)學結論，從中感受數(shù)學發(fā)現(xiàn)的樂趣，體驗成功，增進學好數(shù)學的信心.

觀點：“學貴有疑”.“疑”(問題)既能讓學生在心理上感到無所適從，也能使學生產(chǎn)生強烈的認知沖動.在學生的“最近發(fā)展區(qū)”層層設疑，使學生能借助已有的知識、經(jīng)驗、方法，將新知識同化，這樣學生才是真正的探索者，學生在問題的意識驅動下，會產(chǎn)生積極的探究愿望.

3.絕對值的“代數(shù)”意義

結論：一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).用式子表示是：若a表示一個有理數(shù)，則|a|=a(a>0)

思考：(1)用文字語言和符號語言兩種形式描述和呈現(xiàn)絕對值的“代數(shù)”意義，對學生而言是一種有效地獲得對結論本身深入理解的方法.(2)數(shù)學語言有文字語言、符號語言和圖形語言，對于絕對值“代數(shù)”意義的文字語言和符號語言，學生對文字語言掌握的會好些，對于絕對值的符號語言形式，學生有個熟悉理解的過程，在具體的題目中可反復對照與其相應的式子.

觀點：在用字母符號來表示數(shù)的絕對值時，學生對絕對值性質的認識從感性階段上升到了理性階段.在這個過程中，滲透了對應思想、分類思想，還滲透了由具體到抽象的概括的方法.

三、與絕對值有關的問題

解答下面各題

1.求下列各數(shù)的絕對值

-112，112，365，-2008，-(-5).

2.已知一個數(shù)的絕對值是7，求這個數(shù).

3.已知|x|=35，則x=.

4.有沒有絕對值是-2的數(shù)?

思考：通過具體題目的解答，加深學生對絕對值性質的理解，能選擇正確的方法解答各個題目.第2、3小題答案不唯一，學生中往往有遺漏的情況，而第4小題滿足題意的數(shù)不存在，個別學生不理解，怎么會不存在呢?出現(xiàn)上述情況，主要還是對絕對值意義沒有真正理解.教師在此給與恰當?shù)狞c撥釋疑.

四、絕對值的內(nèi)涵和外延

內(nèi)涵：任何數(shù)都有絕對值.

由絕對值的意義，我們得到：正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù).即：當x>0時，|x|=x；當x=0時，|x|=0；當x<0時，|x|=-x.

外延1：絕對值有非負性.

無論是從絕對值的“幾何”意義，還是從絕對值的“代數(shù)”意義，都揭示了絕對值的一個重要特征——非負性.即：對于任何有理數(shù)a，總有|a|≥0.因此，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則-a≥0，也即a≤0，此時a是一個負數(shù)，這是理解的難點，尤其是對關于若|a|+|b|=0，則a=b=0的這樣一個式子的重要認識.

外延2：絕對值的平方性.

若a為有理數(shù)，則有|a|²=a².

觀點：對知識的學習，不僅要知其內(nèi)涵，更要知其外延，從中使我們明確，不能僅滿足于知識的表面結構和特征，而更應該進行深入的分析，特別是外延2，實際上是式子|a|=a(a>0)

0(a=0)

-a(a<0)的變式，可是我們往往忽略或沒有想到.引導學生對概念、公式、法則或定理等進行內(nèi)涵、外延的分析，是對學生學法的重要指導，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的分析問題的習慣.

五、絕對值與日常生活

問題：正式足球比賽對足球的質量有嚴格的規(guī)定.下面是6個足球的質量檢測結果.用正數(shù)記超過規(guī)定質量的克數(shù)，用負數(shù)記不足規(guī)定質量的克數(shù).檢測結果：-25，-10，+20，-30，+15，+40.請指出哪個足球的質量好一些，并用絕對值的知識進行說明.

認識：數(shù)學課程標準研制組編寫的“全日制義務教育《數(shù)學課程標準》(實驗稿)解讀”第160頁：面對實際問題，能夠主動嘗試著從數(shù)學的角度運用所學的知識和方法尋求解決問題的策略，是數(shù)學應用意識的重要體現(xiàn)，也是能否將所學的知識和方法運用于實際的關鍵.

六、高效練習，鞏固深化

1.完成教材隨堂練習題目.

2.補充(學有余力學生完成)

(1)(2007年長沙市數(shù)學中考試題)如圖2，點A、B在數(shù)軸上對應的實數(shù)分別為m、n，則A、B間的距離是 .(用含m、n的式子表示)

思考：去掉絕對值常用的方法有：利用絕對值的“幾何”意義、利用絕對值的“代數(shù)”意義、利用數(shù)軸信息(如第(1)、(2)題)；去掉絕對值還有些特殊的方法，如利用絕對值的非負性(如第(3)題)、分類討論(如第(4)、(5)題)等，要結合具體題目，選擇簡便、恰當?shù)姆椒ń獯?

觀點：由于學生還沒有學習“用字母表示數(shù)”、“列代數(shù)式”等知識，所以，補充的5個題目對于部分學生而言，可能會有一定難度，師生共同研討解答，教師多給學生以方法上的指導，具體解答由學生來完成.

七、課堂小結

1.知識點

(1)用語言敘述絕對值的“幾何”意義，舉例說明；

(2)用式子表示絕對值的“代數(shù)”意義，舉例說明；

(3)舉例說明，任何數(shù)都有絕對值嗎?

(4)如何理解絕對值的非負性.

2.數(shù)學思想方法

(1)分類思想；

(2)化歸思想；

(3)數(shù)形結合思想.

3.思維方式

(1)逆向思維；

(2)發(fā)散思維.

4.知識遷移

(1)數(shù)軸；

(2)運用絕對值解決實際問題.

5.情感、態(tài)度、價值觀

(1)勤學善思、樂于合作；

(2)嚴謹、周密、認真的學習態(tài)度；

(3)數(shù)學的符號美、簡約美.

觀點：課堂小結是一節(jié)課學習的升華和深化，是非常重要的一個環(huán)節(jié).課堂小結，不是單一知識點的羅列，還應從數(shù)學思想方法獲取、技能提升、能力發(fā)展、學習習慣培養(yǎng)、學習方法的改進等方面進行梳理和反思.學生剛升入中學時間不長，對課堂小結，有的學生不是高度重視、有的學生不知如何進行小結、有的學生還可能認為課堂小結是老師的事，自己聽聽就是了，等等，什么樣的情況都可能有，所以，教師要在初一學習的起始階段，結合課堂教學，向學生說明課堂小結的重要性，教給學生如何進行課堂小節(jié)，這也是對學生能力培養(yǎng)的一個重要方面.

教有所思

絕對值是有理數(shù)的重要概念之一，本節(jié)課的學習主要把握好兩條“線”. 一條“線”是知識線. 知識線中又包含兩部分內(nèi)容，一是知識的內(nèi)涵，即絕對值的“幾何”意義和“代數(shù)”意義；二是知識的外延，即絕對值的非負性和絕對值的平方性. 另一條“線”是思維方法線. 包括數(shù)學思想方法和思維方式. 學習“線索”、層次、環(huán)節(jié)清晰和明確，學生的學習才不會有負擔，數(shù)學學習才會變得“簡單”、實用. 所以教材只使教師教學的資源和載體，教師要創(chuàng)造性地使用教材，將其二度開發(fā).

這里送給老師們一個小故事，愿對老師們有所啟迪.

三個抄寫員

黎錦熙是我國著名的國學大師. 民國頭10年他在湖南辦報，當時幫他謄寫文稿的有3個人.

第一個抄寫員沉默寡言，只是老老實實地抄寫文稿，錯字、別字也照抄不誤，后來，這個人一直默默無聞. 第二個抄寫員則非常認真，對每份文稿都先進行認真仔細的檢查然后才抄寫，遇到錯字、病句都要改正過來. 后來，這個抄寫員寫了一首歌詞，經(jīng)聶耳譜曲后命名為《義勇軍進行曲》. 他就是田漢. 第三個抄寫員則與眾不同，他也仔細看每份文稿，但他只抄寫與自己意見相符的文稿，對那些意見不同的文稿則隨手扔掉，一句話也不抄. 后來，這個人建立了以《義勇軍進行曲》為國歌的中華人民共和國. 他就是毛澤東.

作者簡介：張青，1966年1月生，中學高級教師. 主要研究初中數(shù)學課堂教學研究. 曾先后獲得齊魯名師、山東省教學能手、山東省優(yōu)秀教師、濰坊市跨世紀學術技術帶頭人、濰坊市普通中小學十佳教師、全國初中數(shù)學競賽優(yōu)秀指導教師等稱號. 舉行市、省、國家級公開課、觀摩課三十余節(jié).“課堂教學中的數(shù)學探究活動”、“正確處理新課程課堂教學的三個關系”等十余篇論文發(fā)表在《中學數(shù)學雜志》、《當代教育科學》等報刊上?主編書籍《走在社會實踐路上》、《數(shù)學的探究與創(chuàng)新》、《學科教學創(chuàng)新支點——數(shù)學》等十余本，參編《初中數(shù)學基礎訓練》、《高效學習法(數(shù)學)》等教學用書三十余本. 主持的全國教育科學“十五”規(guī)劃教育部重點課題分課題“綜合實踐活動課程資源整合實驗研究”于2006年9月通過鑒定并在全國范圍內(nèi)推廣. 現(xiàn)主持研究的山東省教育科學規(guī)劃“十一五”重點課題《培養(yǎng)學生遷移意識，提高數(shù)學應用能力(編號：115JG21)》，已取得初步成效，受到業(yè)內(nèi)同行的廣泛關注.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”