南秀全　付東峰

作者簡(jiǎn)介 南秀全，湖北省特級(jí)教師.享受國(guó)務(wù)院政府特殊津貼的專家，被國(guó)務(wù)院授予“新世紀(jì)高級(jí)人才”稱號(hào)，第六屆全國(guó)蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)獲得者，國(guó)家新課程新世紀(jì)教材指導(dǎo)委員會(huì)委員.湖北省有突出貢獻(xiàn)的中青年專家，湖北省中學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)委員會(huì)理事兼學(xué)術(shù)委員會(huì)副主任.黃岡市教育科學(xué)學(xué)術(shù)委員會(huì)委員兼秘書長(zhǎng)，黃岡市教育學(xué)會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)副理事長(zhǎng)兼秘書長(zhǎng)，被黃岡市政府首批授予“科學(xué)技術(shù)帶頭人”稱號(hào).

[一][幫你總結(jié)]

1. 勾股定理可用于求直角三角形的某一邊長(zhǎng).

2. 要學(xué)會(huì)構(gòu)造（或?qū)ふ遥┲苯侨切?，運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題.如抓住立體圖形與平面圖形的關(guān)系，將立體圖形展開(kāi)成平面圖形，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，運(yùn)用勾股定理解決問(wèn)題.

3． 構(gòu)造三角形（或?qū)ふ胰切危\(yùn)用勾股定理的逆定理判斷某角是否為直角.

[二][基礎(chǔ)運(yùn)用]

例1如圖1，某機(jī)器零件呈四邊形ABCD的形狀，要求∠B=∠D=90°，AB=BC=5，CD=1.現(xiàn)測(cè)得∠B=90°，AB=BC=5，CD=1，DA=7.那么，這個(gè)零件合格嗎？

分析：連接AC，由勾股定理可求得AC2.再看CD2+DA2是否與AC2相等.若相等，則∠D=90°，零件合格；若不相等，則∠D≠90°，零件不合格.

解：略.

說(shuō)明：當(dāng)題目中已知條件比較分散時(shí)，應(yīng)通過(guò)構(gòu)造或?qū)ふ胰热切?、等腰三角形、直角三角形等，將分散的條件集中，以利于解決問(wèn)題.

例2如圖2 ，鐵路上A、B兩站（視為直線上兩點(diǎn)）相距25 km，C、D為兩村莊（視為兩個(gè)點(diǎn)），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B.已知DA=15 km，CB=10 km.現(xiàn)要在鐵路上A、B之間建一個(gè)土特產(chǎn)品收購(gòu)站E，使C、D兩村到E的距離相等.那么，E應(yīng)建在何處？請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)方案和理由.

分析：E應(yīng)建在何處，可由E到A的距離及E在A、B之間來(lái)確定.由于要求DE=CE，故可通過(guò)設(shè)未知數(shù)，由等量關(guān)系建立方程來(lái)解決.

解：設(shè)E建成后，AE=x km，則BE=（25-x） km.

由勾股定理可得：DE2=AD2+AE2=152+x2，CE2=BC2+BE2=102+（25-x）2.

∴152+x2=102+（25-x）2.解得x=10.

從而，E應(yīng)建在A、B之間距A站10 km處.

說(shuō)明：如果使E到C、D兩村的距離之和最小，如何確定這個(gè)最小值呢？請(qǐng)思考一下這個(gè)相關(guān)的問(wèn)題.

[三][中考熱點(diǎn)]

例3如圖3 ，一圓柱形油罐，要從A點(diǎn)環(huán)繞油罐建梯子，正好建到A點(diǎn)正上方的B點(diǎn)處.請(qǐng)你算一算梯子最短需多長(zhǎng).（已知油罐的底面周長(zhǎng)是12 m，高AB是5 m）

分析：如圖4 ，將油罐表面沿AB展開(kāi)，展開(kāi)后成長(zhǎng)方形AA′B′B.在長(zhǎng)方形AA′B′B中，AA′的長(zhǎng)即是油罐的底面周長(zhǎng)，A′B′的長(zhǎng)即是油罐的高，故AA′=12 m，A′B′=5 m.由于高與底面垂直，故∠A′=90°，由勾股定理可求出AB′的長(zhǎng)，即得所建梯子的最短長(zhǎng)度.

解：略.

說(shuō)明：解這類求最短長(zhǎng)度或最短距離題的關(guān)鍵，是把立體圖形的側(cè)面展開(kāi)（經(jīng)常會(huì)遇到是正方體或長(zhǎng)方體的情況）.同學(xué)們可考慮一個(gè)類似的問(wèn)題，即當(dāng)B點(diǎn)在上底面的直徑另一端點(diǎn)處時(shí)（如圖5），梯子最短需多長(zhǎng)？

例4將兩塊三角板ABC和DBE按圖6所示放置，其中∠C=∠EDB=90°， ∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=6．求重疊部分四邊形DBCF的面積．

解：在Rt△DBE中，∠EDB=90°，∠E=30°，DE=6.

設(shè)DB=x，則BE=2x，由勾股定理，（2x）2=x2+62，解得x=2.故AD=AB-DB=6-2．

又∠A=45°，故∠AFD=45°，得FD=AD．

∴S△ADF=AD2=×（6-2）2=24-12．

在等腰Rt△ABC中，斜邊AB=6，所以

S△ABC=·

AB·AB=AB2=9．

∴S四邊形DBCF=S△ABC-S△ADF=9-（24-12）=12-15.

說(shuō)明：在直角三角形中，如果知道一個(gè)角是特殊角（如45°，60°，30°），且知道一邊的長(zhǎng)，則由勾股定理一定可以求得另兩邊的長(zhǎng)，也能求出斜邊上的高h(yuǎn)

利用ab

=hc，a、b為直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng).

例5已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，則△ABC是直角三角形嗎？如果是，指出它的哪一個(gè)角是直角；如果不是，說(shuō)明理由.

分析：由于二次項(xiàng)都只含有一個(gè)字母，故考慮配方變形，有（a2-10a+25）+（b2-24b+144）+（c2-26c+169）=0.然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、b、c的值，再由勾股定理的逆定理判斷△ABC的形狀.

解：略.

說(shuō)明：若一個(gè)等式中含有多個(gè)字母，且最高次數(shù)為二次，一般考慮配方，化成一邊是整式，一邊是0，轉(zhuǎn)化成幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于0的形式，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出各字母的值.在直角三角形中，最大邊（即斜邊）所對(duì)的角是直角.

例6為了美化環(huán)境，某小區(qū)用30 m2的草皮鋪設(shè)一塊一邊長(zhǎng)為10 m的等腰三角形綠地.請(qǐng)你求出這個(gè)等腰三角形綠地另兩邊的長(zhǎng)．

解：分三種情況計(jì)算．不妨設(shè)三角形綠地為△ABC，AB=10 m.過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D．

則S△ABC=AB·CD=30（m2），解得CD=6 m．

（1）當(dāng)AB為底邊時(shí)，AD=BD=5 m，如圖7.

AC=BC==（m）．

（2）當(dāng)AB為腰且三角形為銳角三角形時(shí)（如圖8），

AC=AB=10 m，

AD==8（m），BD=10-8=2（m），

BC==2（m）.

（3）當(dāng)AB為腰且三角形為鈍角三角形時(shí)（如圖9），

BC=AB=10 m，BD==8（m），

AC==6（m）.

說(shuō)明：解答本題要注意分類討論思想的應(yīng)用，避免出現(xiàn)漏解.對(duì)于沒(méi)有具體給出圖形的題目，一定要考慮各種可能的情況（是銳角三角形還是鈍角三角形？高在形外還是形內(nèi)？等等）.有時(shí)，并不僅有兩種情況.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文”。